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SÍNTESE DA SÉRIE DE CAPITAIS Arquivo com objetivo especificamente acadêmico conforme bibliografia básica proposta no conteúdo programático da disciplina SEQUÊNCIA UNIFORME DE CAPITAIS SUC ou SÉRIES DE PAGAMENTOS E DESEMBOLSOS ou RENDAS CERTAS ou ANUIDADES ou ainda SEQUÊNCIAS FINANCEIRAS Prof Me Roberval Modesto da Cunha SÉRIE DE CAPITAIS Constitui em um conjunto de desembolsos onde um deles consiste na forma de uma sequência de pagamentos representada por prestações ou parcelas efetuadas em épocas distintas destinadas a liquidar uma dívida processo de amortização e o outro por se tratar também em um conjunto de desembolsos ou seja uma sucessão de depósitos com intuito de formar um capital processo de acumulação em data futura OBJETIVO PRINCIPAL DA SÉRIE Se pretender constituir um capital com depósitos sucessivos e consecutivos em uma data futura leva ao processo de capitalização Caso contrário quando queremos liquidar uma dívida temos um processo de amortização Pode ocorrer também o caso em que efetuase pagamentos pela utilização sem que ocorra amortização ou seja é o caso dos aluguéis seguro de vida plano de saúde etc Portanto serve para extinguir uma dívida ou construir um capital em data futura CLASSIFICAÇÃO DA SÉRIE DE CAPITAIS CONFORME ALGUNS CRITÉRIOS 1 Quanto ao nº de Parcelas 2 Quanto a Periodicidade 3 Quanto ao Valor das Parcelas ou Prestações Finitastemporárias Infinitasperpétuas Periódicas Não Periódicas Fixasconstantes Variáveis 4 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 41 SÉRIE IMEDIATA 1º Período da transação POSTECIPADA ou VENCIDA Exemplo Série de 10 pagamentos com início no final do 1º período n PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PMT 10 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 42 SERÍE IMEDIATA ANTECIPADA Exemplo Série de 10 pagamentos desde a data do contrato n PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PMT 10 PMT 9 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 43 Série Diferida transação com carência Postecipada Antecipada Exemplo Série de cinco Pagamentos com carência n PV 0 1 2 3 4 5 PMT PMT PMT 6 7 PMT PMT 1 2 3 4 5 TIPOS E CLASSIFICAÇÃO DA SÉRIE SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS SUC se caracterizam pelas parcelas fixas e periódicas SÉRIE NÃO UNIFORME se caracterizam pela parcelas diferentes e não periódicas CLASSIFICAÇÃO CONFORME ALGUNS CRITÉRIOS 02062023 8 PRAZO DE DURAÇÃO VALOR DAS SÉRIESPARCELAS FINITA prazo é limitado FIXAS PERPÉTUA prazo é ilimitado VARIÁVEIS PERIODICIDADE OCORRÊNCIA DA 1ª PARCELA PERIÓDICA mês trimestre ano dia etc POSTECIPADA sem entrada NÃO PERÍODICA ANTECIPADA com entrada DIFERIDA com carência Diagrama de Fluxo de Caixa Acumulação Série Imediata Postecipada Diagrama de Fluxo de Caixa Acumulação PMT PMT PMT PMT n n 1 3 2 1 0 FV Série Imediata Antecipada PMT MODELO BÁSICO SUC Entendese por um modelo básico as séries ou sequências de Pagamentos para liquidação de uma dívida que sejam simultaneamente Número de Parcelas Finitas duração limitadas Parcelas Constantes Fixas Parcelas Periódicas mensais Parcelas Imediatas e Postecipadas sem entrada Entendese por um modelo básico as séries ou sequências de desembolsos para compor um capital em data futura que sejam simultaneamente Número de Parcelas Finitas duração limitadas Parcelas Constantes Fixas Parcelas Periódicas mensais Parcelas Imediatas e Antecipadas desembolso no ato do contrato OBS INDEPENDENTEMENTE DO TIPO DA SÉRIE 1 A unidade de referência da taxa de juro deve coincidir com a unidade do períodoprazo dos pagamentos desembolsos eou depósitos 2 Intervalo de tempo existente entre duas prestações eou parcelas é chamado de período enquanto o tempo total de duração da sériesequência financeira ou seja a somatória dos períodos da série é denominada de prazo ou duração da série ELEMENTOS DA SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS SUC CALCULADORA FINANCEIRA HP 12 C PV FV i n PMT BEGIN ou END CALCULADORA CIENTÍFICA USO DAS FÓRMULAS EOU AINDA TABELAS ETAPAS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE UMA SUC 1º PASSO Identificar se o problema envolve um processo de amortização ex extinguir dívidas ou acumulação de capital ex aplicações ou seja encontrar respectivamente o elemento PV ou FV conhecido os desembolsos 2º PASSO Verificar se a sérieSUC está na forma de com ou sem entrada ou ainda diferida carência 3º PASSO Identificar periodicidade da taxa i e do prazo n ou seja verificar se estão na mesma unidade de referência do período prazo e ainda que o n representa quantidade de períodos da série 4º PASSO Adotar a forma de cálculo do problema ou seja uso dos elementos no método financeiro da HP 12C eou pelo uso das fórmulas na calculadora científica Fator das Fórmulas SUC pagamentos i i FAM FVA i i i FVA FAM n n n 1 1 1 1 1 Fator de Amortização FAM ou Fator do Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC ou Coeficiente de Financiamento CF n i i FRC CF FVA CF FRC 1 1 1 Fator das Fórmulas SUC Acumulação i i FAC n 1 1 Fator de Acumulação de Capital Fator de Formação de Capital 1 1 i n i FFC LEMBRETE SEQUÊNCIASÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS HP 12C OBJETIVO LIQUIDAÇÃO DE UMA DÍVIDA SÉRIE Poderá ser utilizado na forma POSTECIPADA ANTECIPADA ou ainda COM CARÊNCIA Elementos PV PMT i n END g8 ou BEG g7 PROCEDIMENTOS verificar a unidade de referência entre a taxa de juros e o prazo os elementos informados e a classificação da série observando o inicio da série exemplo início dos pagamentos OBJETIVO ACUMULAR UM CAPITAL PARA RESGATAR EM DATA FUTURA SÉRIE UTILIZAR NA FORMA ANTECIPADA Elementos FV PMT i n BEG g7 PROCEDIMENTOS verificar a unidade de referência entre a taxa de juros e o prazo os elementos informados e considerar a classificação da série de forma antecipada desde a data contratual 16 FÓRMULAS SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS EOU ACUMULAÇÃO INCÓGNITA POSTECIPADA ANTECIPADA PV PMT FV PMT P A G A M E N T O A C U M U L A Ç Ã O PMT 𝐹𝑉 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 FV 𝑃𝑀𝑇 𝑥 1𝑖 𝑛1 𝑖 FV 𝑃𝑀𝑇 𝑥 1 𝑖 𝑥 1𝑖 𝑛1 𝑖 PMT 𝐹𝑉 1𝑖 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 EXEMPLIFICAÇÃO SUC INTERPRETAÇÃO Exemplo A Um certo bem tem seu preço fixado em R 400000 Então uma pessoa pretende adquirir em 36 prestações mensais iguais e consecutivas Sabendo que a taxa de juros de mercado registrada no plano a prazo é de 2683 ao ano encontre o valor das prestações mensais sem considerar os encargos Encontre também se alterar o plano de pagamento ou seja a 1ª prestação das parcelas mensais iguais e consecutivas ocorrer no ato da compra isto é a 1ª parcela na entrada Exemplo B Considerando que uma pessoa consegue depositar mensalmente e consecutivamente todo início do mês a quantia fixa de R 80000 em certa conta investimento que remunera a uma taxa de 12416 ao ano encontre o valor líquido que poderá resgatar ao final de cinco anos com apenas a incidência do IR de 15 Exemplo C Uma pessoa adquire um bem que tem seu preço fixado em R 355000 No entanto foi adquirido em 24 prestações mensais iguais e consecutivas sem entrada e ainda com o primeiro pagamento ocorrendo daqui a três meses ou seja três meses da data da compra Sabendo que a taxa de juros da negociação vale 1732 ao ano encontre o valor das prestações fixas mensais sem considerar os devidos encargos Exemplo D Uma pessoa adquire um automóvel seminovo Para tanto o seu usado fica como entrada avaliado em R 5000000 E o restante do valor do veículo foi liquidado em 36 prestações mensais iguais e consecutivas na quantia de R 85639 cada Considerando uma taxa de juros de 151162 ao ano encontre o valor integral do automóvel na data da compra sem os devidos encargos nas seguintes condições Se a 1ª prestação após 30 dias da data de aquisição Se a 1ª prestação no ato da aquisição contrato Se a 1ª prestação for efetuada no final do 4º mês ou seja com carência de três meses Exemplo E Uma pessoa adquire um veículo com a seguinte condição 62 do valor foi dado como pagamento inicial e o restante foi liquidado em 30 parcelas mensais iguais e consecutivas na quantia de R 145785 Considerando que a Instituição Financeira que fez a operação atua com capitalização mensal em suas taxas de juros anuais Encontre o valor total do veículo na data da compra considerando uma taxa de juros de 1272 ao ano e sem considerar os devidos encargos nas seguintes condições Se a 1ª parcela após 30 dias da data de aquisição Se a 1ª parcela no ato da aquisição contrato Se a 1ª parcela for efetuada no final do 3º mês ou seja com carência de dois meses Exemplo F Um automóvel seminovo no valor de R 9864000 foi adquirido com uma entrada de R 8150000 e o restante na forma de financiamento Considerando uma taxa de juros de 17723 ao ano encontre as trinta e seis parcelas mensais iguais e consecutivas do financiamento nas seguintes condições ou seja sem entrada com entrada e com carência de três meses para iniciar os pagamentos das parcelas SÍNTESE SUC Exemplo de Série de Pagamentos Imediata 1 Um automóvel zero km foi anunciado pelo valor de R 10298000 Porém sendo 30 do valor do bem como entrada e mais quarenta e oito prestações mensais e iguais a uma taxa de juros de 23581 ao ano encontre o valor destas prestações sem os encargos PMT PMT PMT PMT 48 47 3 2 1 0 PV PMT MÊS SÍNTESE SUC Exemplos de Série de Pagamentos Imediata 2 Encontre o preço financeiro de um bem na data da compra sabendose que o mesmo foi adquirido da seguinte forma uma entrada de 20 do valor anunciado e o restante em mais dezoito prestações iguais mensais e consecutivas no valor de R 42115 cada considerando uma taxa de JC de 2496 ao ano capitalizado mensalmente Encontre ainda o preço financeiro do bem mantendo o mesmo número de prestações e o mesmo valor destas prestações mensais porém se o pagamento for efetuado desde a data da compra apenas alterando o fluxo de caixa Sem considerar os encargos n FAM i PMT PV 1 FAM i n i PMT PV PMT PMT PMT PMT 18 17 3 2 1 0 PV PMT MÊS Exemplos SUC eou Série de Pagamentos através do fluxo de caixa encontre Mês PV 0 1 2 3 4 5 6 34371 34371 34371 34371 34371 34371 Mês 2300 0 1 2 3 4 5 6 PMT PMT PMT PMT PMT PMT i 28627 ao ano 3 4 SUC Pagamentos 5 Suponha que certa compra de um bem no valor anunciado de R 349900 pode ser efetuada pelo pagamento em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas considerando o anúncio que diz sem juros e sem entrada Se a aquisição for liquidada no ato terá um desconto de 8 sobre o valor do bem Então encontre o valor da prestação considerando uma taxa de juros 1 ao mês levando em conta algumas informações anteriores inclusive o valor anunciado nas seguintes condições a Se a 1ª parcela ocorrer com 30 dias da data da compra b Se a 1ª parcela ocorrer no ato da compra c Se a 1ª parcela ocorrer com três meses de carência EXEMPLO SUC Acumulação de Capital 6 Se uma pessoa depositar R 62000 por mês a uma remuneração na base da taxa de JC de 11087 ao ano encontre o valor líquido a ser resgatado no final de 20 meses considerando que a alíquota do IR nesta transação seja de 175 quando a O primeiro depósito mensal na data da contratação b O primeiro depósito mensal no final do 1º período contratado c A Rentabilidade líquida real considerando uma inflação de 43 no período da operação financeira n FAC i PMT FV 1 FAC i n i PMT FV PMT PMT PMT PMT 20 19 3 2 1 0 PMT FV EXEMPLO SUC Acumulação de Capital 7 Quanto uma pessoa precisará depositar mensalmente em parcelas iguais mensais e consecutivas desde a data da contratação durante três anos para que possa resgatar no final do período contratado a quantia de R 4000000 admitindo uma taxa de JC préfixada em 11617 ao ano sem alteração da taxa no período da operação e sem considerar os encargos PMT 𝐹𝑉 1𝑖 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 PMT PMT PMT PMT 36 35 3 2 1 0 PMT FV SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida m i PMT FAM i n PV 1 8 Uma loja vende uma geladeira em dezoito prestações mensais e iguais no valor de R 15655 sem entrada e com carência de três meses a partir da data da compra para iniciar os pagamentos Sabendose que a taxa de JC praticada pela loja é de 31066 ao ano E como benevolência considere apenas no período da carência uma correção do bem em torno de 03 ao mês devido ao tipo de segmento Encontre o valor financeiro da geladeira na data da compra Desconsidere os encargos PMT PMT 21 20 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT MÊS SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida 9 Uma pessoa realizou um empréstimo no valor de R 1000000 de forma que os devidos encargos sejam incorporados no valor do empréstimo uma vez que precisa exatamente da quantia solicitada Considerando que a taxa de JC utilizada na operação foi de 20271 ao ano que o empréstimo deverá ser liquidado em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas e que o 1º pagamento ocorreu no final do 5º mês após a data da contratação encontre o valor das parcelas com base nas informações 1 12 PMT PV x 1i m FAM in PMT 16 15 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT Mês SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida 10 Uma loja de eletrodomésticos vende um bem no valor hoje de R 240000 A aquisição a prazo deverá ser efetuada com 15 do valor anunciado como entrada e mais vinte e quatro parcelas mensais iguais e consecutivas Porém o 1º pagamento da série poderá ser realizado daqui a quatro meses Sabendose que a taxa de juros composta praticada pela loja vale de 29081 ao ano encontre o valor destas parcelas fixas mensais com base nas informações Desconsidere os encargos 1 24 PMT PV x 1i m FAM in PMT PMT 27 26 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT Mês SÍNTESE DE SUC 11 Um pai preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho idealizou acumular dinheiro em uma conta investimento que rende em termos préfixado 85 ao ano ou seja a taxa de juros não se altera durante a operação O pai depositará desde a data contrato que coincide com o terceiro ano de aniversário do filho e seguirá consecutivamente em parcelas anuais sempre na data do aniversário do filho até completar 18 anos a quantia no valor de R 2600000 por ano nessa conta nos primeiros 50 do prazo estipulado e no restante deste prazo depositará a quantia de R 2400000 O intuito é para que o filho possa fazer cinco saques de valores iguais anuais e consecutivos um a cada ano com o primeiro saque um ano após o último depósito realizado pelo pai O saldo remanescente a cada saque ficará rendendo à mesma taxa registrada até o quinto saque quando o saldo se anulará Considere a alíquota do IR de 15 apenas na composição final do período dos depósitos anuais acumulação Encontre o valor de cada saque fixo anual que será realizado pelo filho após a formação do capital SÍNTESE DE SUC 12 Você está vendendo um apartamento pelo valor à vista de R 35000000 No entanto uma pessoa ofereceu adquirir pela seguinte condição R 10000000 no ato mais 5000000 daqui um mês posteriormente mais um reforço adicional de R 10000000 daqui um ano e mais parcelas mensais fixas e consecutivas de R 600000 durante 24 meses iniciando daqui um mês da data da compra Considerando como base para análise o índice do IGPM de 8343 ao ano encontre o valor negociado e gerado conforme a proposta a prazo Você venderia nesta condição Justifique a resposta positiva ou negativa SÍNTESE DE SUC 13 Se você depositar mensalmente em parcelas consecutivas iguais a R 60000 em uma conta investimento desde a data do contrato que remunera uma taxa de juros anual 1269 encontre no final do quadragésimo oitavo mês a o valor do resgate líquido b o valor do ganho líquido c o ganho líquido real e a rentabilidade líquida real OBS Considere apenas a alíquota do IR de 15 e uma inflação no período da operação financeira de 529 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES SUC 1 Uma pessoa deposita mensalmente R 58000 desde a data do contrato durante 48 meses a uma taxa de JC na base de 12416 ao ano Encontre o valor líquido a ser resgatado pela pessoa conforme os dados desta operação financeira e uma alíquota de IR de 15 Encontre ainda a rentabilidade líquida da operação R 3450170 2 Você pretende acumular certo capital com o intuito de adquirir um veículo sem ter a necessidade do financiamento ou seja pretende efetuar depósitos mensais iguais e consecutivos desde hoje para ao final de dois anos atingir o objetivo Para tanto se conseguir uma taxa de juros de 12416 ao ano e o veículo de interesse hoje vale R 6080000 e ainda considerando que o valor do veículo sofre alteração na ordem de 2 ao ano encontre o valor das parcelas mensais a ser depositada para atingir o objetivo Desconsidere os encargos R 232788 3 Uma loja vende um notebook pelo preço de balcão de R 260000 Se for adquirido a prazo poderá ser liquidado em 24 parcelas mensais iguais e consecutivas sem entrada e ainda com carência de três meses para iniciar o pagamento das parcelas Considerando que a taxa de JC praticada pela loja compõem 34018 ao ano encontre o valor das parcelas mensais desconsiderando os encargos R 15589 4 O preço de um terreno é de R 9285000 Um comprador propõe pagar 40 de entrada e financiar o restante em 60 prestações mensais iguais e consecutivas Considerando uma taxa de juros compostos de 15938 ao ano Calcule o valor das prestações mensais desconsiderando os encargos R 132183 5 Uma financeira concedeu um empréstimo no valor de R 1640000 para ser amortizado em 24 prestações mensais e iguais O tomador se propôs a pagar ainda R 110000 no final de cada período de 6 meses a título de reforço das prestações A taxa de JC cobrada foi de 24605 ao ano Encontre o valor das prestações mensais com base nestas informações sem os devidos encargos R 67740 6 Um empréstimo pessoal exatamente de R 800000 foi realizado para pagamento em 10 prestações mensais iguais e consecutivas Considerando a taxa de JC de 251927 ao ano encontre o valor das prestações nestas condições considerando apenas os IOFs para compor o valor do empréstimo R 89447 7 Uma pessoa pretende adquirir um veículo zero Km e após várias consultas finalizou na seguinte condição Preço do Veículo R 10265000 Valor da entrada seu carro usado avaliado em R 8400000 prazomeses em 12 taxa de JC negociada 169 ao mês Desconsiderar os encargos Encontre o valor do das parcelas mensais com base nas informações R 170138 8 Se uma pessoa depositar mensalmente em um prazo de 3 anos desde a data do contrato o valor uniforme de R 50000 em renda fixa a uma taxa de JC anual prefixada de 12282 além de depósitos semestrais e iguais no valor de R 120000 no período com intuito de aumentar o resgate acumulado Encontre o valor que poderá ser resgatado após dois meses do final do prazo contratado e com correção neste período Desconsidere os encargos R 3108340 9 Se você adquirir um bem majorado em R 1095000 através do cartão de crédito em dezoito parcelas mensais e iguais Considerando uma taxa de JC de 26676 ao ano e que em face do vencimento de seu cartão a primeira parcela ocorrerá daqui a doze dias da data da compra encontre o valor convencional das parcelas mensais e o valor efetivo data da fatura R 72974 R 72116 10 Encontre o valor do investimento hoje necessário para garantir um recebimento anual consecutivo e igual a R 1500000 nos próximos doze anos considerando a taxa efetiva de JC de 10 ao ano sem alteração em todo o período da operação R 10220537 11 Se você depositar R 45000 todo mês de forma consecutiva iniciando hoje a uma taxa de juros de 11749 ao ano considerando que o IR na alíquota de 15 e uma inflação de 3909 ao ano apenas no final do prazo encontre a rentabilidade líquida real no final de cinco anos de aplicação ilr 66 ap 12 Um empréstimo de R 4000000 foi concedido a um comerciante a ser liquidado em prestações mensais iguais e consecutivas de R 224413 Sabendo que o empréstimo foi contratado a uma taxa de JC de 24899 ao ano além de ser concedido ainda um prazo de 4 meses de carência para liquidação da 1ª prestação encontre a quantidade de parcelas mensais do empréstimo Desconsidere os encargos 24 meses 13 Com vistas a modernizarse tecnologicamente uma empresa procurou uma indústria fabricante de equipamentos para trocar certa máquina de fabricação eletrônica O valor do novo equipamento é de R 9000000 e o fabricante aceitou a máquina usada da empresa como parte do pagamento da nova cobrindo 25 do seu valor anunciado desde que ocorra mais uma quantia em dinheiro de entrada E o restante deve ser liquidado em 48 prestações fixas e mensais de 161026 nas quais estava embutida uma taxa de JC de 25932 ao ano Encontre o valor da quantia dada como entrada em dinheiro na negociação R 1750000 14 Encontre o resgate líquido no final do 18º mês de uma aplicação correspondente a 12 depósitos mensais fixos e consecutivos no valor de R 80000 sabendo que a taxa de JC foi de 8732 ao ano que o primeiro depósito foi no ato do contrato e considere apenas uma alíquota de IR de 175 R 1032400 15 Você adquire um celular pelo cartão de crédito em 10 parcelas mensais e iguais de R 39450 sendo a primeira daqui a 20 dias em razão do vencimento do cartão Considerando que existe uma taxa de JC de 25193 ao ano encontre o valor do celular com as informações sem considerar os encargos R 352000 16 Se você conseguir depositar todo mês regularmente a quantia de R 35000 em uma aplicação que remunera a taxa de JC de 11617 ao ano e atingir o objetivo para daqui certo prazo a quantia bruta de R 1213948 aproximadamente encontre o prazo em meses despreze os encargos 30 meses 17 Uma pessoa adquiriu um celular através do cartão de crédito em 24 parcelas mensais e iguais de R 18236 Considerando uma taxa de JC de 24458 ao ano e que o primeiro pagamento ocorreu 20 dias após a data da compra encontre o valor financeiro do celular na data da compra R 353300 18 Com intuito de acumular certo capital para realização de uma viagem com a família você deposita em parcelas iguais mensais e consecutivas a quantia de R 50000 nos primeiros seis meses posteriormente o valor de R 60000 nos outros seis meses seguintes e o valor de R 75000 nos outros doze meses sequenciais Encontre o resgate líquido no final de dois anos considerando uma taxa de JC de 12282 ao ano que os depósitos são na forma da série antecipada e a alíquota do IR vale 175 R 1743480 19 O departamento financeiro de uma empresa elaborou um plano de pagamento para venda de um terreno sem entrada a ser realizado com 12 pagamentos mensais de R 115000 na sequência mais 18 pagamentos mensais de R 95000 e finalmente na sequência mais 24 pagamentos mensais de R 75000 No papel do cliente encontre o valor financiado na data da aquisição com base nas informações e considerando uma taxa de juro composto no mercado deste segmento de 16766 ao ano sem encargos R 3612182 20 Ache a taxa de JC mensal suficiente para que possa depositar mensalmente desde de hoje a quantia fixa de R 30000 e resgatar no final de 5 anos o valor líquido de R 2305110 Considere apenas a alíquota do IR de 15 09 am
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SÍNTESE DA SÉRIE DE CAPITAIS Arquivo com objetivo especificamente acadêmico conforme bibliografia básica proposta no conteúdo programático da disciplina SEQUÊNCIA UNIFORME DE CAPITAIS SUC ou SÉRIES DE PAGAMENTOS E DESEMBOLSOS ou RENDAS CERTAS ou ANUIDADES ou ainda SEQUÊNCIAS FINANCEIRAS Prof Me Roberval Modesto da Cunha SÉRIE DE CAPITAIS Constitui em um conjunto de desembolsos onde um deles consiste na forma de uma sequência de pagamentos representada por prestações ou parcelas efetuadas em épocas distintas destinadas a liquidar uma dívida processo de amortização e o outro por se tratar também em um conjunto de desembolsos ou seja uma sucessão de depósitos com intuito de formar um capital processo de acumulação em data futura OBJETIVO PRINCIPAL DA SÉRIE Se pretender constituir um capital com depósitos sucessivos e consecutivos em uma data futura leva ao processo de capitalização Caso contrário quando queremos liquidar uma dívida temos um processo de amortização Pode ocorrer também o caso em que efetuase pagamentos pela utilização sem que ocorra amortização ou seja é o caso dos aluguéis seguro de vida plano de saúde etc Portanto serve para extinguir uma dívida ou construir um capital em data futura CLASSIFICAÇÃO DA SÉRIE DE CAPITAIS CONFORME ALGUNS CRITÉRIOS 1 Quanto ao nº de Parcelas 2 Quanto a Periodicidade 3 Quanto ao Valor das Parcelas ou Prestações Finitastemporárias Infinitasperpétuas Periódicas Não Periódicas Fixasconstantes Variáveis 4 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 41 SÉRIE IMEDIATA 1º Período da transação POSTECIPADA ou VENCIDA Exemplo Série de 10 pagamentos com início no final do 1º período n PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PMT 10 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 42 SERÍE IMEDIATA ANTECIPADA Exemplo Série de 10 pagamentos desde a data do contrato n PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PMT 10 PMT 9 Quanto a Forma ou momento dos Pagamentos ou desembolsos ou ainda depósitos 43 Série Diferida transação com carência Postecipada Antecipada Exemplo Série de cinco Pagamentos com carência n PV 0 1 2 3 4 5 PMT PMT PMT 6 7 PMT PMT 1 2 3 4 5 TIPOS E CLASSIFICAÇÃO DA SÉRIE SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS SUC se caracterizam pelas parcelas fixas e periódicas SÉRIE NÃO UNIFORME se caracterizam pela parcelas diferentes e não periódicas CLASSIFICAÇÃO CONFORME ALGUNS CRITÉRIOS 02062023 8 PRAZO DE DURAÇÃO VALOR DAS SÉRIESPARCELAS FINITA prazo é limitado FIXAS PERPÉTUA prazo é ilimitado VARIÁVEIS PERIODICIDADE OCORRÊNCIA DA 1ª PARCELA PERIÓDICA mês trimestre ano dia etc POSTECIPADA sem entrada NÃO PERÍODICA ANTECIPADA com entrada DIFERIDA com carência Diagrama de Fluxo de Caixa Acumulação Série Imediata Postecipada Diagrama de Fluxo de Caixa Acumulação PMT PMT PMT PMT n n 1 3 2 1 0 FV Série Imediata Antecipada PMT MODELO BÁSICO SUC Entendese por um modelo básico as séries ou sequências de Pagamentos para liquidação de uma dívida que sejam simultaneamente Número de Parcelas Finitas duração limitadas Parcelas Constantes Fixas Parcelas Periódicas mensais Parcelas Imediatas e Postecipadas sem entrada Entendese por um modelo básico as séries ou sequências de desembolsos para compor um capital em data futura que sejam simultaneamente Número de Parcelas Finitas duração limitadas Parcelas Constantes Fixas Parcelas Periódicas mensais Parcelas Imediatas e Antecipadas desembolso no ato do contrato OBS INDEPENDENTEMENTE DO TIPO DA SÉRIE 1 A unidade de referência da taxa de juro deve coincidir com a unidade do períodoprazo dos pagamentos desembolsos eou depósitos 2 Intervalo de tempo existente entre duas prestações eou parcelas é chamado de período enquanto o tempo total de duração da sériesequência financeira ou seja a somatória dos períodos da série é denominada de prazo ou duração da série ELEMENTOS DA SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS SUC CALCULADORA FINANCEIRA HP 12 C PV FV i n PMT BEGIN ou END CALCULADORA CIENTÍFICA USO DAS FÓRMULAS EOU AINDA TABELAS ETAPAS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE UMA SUC 1º PASSO Identificar se o problema envolve um processo de amortização ex extinguir dívidas ou acumulação de capital ex aplicações ou seja encontrar respectivamente o elemento PV ou FV conhecido os desembolsos 2º PASSO Verificar se a sérieSUC está na forma de com ou sem entrada ou ainda diferida carência 3º PASSO Identificar periodicidade da taxa i e do prazo n ou seja verificar se estão na mesma unidade de referência do período prazo e ainda que o n representa quantidade de períodos da série 4º PASSO Adotar a forma de cálculo do problema ou seja uso dos elementos no método financeiro da HP 12C eou pelo uso das fórmulas na calculadora científica Fator das Fórmulas SUC pagamentos i i FAM FVA i i i FVA FAM n n n 1 1 1 1 1 Fator de Amortização FAM ou Fator do Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC ou Coeficiente de Financiamento CF n i i FRC CF FVA CF FRC 1 1 1 Fator das Fórmulas SUC Acumulação i i FAC n 1 1 Fator de Acumulação de Capital Fator de Formação de Capital 1 1 i n i FFC LEMBRETE SEQUÊNCIASÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS HP 12C OBJETIVO LIQUIDAÇÃO DE UMA DÍVIDA SÉRIE Poderá ser utilizado na forma POSTECIPADA ANTECIPADA ou ainda COM CARÊNCIA Elementos PV PMT i n END g8 ou BEG g7 PROCEDIMENTOS verificar a unidade de referência entre a taxa de juros e o prazo os elementos informados e a classificação da série observando o inicio da série exemplo início dos pagamentos OBJETIVO ACUMULAR UM CAPITAL PARA RESGATAR EM DATA FUTURA SÉRIE UTILIZAR NA FORMA ANTECIPADA Elementos FV PMT i n BEG g7 PROCEDIMENTOS verificar a unidade de referência entre a taxa de juros e o prazo os elementos informados e considerar a classificação da série de forma antecipada desde a data contratual 16 FÓRMULAS SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS OU SÉRIES DE PAGAMENTOS EOU ACUMULAÇÃO INCÓGNITA POSTECIPADA ANTECIPADA PV PMT FV PMT P A G A M E N T O A C U M U L A Ç Ã O PMT 𝐹𝑉 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 FV 𝑃𝑀𝑇 𝑥 1𝑖 𝑛1 𝑖 FV 𝑃𝑀𝑇 𝑥 1 𝑖 𝑥 1𝑖 𝑛1 𝑖 PMT 𝐹𝑉 1𝑖 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 EXEMPLIFICAÇÃO SUC INTERPRETAÇÃO Exemplo A Um certo bem tem seu preço fixado em R 400000 Então uma pessoa pretende adquirir em 36 prestações mensais iguais e consecutivas Sabendo que a taxa de juros de mercado registrada no plano a prazo é de 2683 ao ano encontre o valor das prestações mensais sem considerar os encargos Encontre também se alterar o plano de pagamento ou seja a 1ª prestação das parcelas mensais iguais e consecutivas ocorrer no ato da compra isto é a 1ª parcela na entrada Exemplo B Considerando que uma pessoa consegue depositar mensalmente e consecutivamente todo início do mês a quantia fixa de R 80000 em certa conta investimento que remunera a uma taxa de 12416 ao ano encontre o valor líquido que poderá resgatar ao final de cinco anos com apenas a incidência do IR de 15 Exemplo C Uma pessoa adquire um bem que tem seu preço fixado em R 355000 No entanto foi adquirido em 24 prestações mensais iguais e consecutivas sem entrada e ainda com o primeiro pagamento ocorrendo daqui a três meses ou seja três meses da data da compra Sabendo que a taxa de juros da negociação vale 1732 ao ano encontre o valor das prestações fixas mensais sem considerar os devidos encargos Exemplo D Uma pessoa adquire um automóvel seminovo Para tanto o seu usado fica como entrada avaliado em R 5000000 E o restante do valor do veículo foi liquidado em 36 prestações mensais iguais e consecutivas na quantia de R 85639 cada Considerando uma taxa de juros de 151162 ao ano encontre o valor integral do automóvel na data da compra sem os devidos encargos nas seguintes condições Se a 1ª prestação após 30 dias da data de aquisição Se a 1ª prestação no ato da aquisição contrato Se a 1ª prestação for efetuada no final do 4º mês ou seja com carência de três meses Exemplo E Uma pessoa adquire um veículo com a seguinte condição 62 do valor foi dado como pagamento inicial e o restante foi liquidado em 30 parcelas mensais iguais e consecutivas na quantia de R 145785 Considerando que a Instituição Financeira que fez a operação atua com capitalização mensal em suas taxas de juros anuais Encontre o valor total do veículo na data da compra considerando uma taxa de juros de 1272 ao ano e sem considerar os devidos encargos nas seguintes condições Se a 1ª parcela após 30 dias da data de aquisição Se a 1ª parcela no ato da aquisição contrato Se a 1ª parcela for efetuada no final do 3º mês ou seja com carência de dois meses Exemplo F Um automóvel seminovo no valor de R 9864000 foi adquirido com uma entrada de R 8150000 e o restante na forma de financiamento Considerando uma taxa de juros de 17723 ao ano encontre as trinta e seis parcelas mensais iguais e consecutivas do financiamento nas seguintes condições ou seja sem entrada com entrada e com carência de três meses para iniciar os pagamentos das parcelas SÍNTESE SUC Exemplo de Série de Pagamentos Imediata 1 Um automóvel zero km foi anunciado pelo valor de R 10298000 Porém sendo 30 do valor do bem como entrada e mais quarenta e oito prestações mensais e iguais a uma taxa de juros de 23581 ao ano encontre o valor destas prestações sem os encargos PMT PMT PMT PMT 48 47 3 2 1 0 PV PMT MÊS SÍNTESE SUC Exemplos de Série de Pagamentos Imediata 2 Encontre o preço financeiro de um bem na data da compra sabendose que o mesmo foi adquirido da seguinte forma uma entrada de 20 do valor anunciado e o restante em mais dezoito prestações iguais mensais e consecutivas no valor de R 42115 cada considerando uma taxa de JC de 2496 ao ano capitalizado mensalmente Encontre ainda o preço financeiro do bem mantendo o mesmo número de prestações e o mesmo valor destas prestações mensais porém se o pagamento for efetuado desde a data da compra apenas alterando o fluxo de caixa Sem considerar os encargos n FAM i PMT PV 1 FAM i n i PMT PV PMT PMT PMT PMT 18 17 3 2 1 0 PV PMT MÊS Exemplos SUC eou Série de Pagamentos através do fluxo de caixa encontre Mês PV 0 1 2 3 4 5 6 34371 34371 34371 34371 34371 34371 Mês 2300 0 1 2 3 4 5 6 PMT PMT PMT PMT PMT PMT i 28627 ao ano 3 4 SUC Pagamentos 5 Suponha que certa compra de um bem no valor anunciado de R 349900 pode ser efetuada pelo pagamento em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas considerando o anúncio que diz sem juros e sem entrada Se a aquisição for liquidada no ato terá um desconto de 8 sobre o valor do bem Então encontre o valor da prestação considerando uma taxa de juros 1 ao mês levando em conta algumas informações anteriores inclusive o valor anunciado nas seguintes condições a Se a 1ª parcela ocorrer com 30 dias da data da compra b Se a 1ª parcela ocorrer no ato da compra c Se a 1ª parcela ocorrer com três meses de carência EXEMPLO SUC Acumulação de Capital 6 Se uma pessoa depositar R 62000 por mês a uma remuneração na base da taxa de JC de 11087 ao ano encontre o valor líquido a ser resgatado no final de 20 meses considerando que a alíquota do IR nesta transação seja de 175 quando a O primeiro depósito mensal na data da contratação b O primeiro depósito mensal no final do 1º período contratado c A Rentabilidade líquida real considerando uma inflação de 43 no período da operação financeira n FAC i PMT FV 1 FAC i n i PMT FV PMT PMT PMT PMT 20 19 3 2 1 0 PMT FV EXEMPLO SUC Acumulação de Capital 7 Quanto uma pessoa precisará depositar mensalmente em parcelas iguais mensais e consecutivas desde a data da contratação durante três anos para que possa resgatar no final do período contratado a quantia de R 4000000 admitindo uma taxa de JC préfixada em 11617 ao ano sem alteração da taxa no período da operação e sem considerar os encargos PMT 𝐹𝑉 1𝑖 𝑥 𝑖 1𝑖 𝑛 1 PMT PMT PMT PMT 36 35 3 2 1 0 PMT FV SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida m i PMT FAM i n PV 1 8 Uma loja vende uma geladeira em dezoito prestações mensais e iguais no valor de R 15655 sem entrada e com carência de três meses a partir da data da compra para iniciar os pagamentos Sabendose que a taxa de JC praticada pela loja é de 31066 ao ano E como benevolência considere apenas no período da carência uma correção do bem em torno de 03 ao mês devido ao tipo de segmento Encontre o valor financeiro da geladeira na data da compra Desconsidere os encargos PMT PMT 21 20 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT MÊS SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida 9 Uma pessoa realizou um empréstimo no valor de R 1000000 de forma que os devidos encargos sejam incorporados no valor do empréstimo uma vez que precisa exatamente da quantia solicitada Considerando que a taxa de JC utilizada na operação foi de 20271 ao ano que o empréstimo deverá ser liquidado em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas e que o 1º pagamento ocorreu no final do 5º mês após a data da contratação encontre o valor das parcelas com base nas informações 1 12 PMT PV x 1i m FAM in PMT 16 15 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT Mês SÍNTESE SUC Série Financeira Diferida 10 Uma loja de eletrodomésticos vende um bem no valor hoje de R 240000 A aquisição a prazo deverá ser efetuada com 15 do valor anunciado como entrada e mais vinte e quatro parcelas mensais iguais e consecutivas Porém o 1º pagamento da série poderá ser realizado daqui a quatro meses Sabendose que a taxa de juros composta praticada pela loja vale de 29081 ao ano encontre o valor destas parcelas fixas mensais com base nas informações Desconsidere os encargos 1 24 PMT PV x 1i m FAM in PMT PMT 27 26 3 2 1 0 PV 4 5 6 7 PMT PMT PMT PMT Mês SÍNTESE DE SUC 11 Um pai preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho idealizou acumular dinheiro em uma conta investimento que rende em termos préfixado 85 ao ano ou seja a taxa de juros não se altera durante a operação O pai depositará desde a data contrato que coincide com o terceiro ano de aniversário do filho e seguirá consecutivamente em parcelas anuais sempre na data do aniversário do filho até completar 18 anos a quantia no valor de R 2600000 por ano nessa conta nos primeiros 50 do prazo estipulado e no restante deste prazo depositará a quantia de R 2400000 O intuito é para que o filho possa fazer cinco saques de valores iguais anuais e consecutivos um a cada ano com o primeiro saque um ano após o último depósito realizado pelo pai O saldo remanescente a cada saque ficará rendendo à mesma taxa registrada até o quinto saque quando o saldo se anulará Considere a alíquota do IR de 15 apenas na composição final do período dos depósitos anuais acumulação Encontre o valor de cada saque fixo anual que será realizado pelo filho após a formação do capital SÍNTESE DE SUC 12 Você está vendendo um apartamento pelo valor à vista de R 35000000 No entanto uma pessoa ofereceu adquirir pela seguinte condição R 10000000 no ato mais 5000000 daqui um mês posteriormente mais um reforço adicional de R 10000000 daqui um ano e mais parcelas mensais fixas e consecutivas de R 600000 durante 24 meses iniciando daqui um mês da data da compra Considerando como base para análise o índice do IGPM de 8343 ao ano encontre o valor negociado e gerado conforme a proposta a prazo Você venderia nesta condição Justifique a resposta positiva ou negativa SÍNTESE DE SUC 13 Se você depositar mensalmente em parcelas consecutivas iguais a R 60000 em uma conta investimento desde a data do contrato que remunera uma taxa de juros anual 1269 encontre no final do quadragésimo oitavo mês a o valor do resgate líquido b o valor do ganho líquido c o ganho líquido real e a rentabilidade líquida real OBS Considere apenas a alíquota do IR de 15 e uma inflação no período da operação financeira de 529 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES SUC 1 Uma pessoa deposita mensalmente R 58000 desde a data do contrato durante 48 meses a uma taxa de JC na base de 12416 ao ano Encontre o valor líquido a ser resgatado pela pessoa conforme os dados desta operação financeira e uma alíquota de IR de 15 Encontre ainda a rentabilidade líquida da operação R 3450170 2 Você pretende acumular certo capital com o intuito de adquirir um veículo sem ter a necessidade do financiamento ou seja pretende efetuar depósitos mensais iguais e consecutivos desde hoje para ao final de dois anos atingir o objetivo Para tanto se conseguir uma taxa de juros de 12416 ao ano e o veículo de interesse hoje vale R 6080000 e ainda considerando que o valor do veículo sofre alteração na ordem de 2 ao ano encontre o valor das parcelas mensais a ser depositada para atingir o objetivo Desconsidere os encargos R 232788 3 Uma loja vende um notebook pelo preço de balcão de R 260000 Se for adquirido a prazo poderá ser liquidado em 24 parcelas mensais iguais e consecutivas sem entrada e ainda com carência de três meses para iniciar o pagamento das parcelas Considerando que a taxa de JC praticada pela loja compõem 34018 ao ano encontre o valor das parcelas mensais desconsiderando os encargos R 15589 4 O preço de um terreno é de R 9285000 Um comprador propõe pagar 40 de entrada e financiar o restante em 60 prestações mensais iguais e consecutivas Considerando uma taxa de juros compostos de 15938 ao ano Calcule o valor das prestações mensais desconsiderando os encargos R 132183 5 Uma financeira concedeu um empréstimo no valor de R 1640000 para ser amortizado em 24 prestações mensais e iguais O tomador se propôs a pagar ainda R 110000 no final de cada período de 6 meses a título de reforço das prestações A taxa de JC cobrada foi de 24605 ao ano Encontre o valor das prestações mensais com base nestas informações sem os devidos encargos R 67740 6 Um empréstimo pessoal exatamente de R 800000 foi realizado para pagamento em 10 prestações mensais iguais e consecutivas Considerando a taxa de JC de 251927 ao ano encontre o valor das prestações nestas condições considerando apenas os IOFs para compor o valor do empréstimo R 89447 7 Uma pessoa pretende adquirir um veículo zero Km e após várias consultas finalizou na seguinte condição Preço do Veículo R 10265000 Valor da entrada seu carro usado avaliado em R 8400000 prazomeses em 12 taxa de JC negociada 169 ao mês Desconsiderar os encargos Encontre o valor do das parcelas mensais com base nas informações R 170138 8 Se uma pessoa depositar mensalmente em um prazo de 3 anos desde a data do contrato o valor uniforme de R 50000 em renda fixa a uma taxa de JC anual prefixada de 12282 além de depósitos semestrais e iguais no valor de R 120000 no período com intuito de aumentar o resgate acumulado Encontre o valor que poderá ser resgatado após dois meses do final do prazo contratado e com correção neste período Desconsidere os encargos R 3108340 9 Se você adquirir um bem majorado em R 1095000 através do cartão de crédito em dezoito parcelas mensais e iguais Considerando uma taxa de JC de 26676 ao ano e que em face do vencimento de seu cartão a primeira parcela ocorrerá daqui a doze dias da data da compra encontre o valor convencional das parcelas mensais e o valor efetivo data da fatura R 72974 R 72116 10 Encontre o valor do investimento hoje necessário para garantir um recebimento anual consecutivo e igual a R 1500000 nos próximos doze anos considerando a taxa efetiva de JC de 10 ao ano sem alteração em todo o período da operação R 10220537 11 Se você depositar R 45000 todo mês de forma consecutiva iniciando hoje a uma taxa de juros de 11749 ao ano considerando que o IR na alíquota de 15 e uma inflação de 3909 ao ano apenas no final do prazo encontre a rentabilidade líquida real no final de cinco anos de aplicação ilr 66 ap 12 Um empréstimo de R 4000000 foi concedido a um comerciante a ser liquidado em prestações mensais iguais e consecutivas de R 224413 Sabendo que o empréstimo foi contratado a uma taxa de JC de 24899 ao ano além de ser concedido ainda um prazo de 4 meses de carência para liquidação da 1ª prestação encontre a quantidade de parcelas mensais do empréstimo Desconsidere os encargos 24 meses 13 Com vistas a modernizarse tecnologicamente uma empresa procurou uma indústria fabricante de equipamentos para trocar certa máquina de fabricação eletrônica O valor do novo equipamento é de R 9000000 e o fabricante aceitou a máquina usada da empresa como parte do pagamento da nova cobrindo 25 do seu valor anunciado desde que ocorra mais uma quantia em dinheiro de entrada E o restante deve ser liquidado em 48 prestações fixas e mensais de 161026 nas quais estava embutida uma taxa de JC de 25932 ao ano Encontre o valor da quantia dada como entrada em dinheiro na negociação R 1750000 14 Encontre o resgate líquido no final do 18º mês de uma aplicação correspondente a 12 depósitos mensais fixos e consecutivos no valor de R 80000 sabendo que a taxa de JC foi de 8732 ao ano que o primeiro depósito foi no ato do contrato e considere apenas uma alíquota de IR de 175 R 1032400 15 Você adquire um celular pelo cartão de crédito em 10 parcelas mensais e iguais de R 39450 sendo a primeira daqui a 20 dias em razão do vencimento do cartão Considerando que existe uma taxa de JC de 25193 ao ano encontre o valor do celular com as informações sem considerar os encargos R 352000 16 Se você conseguir depositar todo mês regularmente a quantia de R 35000 em uma aplicação que remunera a taxa de JC de 11617 ao ano e atingir o objetivo para daqui certo prazo a quantia bruta de R 1213948 aproximadamente encontre o prazo em meses despreze os encargos 30 meses 17 Uma pessoa adquiriu um celular através do cartão de crédito em 24 parcelas mensais e iguais de R 18236 Considerando uma taxa de JC de 24458 ao ano e que o primeiro pagamento ocorreu 20 dias após a data da compra encontre o valor financeiro do celular na data da compra R 353300 18 Com intuito de acumular certo capital para realização de uma viagem com a família você deposita em parcelas iguais mensais e consecutivas a quantia de R 50000 nos primeiros seis meses posteriormente o valor de R 60000 nos outros seis meses seguintes e o valor de R 75000 nos outros doze meses sequenciais Encontre o resgate líquido no final de dois anos considerando uma taxa de JC de 12282 ao ano que os depósitos são na forma da série antecipada e a alíquota do IR vale 175 R 1743480 19 O departamento financeiro de uma empresa elaborou um plano de pagamento para venda de um terreno sem entrada a ser realizado com 12 pagamentos mensais de R 115000 na sequência mais 18 pagamentos mensais de R 95000 e finalmente na sequência mais 24 pagamentos mensais de R 75000 No papel do cliente encontre o valor financiado na data da aquisição com base nas informações e considerando uma taxa de juro composto no mercado deste segmento de 16766 ao ano sem encargos R 3612182 20 Ache a taxa de JC mensal suficiente para que possa depositar mensalmente desde de hoje a quantia fixa de R 30000 e resgatar no final de 5 anos o valor líquido de R 2305110 Considere apenas a alíquota do IR de 15 09 am