Vibrações Mecânicas - Elementos de Massa e Inércia

VIBRAÇÕES MECÂNICAS GRADUAÇÃO ENGENHARIA PROF LEANDRO CARVALHO PEREIRA VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 2 Elementos de Massa ou Inércia VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 3 Elementos de Massa ou Inércia Adotase Elemento de massa ou inércia é um corpo rígido Que pode 2ª lei de Newton Trabalho 𝐹 𝑚 𝑎 𝜎 𝐹 𝑑 𝐸𝑐 𝑇 𝑇 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽 ሶ𝜃2 𝐸𝑐 𝑣 𝐸𝑐 𝑣 Pela segunda lei do movimento de Newton o produto da massa por sua aceleração é igual à força aplicada à massa Trabalho é igual à força multiplicada pelo deslocamento na direção da força e o trabalho realizado sobre uma massa é armazenado na forma de energia cinética da massa Energia cinética T m massa ሶ𝑥 velocidade da massa em translação J momento de inércia de massa ሶ𝜃 velocidade angular Translação Rotação VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 4 Elementos de Massa ou Inércia Na maioria dos casos temos de usar um modelo matemático para representar o sistema vibratório real e de modo geral sempre há vários modelos possíveis A finalidade da análise muitas vezes determina qual é o modelo matemático adequado Uma vez escolhido o modelo os elementos de massa ou inércia do sistema podem ser identificados com facilidade Representação Idealização de um edifício de vários andares como um sistema com múltiplos graus de liberdade Admitindo que a massa da estrutura seja desprezível em comparação com a massa dos pisos VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 5 Associação de Massas Em aplicações práticas temos várias massas associadas Combinálas de forma conveniente é fundamental Usamos o método da energia cinética equivalente Massa de translação equivalente Massa rotacional equivalente 𝑇sistema 𝑇equivalente 𝑖 𝑛 1 2 𝑚𝑖 ሶ𝑥𝑖 2 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥2 𝑖 𝑛 1 2 𝐽𝑖 ሶ𝜃𝑖 2 1 2 𝐽𝑒𝑞 ሶ𝜃2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 6 Associação de Massas Caso 01 Massas de Translação ligadas por um barra rígida Considera as massas ligadas a barra conforme figura Podese localizar a meq em qualquer posição por exemplo ponto A Assim Massas de translação ligadas por uma barra rígida ሶ𝑥𝑒𝑞 ሶ𝑥1 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑣 𝑤 𝑅 𝑤 𝑣 𝑅 ሶ𝑥1 𝑅1 ሶ𝑥2 𝑅2 ሶ𝑥3 𝑅3 ሶ𝑥2 𝑙2 𝑙1 ሶ𝑥1 ሶ𝑥3 𝑙3 𝑙1 ሶ𝑥1 𝑣 𝑤 𝑅 Movimento Circular 𝜃 𝑥 𝑙1 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 𝑙1 𝜃 𝑥 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 7 Associação de Massas Caso 01 Massas de Translação ligadas por um barra rígida Método da energia cinética Massa m1 Massa m2 Massa m3 𝑖 𝑛 1 2 𝑚𝑖 ሶ𝑥𝑖 2 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥1 2 𝑇1 1 2 𝑚1 ሶ𝑥1 2 𝑇2 1 2 𝑚2 ሶ𝑥2 2 1 2 𝑚2 𝑙2 𝑙1 ሶ𝑥1 2 𝑇3 1 2 𝑚3 ሶ𝑥3 2 1 2 𝑚3 𝑙3 𝑙1 ሶ𝑥1 2 1 2 𝑚1 ሶ𝑥1 2 1 2 𝑚2 𝑙2 𝑙1 2 ሶ𝑥1 2 1 2 𝑚3 𝑙3 𝑙1 2 ሶ𝑥1 2 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥1 2 𝑚𝑒𝑞 𝑚1 𝑚2 𝑙2 𝑙1 2 𝑚3 𝑙3 𝑙1 2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 8 Associação de Massas Caso 02 Massas de translação e rotacionais acopladas Massa m com ሶ𝑥 velocidade translação Massa com Jo momento de inércia de massa a ሶ𝜃 velocidade angular Podese calcular meq translação ou Jeq rotacional Massas de translação e rotacional em um arranjo de cremalheira e pinhão 𝑇 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽 ሶ𝜃2 Energia cinética T m massa ሶ𝑥 velocidade da massa em translação J momento de inércia de massa ሶ𝜃 velocidade angular Translação Rotação VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 9 Associação de Massas Caso 02 Massas de translação e rotacionais acopladas Calculando meq Translação Massas de translação e rotacional em um arranjo de cremalheira e pinhão 𝑇 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽 ሶ𝜃2 ሶ𝑥𝑒𝑞 ሶ𝑥 ሶ𝜃 ሶ𝑥 𝑅 𝑇 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽𝑜 ሶ𝑥 𝑅 2 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥2 𝑚𝑒𝑞 𝑚 𝐽𝑜 𝑅2 𝑣 𝑤 𝑅 Movimento Circular 𝑇sistema 𝑇equivalente VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 10 Associação de Massas Caso 02 Massas de translação e rotacionais acopladas Calculando Jeq Rotacional Massas de translação e rotacional em um arranjo de cremalheira e pinhão 𝑇 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽 ሶ𝜃2 ሶ𝜃𝑒𝑞 ሶ𝜃 ሶ𝑥 ሶ𝜃 𝑅 1 2 𝑚 ሶ𝜃 𝑅 2 1 2 𝐽𝑜 ሶ𝜃2 1 2 𝐽𝑒𝑞 ሶ𝜃 2 𝐽𝑒𝑞 𝐽𝑜 𝑚 𝑅2 𝑇sistema 𝑇equivalente 𝑣 𝑤 𝑅 Movimento Circular VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 11 Exercício Massa Equivalente de um Sistema Determine a massa equivalente do sistema da figura no qual a ligação rígida 1 está ligada à polia e gira com ela Sistema considerado para determinar a massa equivalente VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 12 Exercício Massa Equivalente de um Sistema Solução 𝜃𝑝 𝜃𝐵1 𝑥 𝑟𝑝 𝑥2 𝑙1 𝜃𝑐 𝑥2 𝑟𝑐 𝑥2 𝑙1 𝑥 𝑟𝑝 𝜃𝑐 𝑙1 𝑥 𝑟𝑝 𝑟𝑐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝜽𝑩𝟏 𝜽𝒑 𝒙 Barra 1 B1 Barra 2 B2 Massa m m Polia p Cilindro c 𝜽𝒄 𝒙 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 13 Exercício Massa Equivalente de um Sistema Solução Hipóteses Pequenos deslocamentos Barra 1 Rotacional Barra 2 Translação Massa m Translação Polia Rotacional Cilindro Translação e Rotacional 𝑇𝑒𝑞 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑇𝐵1 1 2 𝐽𝐵1 ሶ𝜃𝐵1 2 𝐽𝐵1 1 3 𝑚1 𝑙1 2 𝑇𝐵2 1 2 𝑚2 ሶ𝑥2 2 𝑇𝑚 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑇𝑝 1 2 𝐽𝑝 ሶ𝜃𝑝2 𝑇𝑐 1 2 𝑚𝑐 ሶ𝑥2 2 𝑇𝑐 1 2 𝐽𝑐 ሶ𝜃𝑐2 𝐽𝑐 1 2 𝑚𝑐 𝑟𝑐2 Barra 1 B1 Barra 2 B2 Massa m m Polia p Cilindro c Resistência dos materiais Resistência dos materiais VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 14 Exercício Massa Equivalente de um Sistema Solução Substituindo os valores encontrados 𝑇𝑒𝑞 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 1 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥2 1 2 𝐽𝐵1 ሶ𝜃𝐵1 2 1 2 𝑚2 ሶ𝑥2 2 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 1 2 𝐽𝑝 ሶ𝜃𝑝2 1 2 𝐽𝑐 ሶ𝜃𝑐2 1 2 𝑚𝑐 ሶ𝑥2 2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥2 𝐽𝐵1 ሶ𝑥 𝑟𝑝 2 𝑚2 ሶ𝑥 𝑙1 𝑟𝑝 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝐽𝑝 ሶ𝑥 𝑟𝑝 2 𝐽𝑐 ሶ𝑥 𝑙1 𝑟𝑝 𝑟𝑐 2 𝑚𝑐 ሶ𝑥 𝑙1 𝑟𝑝 2 𝑚𝑒𝑞 𝑚1 𝑙1 2 3 1 𝑟𝑝 2 𝑚2 𝑙1 𝑟𝑝 2 𝑚 𝐽𝑝 1 𝑟𝑝 2 𝑚𝑐 𝑟𝑐2 2 𝑙1 𝑟𝑝 𝑟𝑐 2 𝑚𝑐 𝑙1 𝑟𝑝 2 𝑇sistema 𝑇equivalente VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 15 Exercício 1 TBL 2 Massa Equivalente do Balancim Determine a massa equivalente do conjunto do balancim da figura abaixo em relação à coordenada x Conjunto do balancim VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Leandro Carvalho Pereira 16 Exercício 2 TBL 2 Massa Equivalente do Sistema de Alavanca Determine a massa equivalente do sistema mostrado na figura abaixo