Algebra Linear Computacional - Atividade 3

ROTEIRO DE PRÁTICA\nTema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra\nDisciplina (s) • Álgebra Linear Computacional\nData da última atualização 03/02/2020\n\nI. Instruções e observações\n\nLEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES\n\n1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial.\n2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.\n\nII. Materiais\n\nDescrição Quantidade\nSoftware GeoGebra 3D Online\nRoteiro da prática 1\nCalculadora científica 1\n\nIII. Introdução\n\nA compreensão dos conceitos,bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e Produto Vetorial dá suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/ Ciências. Tal importância surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar:\n\n• Cálculo de ângulos, áreas e volumes.\n• Determinação do momento de uma força.\n• Trabalho realizado por uma força.\n• Fluxo de água através de uma mangueira.\n\nNessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo.\n\nIV. Objetivos de Aprendizagem\n\n• Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial.\n\n• Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores\n\nPASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores \\u1 = (1,1,1) e \\u2 = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir de letras minúsculas.\n\nPASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas cartesianas e as extremidades dos vetores \\u1 representados: A = (0,0,0), B = (1,1,1) e C = (1,1,3). Esses pontos servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores \\u1 e \\u2, conforme PASSO 3 abaixo.\n\nPASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO, clique sequencialmente nos pontos B→A→C. Qual o ângulo apresentado?\n\nO ângulo indicado é de 29,5° (figura a seguir)\n\nPASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores \\u1 e \\u2 e compare o resultado com o valor encontrado no PASSO 3.\n\n\\u1 · \\u2 = |\\u1||\\u2| cos(θ)\n\nFazendo as devidas manipulações temos:\n\nCos(θ) = \\u1 · \\u2 / |\\u1||\\u2| = (1,1,1) · (1,1,3) / √(1+1+1) · √(1+1+3) = 5/√33 = 0,87\n\nθ = cos^{-1}(0,87) = 29,5°\n\nO resultado obtido foi o mesmo. ETAPA 2: determinação do produto vetorial\n\nPASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores \\u1 e \\u2. O produto vetorial pode ser obtido resolvendo o seguinte determinante\n\nw = | | | \n | 1 1 1 |\n | 1 1 3 |\n | 1 1 1 |\n | 1 1 1 |\n\n| 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 3 |\n=> w = 2x2 - 2z + 0k = (2,-2,0)\n\nO mesmo resultado é obtido usando o GeoGebra conforme solicitado no Passo 6 (Figura).\n\nPASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor \\w = \\u1 × \\u2. Para isso, digite a função \\w = \\u1 × \\u2. Compare o resultado com o vetor determinado no PASSO 5.\n\nObservação: o operador × pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de vetores (u, w) e (j, w). O resultado verificado era previsível? Por quê?\n\nOs ângulos obtidos são iguais a 90°, exatamente como o esperado, pois o produto vetorial gera um vetor ortogonal aos vetores que lhe deram origem.\n\nETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial\n\nPASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos Polygon, clique nos pontos A, B e C para representar o triângulo ABC.\n\nPASSO 9: Identifique a área do polígono ABC, clicando na ferramenta de medição de área Area e, em sequência, no polígono representado. Qual o valor da área encontrada?\n\nA área encontrada é igual 1,41 (figura) PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: A = 1/2 |u x v|.\n\nSabe-se que:\n\nw = u x v = (2, -2, 0)\nA = 1/2 |2, -2, 0| = 1/2 2.83 ≈ 1,41\n\nObserva-se que área da figura é numericamente igual ao produto vetorial (área do paralelogramo) dividido por dois.\n\nObservação: O link para a atividade diretamente GeoGebra é https://www.geogebra.org/3d/dr9ybxmt\n\nVII. Referências\n\nPAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392.\n\nSANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577850037.