Carga Elétrica e Condutores na Física

FUJA DO NABO FISICA 3 P12015 Pedro Gryzinsky CARGA ELETRICA Quantizada em unidades da carga elementar gq 161071C A carga total de qualquer corpo é sempre um miultiplo inteiro positivo de q e escrevemos que a carga do corpo é Q nq ou seja tem n quantidades da carga elementar E conveniente trabalhar com as distribuicdes de carga numa linha numa superficie ou num volume Definemse pois as densidades linear superficial e volumétrica respectivamente dq Adl dq odA dq pdV CONDUTORES ISOLANTES E CARGAS INDUZIDAS Condutores sao materiais nos quais as cargas elétricas podem se movimentar livremente Sua principal caracteristica do ponto de vista de campos elétricos 6 que 0 campo em seu interior é nulo as cargas entram em equilibro eletrostatico e se acumulam na superficie do condutor Isolantes sdo materiais em que as cargas elétricas ndo tem mobilidade ou tem mobilidade muito reduzida e portanto se encontram distribuidas pelo corpo Carga induzida 6 0 nome dado ao conjunto de cargas que aparecem num corpo eletricamente neutro pela proximidade de um corpo carregado Ou seja sdo elétrons que por repulsdo ou atrado se concentraram num ponto do corpo LEI DE COULOMB A Lei de Coulomb descreve a forca entre duas cargas qi e qp separadas de uma distancia r lembrando que distancia mddulo do vetor que rs a liga a carga 1 com a carga 2 Como a forca é um vetor a ela esta associado e ve uma direcdo que representaremos pelo versor Assim definese a Lei de a Coulomb como i 1 7 1 9192 12 Fy Fig 112 0nde fiz 12 Ame r2 12 12 r Da definicdo do versor podemos escrever a Lei de Coulomb como z 1 2a 12 4ne v3 12 Se quisermos calcular a forca numa carga que chamaremos de 1 devido a um conjunto de cargas podemos simplesmente falar que a forca na carga 1 6 a soma vetorial das forcas em 1 devido a cada uma das cargas Esse é o principio da superposiao no caso mais geral a somatoria se extende a uma integral cargas 1 149i R oh Z 4ng r3 1 i2 CAMPO ELETRICO E FORCA ELETRICA O campo elétrico surge onde houver carga elétrica Ele 6 definido como onde q é a carga que gera o campo 2 q ny E fr Amer Sabemos que se houver uma Carga qo a uma distancia r da carga q a forca sobre a carga qo sera dada pela Lei de Coulomb Podemos entao entender que essa forca é resultado da interacdo do campo elétrico com a carga qo de modo que 3 4940 4 2 F f qk Ame gr 4o Do mesmo modo que na Lei de Coulomb vale o principio da superposiao para o campo elétrico FLUXO ELETRICO O fluxo elétrico 6 a medida de quanto campo passa por uma area Se a area Area A é grande ou o campo entdo o fluxo é intenso Agora se a area for muito 4 pequena ou o campo muito fraco ai o fluxo é fraco E conveniente pois definir o S SS fluxo como campo multiplicado pela area SS SS E pEA Podemos generalizar um pouco mais o conceito considerando o angulo Uw entre o vetor normal ao plano da area e o campo elétrico Se eles sdo paralelos entdo o maior numero possivel de linhas passa pela area A medida que o plano se y Normal inclina observase que passam cada vez menos linhas até 0 caso em que nao passa Ao mais campo algum Vamos definir pois o vetor A nA onde fiéovetor normal ao plano assim podemos computar a inclinagdo da area em relacdo ao campo Ss através de um produto escalar gracgas ao cosseno que da O quando 90 rk d EA EAcos6 Por fim podemos generalizar o conceito para uma superficie S qualquer irregular considerando que o fluxo através da superficie irregular 6 a soma integral dos pequenos fluxos em cada uma das pequenas areas da superficie ou seja dp EdA EdA Ss LEI DE GAUSS A Lei de Gauss é a primeira equacgdo de Maxwell Ela relaciona o quanto passa de campo elétrico numa superficie fechada com a carga interna a superficie A Lei de Gauss é escrita como onde o circulo na integral representa fechado f EdA s 0 Embora complicada essa equacdo é uma tentativa de dizer que de certa forma se nds sabemos quem 6 a carga que esta dentro da nossa superficie entdo nds sabemos como o campo elétrico que passa por essa superficie se comporta ou seja mais um método para determinar o campo elétrico no espaco ENERGIA POTENCIAL ELETRICA Podemos associar a um conjunto de cargas uma energia potencial elétrica O que a energia potencial elétrica mede é a energia necessdria para manter o sistema unido Por exemplo para duas cargas muito afastadas de mesmo sinal a energia necessdria para manter uma perto da outra é muito pequena Agora a medida que aproximamos as cargas temos que fazer cada vez mais forca para manter a configuracdo estavel Disso observamos que 6 necessdrio mais de uma carga para haver energia potencial ou seja para uma Unica carga a energia potencial é nula Da Lei de Coulomb observamos que a forca depende da distancia entre as cargas e que a direcdo dela aponta na mesma direcdo da linha que une as cargas Tais forgas sdo chamadas forcas centrais Aplicando a definigdo de trabalho para uma forca central observamos que o trabalho que é a energia inicial a energia final independe da trajetoria ou seja Final W i Frdr defde trabalho para uma f orca central Inicial Final Final Vinicial Ufinat I Frdr Urinal Viniciat Frdr Inicial Inicial Para um par de cargas pontuais tal equacdo resulta em onde ri2é a distancia entre as cargas 4192 Uy2 Amer5 ME QT12 Vale aqui também o principio da superposicao POTENCIAL ELETRICO TENSAO ELETRICA Do mesmo modo que relacionamos campo elétrico com forga vamos relacionar potencial elétrico com energia potencial elétrica Assim como no caso do campoforca podemos obter a energia ou o potencial multiplicando ou dividindo por q V 4 UqV ATTEgr Se divirmos a expressdo integral da energia potencial pela carga gq podemos escrever V como Final Veinal Vinicial Edl Inicial SUPERFICIES EQUIPOTENCIAIS Sdo as superficies onde o potencial elétrico 6 constante Por exemplo para o caso de uma carga pontual V s6 depende de r entdo as superficies sdo cascas esféricas concéntricas centradas na carga pontual que gera o potencial Linhas de Campo ss a Equipotenciais ta GRADIENTES O gradiente do potencial elétrico é dado por VV dV OM gra ééé g ax ay az O gradiente da energia potencial elétrica é dada por VU dU OU UU 24 gra ééé g ax dy az O gradiente é formalmente um operador vetorial que fala a direcdo e o sentido de maximo crescimento de um campo escalar Podemos entdo relacionar a forca elétrica e o campo elétrico aos gradientes do potencial e da energia através das seguintes equac6es FVU E V Assim por exemplo se sabemos que a direcdo do campo elétrico 6 é podemos calcular o potencial elétrico e determinar o campo elétrico através da igualdade E OV az Tal aproximacdao é muito util nos casos em que o calculo direto do campo elétrico é complicado devido as integrais que aparecem Podemos entdo determinar o potencial elétrico que em geral 6 mais facil e derivalo Assim obtemos o campo elétrico diretamente sem a necessidade de integrar uma equacao complicada CAPACITANCIA E CAPACITORES Capacitores sdo dispositivos elétricos responsaveis por armazenar uma certa quantidade de carga quando submetidos a um potencial elétrico Na maior parte das aplicacdes a quantidade de carga elétrica armazenada é proporcional a tensdo elétrica submetida A constante de proporcionalidade 6 a chamada capacitdancia C do capacitor podemos escrever pois c2 V Se o capacitor é de placas paralelas entaéo a capacitancia é dada por A é a area de uma das placas do capacitor e d é a distancia entre as placas EoA C2e d LIGACAO EM SERIE E EM PARALELO DE CAPACITORES A associagdo em paralelo de N capacitores pode ser Terminal substituida por um Unico capacitor equivalente de capacitancia i 4 igual a soma das capacitancias de cada um dos capacitores Bory ty Iv tv 931C C nC Coq C Terminal i1 Ja a associagdo em série de N capacitores pode ser iS is substituida por um Unico capacitor de capacitancia dada por a a N q s s z S a S Coq Pl C tr 2 ca ARMAZENAMENTO DE ENERGIA EM CAPACITORES A energia armazenada num capacitor de placas paralelas é dada por 1 1Q U CV 2 2C ENERGIA DO CAMPO ELETRICO A partir da equacdo da energia armazenada num capacitor podemos chegar numa outra equacao que nos diz que a energia armazenada no capacitor nado se encontra na carga elétrica mas sim no campo elétrico confinado dentro das placas Como para placas paralelas V E d temos U cv CE2a doc 04 y xeAdE usando C Ue 2 2 d 2 Observamos que Ad é igual ao volume confinado entre as placas definese pois a densidade de energia elétrica u energiavolume e outra forma de se calcular a energia potencial elétrica U 1 UE7U I udV 2 V Aqui vemos que a energia nado esta mais associada a V mas sim ao campo E Dielétricos sao materiais isolantes colocados entre as placas de um capacitor Utilizamos dielétricos para aumentar o valor da Capacitancia assim conseguimos armazenar mais carga para uma mesma tensdo elétrica ou ainda armazenar o mesmo valor de carga com tensGes menores o que é ideal para aplicacdes de baixa poténcia MODELO MOLECULAR DA CARGA INDUZIDA OBS As equacées com sdo as equacées realmente importantes de saber Inicialmente consideremos um capacitor de placas paralelas com vacuo no meio ou ar O campo elétrico entre as placas nessa condido sera chamado de Eg Agora vamos colocar entre as placas um material isolante que chamaremos de dielétrico Como vimos num material isolante as particulas estado confinadas elas ndo tem muita mobilidade Mas o nosso campo perto delas é muito forte o que acaba esticando um pouco as moléculas Essa esticada é a polarizagao que faz com que as moléculas fiquem mais positivamente carregadas de um lado e negativamente carregadas de outro i i i P 9 Q a od eg as Agora temos que imaginar que sdo muitas moléculas Todas polarizadas pra mesma diredo de modo que a ponta positiva de uma se cancela com a ponta negativa da outra Mas e nas bordas Nas bordas ndo ha com quem cancelar de modo que sobra um resto de carga negativa de um lado e positiva do outro A essa carga que sobra damos o nome de carga de polarizacdo qpo1 O acumulo dessa carga na superficie do dielétrico gera um campo elétrico de polarizagdo E de sentido oposto ao nosso campo R Z RnR Rr RnR Ey A soma vetorial desses campos nos fornece 0 campo elétrico dentro do dielétrico EF E Eo cujo mddulo menor que o do campo inicial no vacuo Observase também que como o campo é diretamente proporcional ao potencial elétrico o potencial diminui o que para um mesmo numero de cargas aumenta a capacitancia CV q Vamos entdo definir um vetor chamado vetor de Polarizagao cuja direcdo 6 a mesma do campo no vacuo Ey que é quem polariza as moléculas de magnitude igual a densidade de carga de polarizacdo na superficie P Opol Assim como dq Opi dA podemos multiplicar os dois lados da equacdo por dA e obtemos Integrando PdA 0ydA dq Aoi P PdA Ss O sinal negativo ocorre porque se dividimos por g ambos os lados resulta a Lei de Gauss e o vetor campo elétrico que esta sendo integrado que é o campo elétrico de polarizacdo tem sentido contrario ao campo Ey Dividindo Apol P ComparandocomGauss P Vpol PdA dA 5 VF Ss Eo s 0 Eg Observase também na pratica que o vetor de polarizacdo é proporcional ao campo E soma do campo no vacuo e do campo de polarizacao P EoXeE dr Ne a chamada susceptibilidade elétrica que depende do meio Ela é uma medida do grau de polarizacdo em determinado isolante quando submetido a um campo elétrico Da definigdo do campo E podemos escrever usando e Il que I P II oXel E90 Eo Assim achamos uma relacdo direta entre o campo dentro do dielétrico e o campo no vacuo sem precisarmos explicitamente do campo devido a polarizacao Eo 1 XeE KE Onde xk é a constante dielétrica do meio que é igual a 1 a susceptibilidade Como o potencial V Ed para essa nova configuracdo obtemos as seguintes equacdes em relacdo a capacitancia e ao potencial antigo representados pelo indice 0 Vo Chova KCy Vinova kK LEI DE GAUSS EM DIELETRICOS OBS As equacées com sGo as equacées realmente importantes de saber Do modelo molecular da carga induzida podemos reescrever a Lei de Gauss para 0 campo dentro do dielétrico agora considerando a carga de polarizacdo que aparece na superficie do dielétrico devido ao campo elétrico entre as placas Jogando o termo para o lado e fazendo a qin como a soma da carga livre na superficie da placa e a carga de polarizagdo obtemos din EdA E9 EdA Diivre Apol S Eo Ss Da relagado entre qpo1e o vetor de polarizacdo podemos escrever Juntando 9dA Qiivre PdA 9E PdA Qhivre S S S Definese aqui o vetor deslocamento elétrico como D E9E P oO que resulta na Lei de Gauss para dielétricos que tem como principal vantagem depender apenas da carga livre que conhecemos ja que em geral é dificil determinar qpoi p DdA dure Ss Usando a relacdo entre P e o campo elétrico dentro do dielétrico podemos reescrever o vetor deslocamento elétrico como D 9E P E9E E9XeE E9E1 Xe KEQE E D E 6 a permissividade relativa do meio Assim a Lei de Gauss é reescrita para dielétricos como zas livre EdA s Tal lei permite que determinemos o campo elétrico entre as placas do capacitor simplesmente conhecendo a carga livre na superficie das placas e o meio em que o campo elétrico esta inserido sendo idéntica a Lei de Gauss na forma de usar