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Engenharia Mecatrônica ·
Probabilidade e Estatísticas
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INSTITUTO FEDERAL Santa Catarina Aluno(a): Thay Mosquita Braga Lista em Sala - Probabilidade 1. Determine qual dos números abaixo não poderia representar a probabilidade de um evento. Explique seu raciocínio. (a) 66,6% (b) -1,4 (c) 0,0003 (d) 0 (e) 320 1080 (f) 65 25 2,6 2. Você joga uma moeda e seleciona aleatoriamente um número de 0 a 9. Qual é a probabilidade de obter coroa e selecionar um 3? 3. Um gerador de números aleatórios é usado para selecionar um número de 1 a 100. Qual é a probabilidade de selecionar o número 153? 4. Uma participante de um programa de TV deve selecionar aleatoriamente uma porta. Uma porta oculta seu prêmio em dinheiro enquanto as outras três a deixam sem prêmio. Qual é a probabilidade de que ela escolha a porta que deva ser eliminada? 5. Cinco de 100 gravadores digitais de vídeo em um inventário têm defeito. Qual é a probabilidade de você selecionar aleatoriamente um item que não tenha defeito? Nos exercícios 06 a 09, use o princípio fundamental da contagem. 6. Menu Um restaurante oferece um jantar especial ao preço de R$12 com 5 opções de entrada, 10 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Quantas refeições diferentes estão disponíveis quando você escolhe uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? 7. Computador Um computador tem 3 opções de processador, 3 de placa gráfica, 4 de memória, 6 de disco rígido e 2 de baterias. De quantas formas você pode montar o computador? 8. Imóvel Um corretor de imóveis utiliza uma caixa com segredo para guardar as chaves de uma casa que está à venda. O código do segredo da caixa consiste em quatro dígitos. O primeiro dígito não pode ser zero e o último deve ser par. Quantos códigos diferentes estão disponíveis? 9. Teste verdadeiro ou falso Considerando que todas as questões são respondidas, de quantas formas um teste de seis perguntas do tipo verdadeiro ou falso pode ser respondido? 10. Uma empresa está conduzindo uma pesquisa para determinar quão preparados as pessoas estão para interrupções de energia de longo prazo, desastre natural ou ataque terrorista. A distribuição de frequência na tabela a seguir mostra os resultados. Resposta Número de vezes, f Bem preparado 259 Um pouco preparado 952 Não muito preparado 552 Não preparado 337 Não sabe 63 (a) Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada esteja bem preparada? (b) Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada não esteja muito preparada? 11. A distribuição de frequência da tabela a seguir mostra o número de eleitores americanos (em milhões) de acordo com a idade. Idades dos eleitores Frequência/ (em milhões) 18 a 20 7,42 21 a 24 7,9 25 a 34 28,6 35 a 44 22,9 45 a 64 53,5 acima de 65 28,3 Encontre a probabilidade de que um eleitor escolhido aleatoriamente esteja na faixa etária: (a) De 18 a 20 anos. (b) De 35 a 44 anos. (c) De 21 a 24 anos. (d) De 45 a 64 anos 12. A tabela a seguir mostra o número de estudantes, homens e mulheres, matriculados no curso de enfermagem na Universidade de Oklahoma, em um semestre recente. Enfermagem Outros cursos Total Homens 94 1,104 (1,198) Mulheres 725 1,682 2,407 Total 819 2,786 3,605 (a) Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja homem, dado que é de enfermagem. (b) Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja de enfermagem, dado que é homem. 13. Uma moeda e um dado são lançados. Encontre a probabilidade de sair coroa e um número maior que 2. 14. Em uma amostra de 1.000 adultos americanos, 180 jantam fora em um restaurante mais de uma vez por semana. Dois adultos são selecionados aleatoriamente, sem reposição. (a) Determine a probabilidade de que ambos os adultos jantem fora mais de uma vez por semana. (b) Determine a probabilidade de que nenhum dos adultos jante fora mais de uma vez por semana. (c) Determine a probabilidade de que pelo menos um dos dois adultos jante fora mais de uma vez por semana. (d) Qual dos eventos pode ser considerado incomum? Explique. 15. Confiabilidade do teste: Um certo vírus infecta uma em cada 200 pessoas. Um teste usado para detectar o vírus em uma pessoa dá positivo 80% das vezes quando a pessoa tem o vírus e 5% das vezes quando a pessoa não tem o vírus. (Esse resultado de 5% é chamado de falso positivo). Seja A o evento "a pessoa está infectada" e B o evento "o teste dá positivo". (a) Usando o teorema de Bayes, se o teste dá positivo, determine a probabilidade de a pessoa estar infectada. (b) Usando o teorema de Bayes, se o teste dá negativo, determine a probabilidade de a pessoa não estar infectada. - Resolução da Lista: ① As alternativas que não poderiam representar a probabilidade de um evento são: (b) e (f) • Por definição, todas as probabilidades estão no intervalo entre 0 e 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 Portanto como (b) = -1,4 é negativo e (f) 65 = 2,6, sendo maior que 1, então não podem representar um evento. • Não existe evento negativo; • P(A) = n(A) e ) n(A) não pode ser maior m(n) que n(Ω). ② E1: moeda S2 = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9} , m(Ω) = 2 p(E1) = 1/2 E2: No aleatório 0≤n≤9 Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , n(Ω) = 10 E} = {3} n(E2) = 1 p(E2) = 1/10 portanto: 3. A probabilidade de selecionar o p153 é nula, pois este elemento não faz parte do Espaço Amostral dos eventos possíveis. Portanto o n153 não é subconjunto do universo de resultados possíveis, sendo assim um acontecimento impossível. A=φ ou A ∩ ξͣ. Espaço Amostral: Portas, (Ω) = 4 A, B, C, D Evento: Seleciona a portao c/prínio n(A) == 1/A = 0,25 = 25% A probabilidade de selecionar um item que nao tenha defeito: Evento Complementa 472 100 grava dores? (A) = 5 /100 5 de c defeitos? A = .5 p(A) = 5 = 5% 1/20 6. (Menu) E₁ (entra da): p(E1) = ⅕ E₂ (prato): p{E₂) = 1/10 E3 (sobremesa)): P(E3) = ¼ P(E₁ ∩ E₂ ∩ E₃) = p(E1),p(E3),p(E3) = 1 * 1 * 1 = 1 = 5 10 4 200 Resp: São 200 possibilidades de refeições. * cont. da Lista de Exercício E1(5mural) t1 t2 t3 t4 t5 E1= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 9 E2= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E3= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E4= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E5= {0,2,4,6,8} = 5 P (E n E2 n E3 n E4 n E5) = P(E1). P(E2). P(E3). P(E4) . P(E5) = P= 9.10.10.5 = P= 4500 Resp: São gerados 4.500 códigos diferentes. ④ (Teste Verdadeiro ou falso) 4 Questões: Q1 Q2 Q3 Q4 2 possibilidades: 2. 2.2.2 = 2⁴ = 64 R: total de possibilidades de se acertar o teste é de 64 provas diferentes. 10 (a) pessoas bem preparadas P(A) = 259 = 0,1197 ƒ 12,1% n 2163 (b) p(A) = 552 = 0,2552 >= 25,1% n 2163 11(a) p(A)= 4,2 S 0,030 g 3,0% 137,3 (b)p(A)= 22,9 <= 0,166 Sg 16,7 % 137,3 (ç) p(A) = 7,9 ≈ 0,057 ≈ 5,7% 137,3 d) p(A) = 53,5 ≈ 0,389 ≈ 38,9% 137,3 12 (a)P(H | E n F) = 94 ≈ 0,114 ≈ 11,4% 819 (b)P(E n F | H )= 94 S ≈ 0,078 >= 7,8%. 1198 13 E1 : moedas: Ω= E¯ decai, E= n(E2) = 2 E1 : E2= {cara ;f;}= n(E1) = 1 P(E2) = 1 = 50% 2 E2 : Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} = n(E2) = 6 e2= {3,4,5,6} = 4 P(E2) = 4 = g 2 S ≈ 66,7 6 3 g% P(E2 n E2) = P(E2). P(E) = 2 . 1=g 2 =0,33 3 2 6 • Resp: A probabilidade de sair cara e umunnúnímero maior que elifé de aproximadamente 33%. 14 P( Az) = µ 180 0,180 1000 P(Az) = 799 = 0,179 999 (a) Probabilidade de Ambos: P(AnA1 ') = P( Az n Az) = P(AnAnA)=P(AEAA1P(AIAz)= 199 { 180 P(AnAz)=179 = 180 =0,032 3,2%ª ≈ 999 ÷ 1000 14 (b) Probabilidade de Nenhuma: p(N)' = 1-P(s) p(N)' = 1- 180 1000 P(N') = 0,82 ≈ 82, % (c) Pelo menos um dos dois jáitar : P(1)' = 1- p(N') P(1) = 1- 0,82 P(1) = 0,18 ≈18 % (d) O evento que pode ser considerado " inc[iscaruné de ambos os adultos (ao man de urna vóz)# por iscarun, a posobilidade de este evento aoçecor e flé., aproxieiruanamente 3% 15 (a)-teste positivo é a pessoar estar infectada; (Problema de Prob. Condicionadal P(P)=5+80+199.5 200200 100 p(TT)TP(np) P(1) P(T))= p(T)ap ) (1- ~ 80 P(H' RT) = T(H') 200100 0,05375 0,0744 ≈ 7,1%. (b)Test negativo e a pessoa não estar infectada: p(N)I=20+ 199x95 200 100 p(N) p(N')= p(N') = P(HN'H') P(N) (1- 1 95 200)100 p= 0,9989 0,94625 ≈ 99% 15 P(A) = 1 = 0,005 P(A)= - 1 = 0,995 200 Probabilidade ser infectado e e'teste 'tf dar positivo : 0,005x0,80 = 0,004 - Probabilidade ser infectado e o teste ttf dar negativo: 0,005x 0,20 = 0,001 - Prob, não ser infectado e o teste dar S positivo = 0,995x0,05 = 0,01975 - Prob.pro não ser infectado é o teste dar t negativo A. 0,995 x 0,95= 0,94625 -.Prob. do teste. dar. positivo : 0, 004T, 0,01975 = 0,05375 - Prob. do teste dar negativo :- - 0,001+0 ,94625 = 0,94625
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INSTITUTO FEDERAL Santa Catarina Aluno(a): Thay Mosquita Braga Lista em Sala - Probabilidade 1. Determine qual dos números abaixo não poderia representar a probabilidade de um evento. Explique seu raciocínio. (a) 66,6% (b) -1,4 (c) 0,0003 (d) 0 (e) 320 1080 (f) 65 25 2,6 2. Você joga uma moeda e seleciona aleatoriamente um número de 0 a 9. Qual é a probabilidade de obter coroa e selecionar um 3? 3. Um gerador de números aleatórios é usado para selecionar um número de 1 a 100. Qual é a probabilidade de selecionar o número 153? 4. Uma participante de um programa de TV deve selecionar aleatoriamente uma porta. Uma porta oculta seu prêmio em dinheiro enquanto as outras três a deixam sem prêmio. Qual é a probabilidade de que ela escolha a porta que deva ser eliminada? 5. Cinco de 100 gravadores digitais de vídeo em um inventário têm defeito. Qual é a probabilidade de você selecionar aleatoriamente um item que não tenha defeito? Nos exercícios 06 a 09, use o princípio fundamental da contagem. 6. Menu Um restaurante oferece um jantar especial ao preço de R$12 com 5 opções de entrada, 10 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Quantas refeições diferentes estão disponíveis quando você escolhe uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? 7. Computador Um computador tem 3 opções de processador, 3 de placa gráfica, 4 de memória, 6 de disco rígido e 2 de baterias. De quantas formas você pode montar o computador? 8. Imóvel Um corretor de imóveis utiliza uma caixa com segredo para guardar as chaves de uma casa que está à venda. O código do segredo da caixa consiste em quatro dígitos. O primeiro dígito não pode ser zero e o último deve ser par. Quantos códigos diferentes estão disponíveis? 9. Teste verdadeiro ou falso Considerando que todas as questões são respondidas, de quantas formas um teste de seis perguntas do tipo verdadeiro ou falso pode ser respondido? 10. Uma empresa está conduzindo uma pesquisa para determinar quão preparados as pessoas estão para interrupções de energia de longo prazo, desastre natural ou ataque terrorista. A distribuição de frequência na tabela a seguir mostra os resultados. Resposta Número de vezes, f Bem preparado 259 Um pouco preparado 952 Não muito preparado 552 Não preparado 337 Não sabe 63 (a) Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada esteja bem preparada? (b) Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada não esteja muito preparada? 11. A distribuição de frequência da tabela a seguir mostra o número de eleitores americanos (em milhões) de acordo com a idade. Idades dos eleitores Frequência/ (em milhões) 18 a 20 7,42 21 a 24 7,9 25 a 34 28,6 35 a 44 22,9 45 a 64 53,5 acima de 65 28,3 Encontre a probabilidade de que um eleitor escolhido aleatoriamente esteja na faixa etária: (a) De 18 a 20 anos. (b) De 35 a 44 anos. (c) De 21 a 24 anos. (d) De 45 a 64 anos 12. A tabela a seguir mostra o número de estudantes, homens e mulheres, matriculados no curso de enfermagem na Universidade de Oklahoma, em um semestre recente. Enfermagem Outros cursos Total Homens 94 1,104 (1,198) Mulheres 725 1,682 2,407 Total 819 2,786 3,605 (a) Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja homem, dado que é de enfermagem. (b) Encontre a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja de enfermagem, dado que é homem. 13. Uma moeda e um dado são lançados. Encontre a probabilidade de sair coroa e um número maior que 2. 14. Em uma amostra de 1.000 adultos americanos, 180 jantam fora em um restaurante mais de uma vez por semana. Dois adultos são selecionados aleatoriamente, sem reposição. (a) Determine a probabilidade de que ambos os adultos jantem fora mais de uma vez por semana. (b) Determine a probabilidade de que nenhum dos adultos jante fora mais de uma vez por semana. (c) Determine a probabilidade de que pelo menos um dos dois adultos jante fora mais de uma vez por semana. (d) Qual dos eventos pode ser considerado incomum? Explique. 15. Confiabilidade do teste: Um certo vírus infecta uma em cada 200 pessoas. Um teste usado para detectar o vírus em uma pessoa dá positivo 80% das vezes quando a pessoa tem o vírus e 5% das vezes quando a pessoa não tem o vírus. (Esse resultado de 5% é chamado de falso positivo). Seja A o evento "a pessoa está infectada" e B o evento "o teste dá positivo". (a) Usando o teorema de Bayes, se o teste dá positivo, determine a probabilidade de a pessoa estar infectada. (b) Usando o teorema de Bayes, se o teste dá negativo, determine a probabilidade de a pessoa não estar infectada. - Resolução da Lista: ① As alternativas que não poderiam representar a probabilidade de um evento são: (b) e (f) • Por definição, todas as probabilidades estão no intervalo entre 0 e 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 Portanto como (b) = -1,4 é negativo e (f) 65 = 2,6, sendo maior que 1, então não podem representar um evento. • Não existe evento negativo; • P(A) = n(A) e ) n(A) não pode ser maior m(n) que n(Ω). ② E1: moeda S2 = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9} , m(Ω) = 2 p(E1) = 1/2 E2: No aleatório 0≤n≤9 Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , n(Ω) = 10 E} = {3} n(E2) = 1 p(E2) = 1/10 portanto: 3. A probabilidade de selecionar o p153 é nula, pois este elemento não faz parte do Espaço Amostral dos eventos possíveis. Portanto o n153 não é subconjunto do universo de resultados possíveis, sendo assim um acontecimento impossível. A=φ ou A ∩ ξͣ. Espaço Amostral: Portas, (Ω) = 4 A, B, C, D Evento: Seleciona a portao c/prínio n(A) == 1/A = 0,25 = 25% A probabilidade de selecionar um item que nao tenha defeito: Evento Complementa 472 100 grava dores? (A) = 5 /100 5 de c defeitos? A = .5 p(A) = 5 = 5% 1/20 6. (Menu) E₁ (entra da): p(E1) = ⅕ E₂ (prato): p{E₂) = 1/10 E3 (sobremesa)): P(E3) = ¼ P(E₁ ∩ E₂ ∩ E₃) = p(E1),p(E3),p(E3) = 1 * 1 * 1 = 1 = 5 10 4 200 Resp: São 200 possibilidades de refeições. * cont. da Lista de Exercício E1(5mural) t1 t2 t3 t4 t5 E1= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 9 E2= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E3= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E4= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 E5= {0,2,4,6,8} = 5 P (E n E2 n E3 n E4 n E5) = P(E1). P(E2). P(E3). P(E4) . P(E5) = P= 9.10.10.5 = P= 4500 Resp: São gerados 4.500 códigos diferentes. ④ (Teste Verdadeiro ou falso) 4 Questões: Q1 Q2 Q3 Q4 2 possibilidades: 2. 2.2.2 = 2⁴ = 64 R: total de possibilidades de se acertar o teste é de 64 provas diferentes. 10 (a) pessoas bem preparadas P(A) = 259 = 0,1197 ƒ 12,1% n 2163 (b) p(A) = 552 = 0,2552 >= 25,1% n 2163 11(a) p(A)= 4,2 S 0,030 g 3,0% 137,3 (b)p(A)= 22,9 <= 0,166 Sg 16,7 % 137,3 (ç) p(A) = 7,9 ≈ 0,057 ≈ 5,7% 137,3 d) p(A) = 53,5 ≈ 0,389 ≈ 38,9% 137,3 12 (a)P(H | E n F) = 94 ≈ 0,114 ≈ 11,4% 819 (b)P(E n F | H )= 94 S ≈ 0,078 >= 7,8%. 1198 13 E1 : moedas: Ω= E¯ decai, E= n(E2) = 2 E1 : E2= {cara ;f;}= n(E1) = 1 P(E2) = 1 = 50% 2 E2 : Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} = n(E2) = 6 e2= {3,4,5,6} = 4 P(E2) = 4 = g 2 S ≈ 66,7 6 3 g% P(E2 n E2) = P(E2). P(E) = 2 . 1=g 2 =0,33 3 2 6 • Resp: A probabilidade de sair cara e umunnúnímero maior que elifé de aproximadamente 33%. 14 P( Az) = µ 180 0,180 1000 P(Az) = 799 = 0,179 999 (a) Probabilidade de Ambos: P(AnA1 ') = P( Az n Az) = P(AnAnA)=P(AEAA1P(AIAz)= 199 { 180 P(AnAz)=179 = 180 =0,032 3,2%ª ≈ 999 ÷ 1000 14 (b) Probabilidade de Nenhuma: p(N)' = 1-P(s) p(N)' = 1- 180 1000 P(N') = 0,82 ≈ 82, % (c) Pelo menos um dos dois jáitar : P(1)' = 1- p(N') P(1) = 1- 0,82 P(1) = 0,18 ≈18 % (d) O evento que pode ser considerado " inc[iscaruné de ambos os adultos (ao man de urna vóz)# por iscarun, a posobilidade de este evento aoçecor e flé., aproxieiruanamente 3% 15 (a)-teste positivo é a pessoar estar infectada; (Problema de Prob. Condicionadal P(P)=5+80+199.5 200200 100 p(TT)TP(np) P(1) P(T))= p(T)ap ) (1- ~ 80 P(H' RT) = T(H') 200100 0,05375 0,0744 ≈ 7,1%. (b)Test negativo e a pessoa não estar infectada: p(N)I=20+ 199x95 200 100 p(N) p(N')= p(N') = P(HN'H') P(N) (1- 1 95 200)100 p= 0,9989 0,94625 ≈ 99% 15 P(A) = 1 = 0,005 P(A)= - 1 = 0,995 200 Probabilidade ser infectado e e'teste 'tf dar positivo : 0,005x0,80 = 0,004 - Probabilidade ser infectado e o teste ttf dar negativo: 0,005x 0,20 = 0,001 - Prob, não ser infectado e o teste dar S positivo = 0,995x0,05 = 0,01975 - Prob.pro não ser infectado é o teste dar t negativo A. 0,995 x 0,95= 0,94625 -.Prob. do teste. dar. positivo : 0, 004T, 0,01975 = 0,05375 - Prob. do teste dar negativo :- - 0,001+0 ,94625 = 0,94625