Análise de Sistemas de Um Grau de Liberdade em Vibrações

27032023 1 VIBRAÇÕES DE 1 GL LIVRE Equação do Movimento Resolvendo um sistema de 1 GL Solução xt cosωt mA2cosωt kcosωt 0 k mω2 ω km xt cos km12 Equação do Movimento Vamos proceder da mesma maneira que no último exemplo Utilizaremos como referência para energia potencial gravitacional a rótula do pendulo Energia Cinética T mLBθ22 Equação do Movimento Energia Potencial Gravitacional V mLgcosθ L mLBθ22 mLgcosθ Simplificando θ gLsenθ 0 Equação do Movimento Esse é um caso não linear podemos fazer a suposição que senθ θ Essa aproximação é boa quando os ângulos são pequenos Caso essa aproximação não seja possível o problema terá de ser resolvido numericamente Sistema MassaMola x2 fracv2A2 1 O gráfico desta equação no plano x e v é um círculo O raio A é determinado a partir das condições iniciais do problema Solução Queremos resolver esta equação Vamos assumir uma solução do tipo xt Cert Onde C e s são constantes Inserindo a eq 2 na eq 1 Cms2 k 0 C não pode ser zero logo ms2 k 0 Sistema MassaMola 2 Podemos obter as eqs Para velocidade e aceleração xt x0 cosomegaft delta vt x0omegaf sinomegaft delta at x0omegaf2 cosomegaft delta Isso mostra que a velocidade está adiantada defasada em relação ao deslocamento por fracpi2 e a aceleração está adiantada em pi 3 Se o deslocamento inicial for zero temos x0 left fracx02 right implies delta fracpi2 Se a velocidade inicial for zero xt x0 cos omegaft Solução Os dois valores de s são dados são as raízes da eq Característica também conhecidos como os autovalores ou valores característicos do problema Sistema MassaMola 4 A resposta de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada no plano deslocamento x velocidade dotx conhecido como espaço de estado ou plano de fase Considerando o deslocamento e velocidade correspondente fica xt A cosomegaft delta Ou dotxt Aomegaf sinomegaft delta Ou sinomegaft delta fracdotxAomegaf cosomegaft delta fracxA 1 Solução Podemos reescrever a solução xt A1cosωt A2sinωt A1 e A2 são novas constantes Determinamos A1 e A2 a partir das condições iniciais do sistema o que acontece com x em um determinado t posição num determinado tempo Vibração Livre com Amortecimento Viscoso A força de amortecimento viscoso é proporcional a velocidade F cx c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso Considerando o sistema com 1 GL Movimento Harmônico Consequentemente A1 x0 A2 x0ωn A solução fica xt x0cosωnt x0ωnsinωnt As soluções apresentadas são funções harmônicas no tempo Possuem um equilíbrio em torno da massa Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Aplicando as Leis de Newton m x c x k x 0 Assumimos uma solução da seguinte forma xt C eαt Onde C e α são constantes Temos então nossa equação característica m s2 c s k 0 Movimento Harmônico Podemos escrever a solução da forma abaixo introduzindo uma notação A1 A cosφ A2 A sinφ Onde A e φ são novas constantes que podem ser expressas em termos de A1 e A2 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso As raízes da equação s12 c2m c24m2 km Essas raízes nos dão duas soluções xt C₁ er₁ t C₂ er₂ t A solução geral vai ser uma combinação de x₁t e x₂t xt C₁ er₁ t C₂ er₂ t Movimento Harmônico Temos xt A cosωnt φ Usando as relações A1 A sinφ A2 A0 cosφ Que podemos escrever também xt A0sinωt φ0 onde φ0 tan1x0x0 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Caso 3 Sistema superamortecido zeta 1 or c2m km As raízes são reais e distintas h1 α α²β h2 α α²β A solução fica wt c1eh1t c2eh2t Vibração Livre com Amortecimento Viscoso Com as condições iniciais determinamos as constantes c1 x0mωn²α²β 1 c2 x0mαα²β 1 2ωn1 z² O movimento é aperiódico independente das condições iniciais impostas ao sistema Como S1 e S2 são ambas negativas o movimento diminui exponencialmente Sistemas Amortecidos Exemplo Resposta da biótama de um martelo de forjar A biótama de um martelo de forjar pes 5000 N está montada sobre uma base rigorosa com uma rigidez de 5 x 10⁴ Nm e um amortecimento viscoso constante de 10000 Nsm Durante determinado período de forjamento o martelopilho isto é o martelo de queda martelo ou pilão como peso de 1000 N acionado e cae de uma altura de 2 m sobre a biótama em Figura 231a Se a biótama estiver em resposta antes do impacto do pilão determine a resposta da biótama após o impacto Considere que o coeficiente de restituição entre a biótama e o pilão seja 04 Exemplo 2 Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 232 28 Quando a arma é disparada gases sob alta pressão aceleram o projétil ao interior do cano até uma velocidade muito alta A força de reação empurra o cano do canhão na sequência contra o objetivo Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação ele foi projetado para uma transferência para o canhão em um sistema massamicrocontrolador criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo Em um caso particular o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 50 kg com uma constante de recuo de rigidez 1000 Nm Ao recuar após um disparo de 04 m determine a o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor b a velocidade inicial do canhão e c o tempo que leva para o canhão retornar a uma posição a 01 m de sua posição inicial Exemplo 3 A perna humana tem uma frequência natural medida de aproximadamente 20 Hz quando está na sua posição rígida joelho travado na direção longitudinal isto é ao longo do comprimento do osso com um fator de amortecimento de z 0224 Calcule a resposta da ponta do osso da perna para uma velocidade inicial de v0 06 ms e deslocamento inicial zero isto corresponde à vibração provocada ao saltar com os joelhos travados a partir de uma altura de 18 mm e trace a resposta Por último desprezando o amortecimento calcule a aceleração máxima experimental da pela perna Sistemas Amortecidos Exemplo 4 Determine a a resposta de um acelerômetro de 1 kg que é regido pela equação do movimento mostrada abaixo se ele tiver uma velocidade inicial de 30 ms e um deslocamento inicial de 0 m b Qual é o valor do deslocamento em t 1 µs