Circuitos Elétricos: Aula 11 - Exponencial e Fasores

CIRCUITOS ELÉTRICOS Aula 11 Exponencial e Fasores Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Profa Isabel Milho Profs Jorge Aragona e Oswaldo R B de Oliveira Ementa Exponenciais e Número de Euler Números Complexos Fasores Estórias sobre o e dinar Um agiota empresta 1 dinar a juros de 100 ao ano a uma pessoa Ao final de um ano a pessoa encontra o agiota devolvendo 1 1 2 dinares O agiota achando injusta tal situação argumenta que tal valor é incorreto Se dividirmos o ano em dois semestres a pessoa deveria pagar depois de seis meses a quantia de 1 dinar 50 de 1 dinar 1½ dinar Em mais um semestre os juros se comporiam em 1½ dinar 50 de 1½ dinar 225 dinares Porém o agiota continua argumentando que se o ano fosse subdividido em 4 trimestres teríamos que a pessoa deveria ao final de cada trimestre conforme a tabela 2 Adaptado de wmpommeruspbr Estórias sobre o e dinar Continuando a especulação supondo agora a correção mensal teríamos uma taxa de 10012 833 ao mês e no mês 12 108312 26034 dinares Estórias sobre o e dinar Para juros diários teremos uma taxa de 100360 0278 ao dia o devedor teria que pagar 100278360 ou seja 27166825 dinares No limite teremos lim 𝑛 1 1 𝑛 𝑛 271828 𝑒 Juros compostos são a força mais poderosa do Universo Albert Einstein Juro composto 𝑆 𝑃 1 𝑟 𝑛 𝑛𝑡 S atual P inicial t tempo r juro Estórias sobre o e moleiro Um moleiro armazenou 100 sacas de trigo de 100kg cada O moleiro pretende transportar tal carga do armazém de sua casa até o moinho que fica a 100 km de distância Para tal faz uso de um burro teimoso por natureza que não suporta mais de 100 kg Porém o burro quando carregado exige consumir 1 kg de trigo para cada quilômetro que percorre Perguntase a Nos termos propostos é possível transportar toda a carga de trigo do armazém da casa do moleiro até o moinho b Caso exista um posto comercial ao meio do caminho entre o armazém da casa do moleiro e o moinho existirá solução Qual a solução ótima Adaptado de wmpommeruspbr Estórias sobre o e moleiro Dividindo a distancia por dois supondo que o burro não coma nada na volta Fórmulas de Euler Os números complexos podem ser apresentados em uma forma bastante útil decorrente da fórmula de Euler Ao expandirse a função exponencial 𝑒𝑥 em série de MacLaurin e realizar a substituição 𝑥 𝑗𝜃 obtêmse 𝑒𝑗𝜃 1 𝑗𝜃 𝑗𝜃2 2 𝑗𝜃3 3 𝑘0 𝑗𝜃𝑘 𝑘 Fórmulas de Euler Separando os elementos pares e ímpares teremos 𝑒𝑗𝜃 𝑘0 𝑗𝜃𝑘 𝑘 𝑘0 𝑗𝜃2𝑘 2𝑘 𝑗 𝑘0 𝑗𝜃2𝑘1 2𝑘 1 Característica exponencial da Natureza Aest A amplitude do sinal s complexo ajb ou real a Real positivo ou negativo a0 a0 a0 Característica exponencial da Natureza Aest Para b0 imaginário a0 a0 a0 Números Complexos Representação Seja um número complexo z que expresso na forma cartesiana retangular ou algébrica vem z a jb onde j 1 a Rez é a parte real de z e b Imz é a parte imaginária de z Na forma polar o número complexo z vem z rejθ onde r 0 é o módulo de z r z e θ argz é o ângulo ou fase de z Figura 1 O plano complexo Na Figura 1 vêm ilustradas as representações cartesianas e polar para o número complexo z Esta representação geométrica dos números complexos é conhecida por plano complexo ou diagrama de Argand Através da Figura 1 ou usando a fórmula de Euler ejθ cosθ jsinθ as relações entre as representações cartesianas e polar são a r cosθ b r sinθ r a2 b2 θ arctanba O complexo conjugado de z é designado por z e é dado por z a jb rejθ Números Complexos Operações Seja m os números complexos z1 a1 jb1 e z2 a2 jb2 Para a adição de complexos temos de usar a representação cartesiana z1 z2 a1 jb1 a2 jb2 a1 a2 jb1 b2 Para a multiplicação e a divisão ambas as representações são possíveis para obter o resultado Na forma cartesiana temos que z1z2 a1 jb1a2 jb2 a1a2 b1b2 ja1b2 b1a2 z1z2 a1 jb1a2 jb2 a1a2 b1b2a22 b22 ja1b2 b1a2a22 b22 Na forma polar o resultado é imediato Sendo z1 rejθ1 e z2 rejθ2 vem z1z2 r1r2ejθ1 θ2 z1z2 r1r2 ejθ1 θ2 Usando a definição de complexo conjugado 6 temos algumas relações úteis z z r2 z z 2Rez z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 Números Complejos Fasores Exercícios 1 Sejam z1 5 2j e z2 1 3j Reduza cada expressão a seguir à forma a jb a z1 z2 b z1 z2 c z1z2 d 2 4jz1 g z1 z2² h z1z2 i z1z2² 10 Reduza cada expressão a seguir a forma a jb a 1 j² b 1j1j² c 1j² 1ij² 4 Resolva as equações a z² 9 0 b z² 2z 2 0 5 Prove que a o conjugado da soma é a soma dos conjugados isto é z1 z2 z1 z2 b o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados isto é z1 z2 z1 z2 c o conjugado do produto é o produto dos conjugados isto é z1z2 z1z2 d o conjugado da razão é a razão dos conjugados isto é z1z2 z1z2 SENÓIDES E FASORES Uma corrente senoidal é normalmente chamada de corrente alternada ca alternating current ac A corrente é revertida em intervalos de tempo regulares e tem alternadamente valores positivos e negativos Considere a tensão senoidal 𝑣1 𝑡 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 onde Vm amplitude da senóide ω frequência angular em radianoss com 𝜔 2𝜋𝑓 e período 𝑇 2𝜋 𝜔 ωt argumento da senóide SENÓIDES E FASORES Vamos considerar agora uma expressão mais geral para a senoide 𝑣2 𝑡 𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 onde 𝜔𝑡 𝜑 é o argumento e f é a fase v2 ocorre primeiro tempo Portanto v2 está na frente de v1 por ϕ ou v1 está atrasada de v2 por ϕ SENÓIDES E FASORES Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e cosseno Podemos usar as seguintes identidades trigonométricas SENÓIDES E FASORES Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senoide O número complexo z pode ser escrito na forma retangularpolarexponencial como 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 𝑟𝜑 𝑟𝑒𝑗𝜑 As operações dos fasores são as mesmas dos números complexos SENÓIDES E FASORES Usando a identidade de Euler tratamos uma senóide como um fasor V é portanto a representação fasorial da senoide vt SENÓIDES E FASORES SENÓIDES E FASORES Suprimindo o fator tempo transformamos a senoide do dominio do tempo para o dominio do fasor Note que fator ejwt foi suprimido e a frequencia não aparece no fasor pois é constante porém a resposta depende dela por isso o domínio fasor é também conhecido como domínio da frequencia SENÓIDES E FASORES As equações anteriores são úteis para encontrar a solução em regime permanente sem precisar conhecer as condições iniciais das variáveis envolvidas Atenção A análise de fasores somente se aplica quando a frequência é constante e é a mesma para dois ou mais sinais senoidais Fasores e Elementos de Circuitos Transformar a relação tensãocorrente do domínio do tempo para o domínio da frequência Novamente assumimos a convenção de sinais para os elementos passivos Ind I atrasada I j Cap I adiantada I j Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como impedância medida em ohms Ω Da tabela temos que para w 0 ZL 0 ZC e para w ZC 0 ZL Encontre vt e it usando fasores e depois convertendo novamente para domínio no tempo Encontre vt e it usando fasores e depois convertendo novamente Se um circuito RC série alimentado com uma fonte senoidal de 10V de amplitude defasagem nula e 60Hz apresenta uma defasagem de 60º entre os sinais de tensão e corrente qual deve ser o valor da capacitância se a resistência vale 470W C 33uF Resumo