Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centroide de um Corpo

Centro de gravidade centro de massa e centroide de um corpo Centróide de um volume Capítulo 9 Centro de gravidade e centroide SOLUÇÃO Elemento diferencial Considerar um elemento retangular que tenha espessura dy e esteja localizado em uma posição qualquer de modo que intercepto o contorno em x y Figura 910 Área e braços de momento A área do elemento dA x dy e seu centroide está localizado a uma distância y da eixo x Integração Aplicando a segunda das equações 94 e integrando com relação y temos j dA x xy1 y dy bh² 3 h y dt Integrações Aplicando as equações 94 e integrando com relação θ obtemos x 3R² cos² θ dθ 3R² 3k dθ y 3R² sen² θ dθ 4R 3k dθ Exemplo 95 Localize o centroide da área mostrada na Figura 912 SOLUÇÃO I Elemento diferencial Um elemento diferencial de espessura dx mostrado na Figura 912a O elemento intercepta a curva no ponto arbitrário x y e portanto tem altura y Área e braços de momento A área do elemento dA x dy e seu centroide está localizado em x x e y y² 2 Integração Aplicando as equações 94 e integrando com relação x a termos x dA yx dx x² dx SOLUÇÃO II Elemento diferencial Vamos considerar o elemento diferencial retangular sombreado de espessura dy e largura 2x paralelo ao eixo x Figura 913b Área e braços de momento A área dA 2x dy e seu centroide está em x 0 e y y Integração Aplicando a segunda das equações em 94 com x 21 y² temos j dA 21 y² dy 2x dy dY 43 π 0424 m 91 Determine o centroide barX barY da área sombread 96 Determine a localização barX barY do centroide do fio 920 A placa tem uma espessura de 12 mm e é composta de aço com um peso específico de 80 kNm³ Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a força na corda em B 936 Localize o centroide z do sólido 940 Localize o centro de massa ȳ do cone circular formado girandose a área sombreada em torno do eixo x A densidade em qualquer ponto no cone é defnida por ρ ρ₀hy onde ρ₀ é uma constante 941 Determine a massa e a localização do centro de massa ȳ do hemisfério formado girandose a área sombreada em torno do eixo x A densidade em qualquer ponto no hemisfério pode ser definida por ρ ρ₀1 yh onde ρ₀ é uma constante 944 Localize o centroide F y do fio uniformemente dobrado na forma mostrada 952 Localize o centroide J da área da seção transversal da viga de concreto 967 Blocos uniformes com um comprimento L e massa m são empilhados uns sobre os outros com cada bloco ultrapassando o outro por uma distância d conforme mostrado 977 A montante é feita de um hemissólido de aço ρ 780 Mgm³ e um cilindro de alumínio ρ₂ 270 Mgm³ Determine a altura do cilindro do modo que o centro de massa da montante esteja localizada em z 160 mm 913 Determine a área superficial e o volume do sólido formado girandose a área sombreadas 360 em torno do eixo z 985 Determine o volume dentro do tanque de parede fina de A até B 9100 Determine a área da superfície o volume da roda formada pelo giro da seções transversais 360 em torno do eixo z Usando a Equação 913 e os resultados da Seção 94 é possível determinar a força resultante causada por um líquido e especificar sua localização na superfície de uma placa submersa A intensidade de pressão atuando sobre a superfície de uma placa submersa com uma espessura variável é mostrado na Figura 927 A área de superfície é igual ao produto do comprimento da curva de geração pela distância traçada pelo centroide da curva necessária para gerar a área A ßfL O volume do corpo é igual ao produto da área de geração pela distância traçada pelo centroide dessa área necessária para gerar o volume V ßfA Corpo composto Se o corpo for uma combinação de várias formas cada uma com uma localização conhecida para seu centro de gravidade ou centroide então a localização do centro de gravidade ou centroide do corpo pode ser determinada a partir de um somatório discreto usando suas partes compostas Carregamento distribuído A intensidade da força resultante é igual ao integral f p xy da f dy x f xy dA f dV y y f xy dA f dV Pressão de fluidos A pressão desenvolvida por um líquido em um ponto em uma superfície submersa depende da profundidade do ponto e da densidade do líquido de acordo com a lei de Pascal p ρgh y h Essa pressão criaria um carga distribuída linear de carga sobre uma superfície plana vertical ou inclinada Se a superfície for horizontal então a carga será uniforme De qualquer forma as resultantes dessas cargas podem ser determinadas achando o volume sob a curva de carga usando F y F y 4 onde ρ é a profundidade e O centroide da área da placa A linha de ação da força resultante passa pelo centroide do volume do diagrama de carga e atua em um ponto P na placa chamado centro de pressão 9127 Localize o centroide Z da área sombreadA Problema 9127 9128 A carga sobre a placa varia linearmente ao longo dos lados da placa de modo que ρ 2X 0kPa Determine a força resultante e sua posição X Y na placa Problema 9128 9129 A carga de pressão sobre a placa é exercida pela função ρ 2240x 1 340 Pa Determine a intensidade da força resultante e as coordenadas do ponto onde a linha de ação da força intercepta a placa Problema 9129 9102 Teorema dos eixos paralelos para uma área O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centroide e em relação ao momento de inércia e conhecido Para descobrir esse teorema vamos considerar a determinação do momento de inércia da área sombreadA mostrada na Figura 103 em relação ao eixo x Para começar escolhemos um elemento diferencial dalocalizado na distância qualquer y do eixo centroidal x que é a distância entre os eixos paralelos x e x d y d y dA Para a série inteira I x y² dA dA A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal I z A segunda integral é zero pois o eixo x passa pelo centroide C da área ou seja y dA 0 pois y 0 Como a terceira integral representa a área total dA o resultado final é portanto I I z A d² Uma expressão semelhante pode ser escrita para I polar ou seja I I z A d² d² 104 Determine o momento de inércia da área mostrada na Figura 108a em relação ao eixo x 105 Para obter o momento de inércia em relação ao eixo passando pela base do retângulo devese usar os resultados da parte a aplicando o teorema dos eixos paralelos 106 O momento de inércia da área inteira em relação ao eixo de referência é determinado pela soma dos resultados de suas partes compostas em relação a esse eixo 107 Se uma parte composta tem um furo seu momento de inércia é encontrado subtraindo o momento de inércia do furo do momento de inércia da parte inteira incluindo o furo 101 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 102 Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y 103 Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo x 104 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 105 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 106 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 107 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 108 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 109 Determine o momento de inércia polar da área em relação ao eixo x passando pelo ponto O 1010 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1011 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 1018 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1019 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1020 Determine o momento de inércia da área em torno do eixo x 1021 Determine o momento de inércia da área em torno do eixo y 1022 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1023 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 1024 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1025 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 1026 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x passando pelo ponto O Exemplo 105 Determino os momentos de inércia para a área da seção transversal do membro mostrado na Figura 109 em relação aos eixos centrais x e y SOLUÇÃO Partes compostas A seção transversal pode ser subdividida em três áreas retangulares A B e D mostradas na Figura 109 Para o cálculo o centroide de cada um desses retângulos está localizado na figura Teorema dos eixos paralelos A partir dos epígrafes ou pelo Exemplo 101 o momento de inércia do retângulo em relação a seu eixo centroidal é T bh³12 Logo usando o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A D e D os cálculos são os seguintes Retângulo A e D Ix Ix Ad d² 12100300 100300200² 1242510² mm⁴ Iy Iy Add 12300100 100300250² 19010² mm⁴ 105 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centroidais x e y 106 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centroidais x e y 107 Determine o momento de inércia da área uma seção transversal do canal em relação ao eixo x 108 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga T em relação ao eixo x passando pelo centroide da seção transversal 109 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1010 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1011 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x 1049 Determine o momento de inércia Ix da seção transversal dadas as coordenadas em C A origem das coordenadas está no centroide C 1050 Determine o momento de inércia Iy da seção 1051 Determine o momento de inércia Ix da viga em relação ao eixo centroidal C 1052 Determine o momento de inércia Iy da viga em relação ao eixo centroidal y 1053 Localize o centroide J da área da seção transversal do canal depois determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x 1054 Determine o momento de inércia da área do canal em relação ao eixo y 1055 Localize o centroide J da área da seção transversal da viga e depois determine o momento de inércia em relação ao eixo x O primeiro termo à direita representa o produto de inércia para a área em relação aos eixos centrais Iy As integrais ao segundo e terceiro termos são zero pois os momentos da área são considerados em relação ao eixo central Observando que a quarta integral representa a área inerida O teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia tornase Ixy Ix A dy2 É importante que os sinais algébricos para dx e dy sejam mantidos ao se aplicar essa equação Em projeto estrutural e mecânico às vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia I para uma área em relação a um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para Ix Iy e Ixy são conhecidos Para fazer isso usamos equações de transformação que se relacionam as coordenadas x y e u v Da Figura 1016 essas equações são u x cos heta y sen heta v y cos heta x sen heta Os momentos e o produto de inércia da seção transversal em relação aos eixos x e y foram determinados nos exemplos 105 e 107 Os resultados são Ix 290103 mm4 quad Iy 560103 mm4 quad Ixy 300103 mm4 Conecte o ponto de referência ao centro do círculo e determine a distância OA por trigonometria Essa distância representa o raio do círculo figura 1019b Finalmente desenhe o círculo 1064 Determine o produto de inércia para a área em relação aos eixos x e y 1065 Determine o produto de inércia para a área em relação aos eixos x e y 1081 Determine a orientação dos eixos principais que têm sua origem no centroide C da área da seção transversal da viga Além disso determine os momentos principais de inércia Determine o momento de inércia de massa I do sólido formado girandose a área sombreadas em torno do eixo x A densidade do material é ρ e o resultado em termos da massa total m do frustum O material tem uma densidade constante ρ Determine o momento de inércia de massa I do sólido formado girandose a área sombreadas em torno do eixo x A densidade do material é ρ 785 Mgm² Determine o momento de inércia de massa I do cone formado girando a área sombreadas em torno do eixo x A densidade do material é ρ e o resultado em termos da massa m do cone 10101 O pêndulo consiste em um disco de massa 6 kg e barras esbeltas AB e DC que têm massa por unidade de comprimento de 2 kgm Determine o comprimento L de DC e qual o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo perpendicular à página e que passa pelo ponto O Problema 10101 10102 Determine o momento de inércia da massa da barra curva de 2 kg em relação ao eixo z 10103 A placa fina tem uma massa por unidade de área de 10 kgm² Determine seu momento de inércia da massa em relação ao eixo y 10104 A chana fina tem uma massa por unidade de área de 10 kgm² Determine seu momento de inércia da massa em relação ao eixo x 10105 O pêndulo consiste em uma barra esbelta de 3 kg e uma placa de 5 kg determine o momento de inércia do pêndulo determinando o módulo ao eixo perpendicular à página e que passa pelo ponto G Problema 10105 10106 A montagem de cone e cilindro é feita de material homogêneo de densidade 785 Mgm³ Determine seu momento de inércia de massa em relação ao eixo z 10107 Determine o momento de inércia da massa da manivela em relação ao eixo x O material é aço com uma densidade de ρ 785 Mgm³ 10108 Determine o momento de inércia da massa da manivela em relação ao eixo x O material é aço com uma densidade de ρ 785 Mgm³ 10109 Se o anel grande o anel pequeno e cada um dos raios pesam 500 N 75 N e 100 N respectivamente determine o momento de inércia da massa da roda em relação a eixo perpendicular à página e que passa pelo ponto O 10110 Determine o momento de inércia da massa da placa fina em relação a um eixo perpendicular à página e que passa pelo ponto O O material tem uma massa por unidade de área de 20 kgm² 10111 Determine o momento de inércia da massa da placa em relação ao eixo x e que passa pelo centro C Problema 10111 REVISÃO DO CAPÍTULO Momento de inércia de área O momento de inércia de área representa o segundo momento de área em relação a um eixo Normalmente ele é usado em fórmulas relacionadas à força e estabilidade de membros estruturais ou elementos mecânicos Se a forma da área for irregular mas puder ser descrita matematicamente então um elemento diferencial precisa ser selecionado e a integração sobre a área total deve ser realizada para determinar o momento de inércia Teoremas dos eixos paralelos O momento de inércia para uma área for conhecida em relação a um eixo central então seu momento de inércia em relação a um eixos paralelo pode ser determinado pelo teorema dos eixos paralelos Área composta Se uma área é uma composição de formas comuns conforme apresentando os apêndices então seu momento de inércia é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de cada uma das partes Produto de inércia O produto de inércia de uma área é usado em fórmulas para determinar a orientação de um eixo em relação ao qual o momento de inércia para a área é um máximo ou um mínimo Se o produto de inércia para uma área for conhecido em relação aos seus eixos centrais x e y então seu valor pode ser determinado em relação a quaisquer eixos x e y levando em consideração os eixos paralelos para o produto de inércia Momentos principais de inércia Os momentos de inércia Ixx e Iyy conhecidos como momentos principais ilustram como o material se comporta ao ser torcido ou deformado Para o corpo considerado o momento de inércia é igual a I int y² dA I int x² dA Problemas 10112 Determine o momento de inércia de área da seção transversal da viga em relação ao eixo x que passa pelo centro C 10113 Determine o momento de inércia de área da seção transversal da viga em relação ao eixo x que passa pelo centro C 10114 Determine o momento de inércia de área da seção transversal da viga em relação ao eixo x Problemas 10112113 10115 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x que passa pelo centroid C 10116 Determine o produto de inércia para a área da seção transversal da cantoneira em relação aos eixos x e y e tendo seu eixo localizado no centro C Suponha que todos os cantos sejam ângulos retos 10117 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo y 10118 Determine o momento de inércia de área em relação ao eixo x 10119 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x Depois usando o teorema dos eixos paralelos 10120 O pêndulo consiste em uma barra esbelta O4 que tem uma massa por unidade de comprimento de 3 kgm Determine a distância d do centro de massa G do pêndulo após calcule o momento de inércia do pêndulo em relação a um eixo perpendicular à página passando por G 10121 Determine o produto de inércia da área em relação aos eixos x e y Problema 10121 Centro de Gravidade e Momento de Inércia da Massa de Sólidos Homogêneos Soluções e respostas parciais dos problemas fundamentais F912 x xV V 2505 12 15 25 30 139 m Tabelas de conversão 99 dd y2 dy 922 x 26627 mm Capítulo 10 Capítulo 11