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Economia ·
Microeconomia 2
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Microeconomia Tópicos da Teoria do Consumidor 1 Tópicos Propriedades da Demanda do Consumidor Efeito Renda e Efeito Substituição Equação de Slutsky Elasticidade O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Outras Funções Utilidade Comuns Dualidade Capítulo 2 Preferência Revelada 2 Propriedades da Demanda do Consumidor Teoria Microeconômica Avançada 3 Propriedades da Demanda do Consumidor Se as preferências são como assumimos e os consumidores de fato fazem escolhas maximizando a utilidade então a demanda deve satisfazer certas propriedades Podemos usar essas propriedades para testar empiricamente se o comportamento observado é consistente com alguma função utilidade ou com o comportamento de otimização Ou se acreditarmos que o comportamento de otimização está ocorrendo podemos usar essas relações para restringir os valores dos parâmetros do problema de maximização da utilidade Teoria Microeconômica Avançada 4 Preços relativos e renda real O preço relativo do bem i em relação ao bem j é simplesmente pi pj Renda real é a quantidade máxima de um bem que pode ser comprada com renda y então é y pj A maximização da utilidade prevê que apenas os preços relativos e a renda real afetam o comportamento ou seja a quantidade de bens demandados Podemos ver isso pela propriedade de que a demanda marshalliana é homogênea de grau zero em p y Se multiplicarmos p e y pela mesma quantidade a demanda não será alterada 5 Homogeneidade e Equilíbrio Orçamentário Teorema 110 Se u é estritamente crescente e estritamente quase côncava então a função de demanda marshalliana xip y é homogênea de grau zero em p y e satisfaz o equilíbrio orçamentário p xp y y para todos p y Equilíbrio orçamentário O equilíbrio orçamentário vem da hipótese de que u é estritamente crescente a restrição orçamentária é sempre satisfeita com igualdade Podemos escolher um bem n e chamálo de numerário para servir como numerário no lugar do dinheiro Todos os preços serão relativos ao preço do bem numerário pn A demanda depende apenas de n 1 preços relativos e da renda real Teoria Microeconômica Avançada 6 Efeito Renda e Efeito Substituição Teoria Microeconômica Avançada 7 Efeito Renda e Efeito Substituição Gostaríamos de saber o efeito sobre a demanda de uma mudança nos preços Uma diminuição no preço do bem i resulta em um aumento na demanda pelo bem i Não necessariamente Decompomos o efeito total de uma mudança no preço em efeito substituição e efeito renda O efeito substituição é a mudança na demanda devido à substituição do bem relativamente mais barato por outro relativamente mais caro O efeito renda é a mudança devido ao aumento do poder de compra total do consumidor Teoria Microeconômica Avançada 8 Efeito Renda e Efeito Substituição x0 2 x1 2 x0 1 x2 x1 x1 1 xs 1 Efeito substituição Efeito renda Efeito total Efeito substituição Efeito renda A Preço do bem 1 cai o consumo do bem 1 aumenta de x0 1 para x1 1 u0 u1 B Para medir o efeito substituição mudamos os preços relativos mas mantemos a utilidade u0 constante O consumo do bem 1 aumenta de x0 1 para xs 1 C Para medir o efeito renda mantemos constantes os preços relativos mas aumentamos o poder aquisitivo do consumidor O consumo do bem 1 aumenta de xs 1 para x1 1 9 Efeito Renda e Efeito Substituição Decomposição Hicksiana de uma mudança no preço Teoria Microeconômica Avançada 10 Efeito Renda e Efeito Substituição Suponha que o preço original seja p0 1 e p0 2 resultando em demanda x0 1 e x0 2 com utilidade u0 O preço do bem 1 cai para p1 1 O consumo do bem 1 aumenta para x1 1 o bem 2 cai para x1 2 Efeito substituição Primeiro hipoteticamente permita que o preço caia para p1 1 enquanto que a utilidade se mantém constante em u0 Efeito renda aumente a renda mantendo os preços relativos iguais Podemos expressar isso matematicamente usando a equação de Slutsky Teoria Microeconômica Avançada 11 Equação de Slutsky Teoria Microeconômica Avançada 12 Equação de Slutsky Equação de Slutsky Teorema 111 Seja xp y a demanda marshalliana atingindo o nível de utilidade u em p y Então Teoria Microeconômica Avançada 13 Equação de Slutsky Prova da equação de Slutsky xh ip u xipepu Derive os dois lados em relação a pj Lado esquerdo Lado direito use a regra da cadeia Substitua u vp y e ep u ep vp y y no primeiro termo Para o segundo termo use 14 Equação de Slutsky Reorganize para obter a equação de Slutsky Isso decompõe todo efeito total do preço em efeito substituição e efeito renda No entanto o efeito substituição pode não ser observável uma vez que não vemos de fato os níveis de utilidade Teoria Microeconômica Avançada 15 Exercício Analise o efeito renda o efeito substituição e o efeito total de uma mudanças no preço do bem 2 sobre a demanda do bem 1 supondo que o preço do bem 1 permaneça constante e a função utilidade seja dada por ux1x2 x1 05x2 05 Solução Teoria Microeconômica Avançada 16 Equação de Slutsky Equação de Slutsky na forma discreta A formulação acima é interessante do ponto de vista prático uma vez que a demanda Marshalliana pode ser estimada e a partir dela as derivadas envolvidas na fórmula Teoria Microeconômica Avançada 17 Exercício Aos preços de mercado p0 1 5 e p2 10 um consumidor racional com renda y 100 escolheu a cesta x1 6 e x2 7 Encontre uma estimativa para a nova cesta de consumo quando o preço de p0 1 passa para p1 1 6 ceteris paribus sabendo que Solução x116 e x2904 Teoria Microeconômica Avançada 18 Efeito Substituição Negativo Efeito Substituição Negativo para o mesmo produto Teorema 112 Seja xh ip u a demanda hicksiana do bem i Então Ou seja as curvas de demanda Hicksianas sempre têm inclinação não positiva Se o preço do bem i aumenta a demanda hicksiana sempre diminui Isso é consequência da concavidade da função de dispêndio As segundas derivadas de uma função côncava devem ser nãopositivas Teoria Microeconômica Avançada 19 Lei da Demanda O bem i é bem normal se xipy é crescente em y Ele é um bem inferior se xip y é decrescente em y Ele é um bem de Giffen se xip y é crescente em pi O bem i é um substituto líquido do bem j se xh ip y é crescente em pj O bem i é um complementar líquido do bem j se xh ip y é decrescente em pj O bem i é um substituto bruto do bem j se xip y é crescente em pj O bem i é um complementar do bem j se xip y é decrescente em pj Teoria Microeconômica Avançada 20 Lei da Demanda Um bem normal é um bem para o qual o consumo aumenta à medida que a renda aumenta Um bem inferior é um bem para o qual o consumo diminui à medida que a renda aumenta Teorema 113 Lei da Demanda Uma diminuição no preço de um bem normal fará com que a sua demanda aumenteSe uma diminuição do preço do bem causa uma diminuição na sua demanda esse bem deve ser inferior O inverso nem sempre é verdade Teoria Microeconômica Avançada 21 Simetria do Efeito Substituição Teorema 114 Seja xhpu o sistema de demandas Hicksianas do consumidor e suponha que e é duas vezes continuamente diferenciável Então Prova Basta usar o teorema de Young Aula 1 Teoria Microeconômica Avançada 22 Matriz de efeitos Substituição Podemos formar uma matriz com os efeitos substituição a partir das demandas Hicksianas Teorema 115 A matriz de substituição σp u é negativa semidefinida Teoria Microeconômica Avançada 23 Matriz de efeitos Substituição Teorema 116 A matriz de Slutsky Sp y é simétrica e negativa semidefinida Teoria Microeconômica Avançada 24 Matriz de efeitos Substituição Teorema Spyp 0 e pSpy 0 Tanto prémultiplicando como pósmultiplicando p por Spy o resultado será sempre zero Prova Basta usar o fato de que a demanda Hicksiana é homogênea de grau zero nos preços e aplicar o Teorema de Euler da Aula 1 Teoria Microeconômica Avançada 25 Matriz de efeitos Substituição A matriz Spy abaixo representa a matriz de Slutsky para um consumidor com preferências racionais e contínuas que consome três bens aos preços de mercado p1 1 p2 2 e p3 6 a Encontre a b c d e e f b Classifique os bens em substitutos ou complementares Teoria Microeconômica Avançada 26 Resumo Max Utilidade Min Dispêndio xpy Resolvendo xhpu Resolvendo vpy Substituindo na função utilidade epu Substituindo no dispêndio Invertendo Lema de Shephard Teorema 19 Identidade de Roy O Problema do Consumidor O Problema do Consumidor 27 ep vp y y vp ep u u Equação de Slutsky usando derivadas Elasticidade Teoria Microeconômica Avançada 28 Elasticidade A elasticidaderenda da demanda pelo bem i é a mudança percentual em xi para cada 1 de mudança na renda A elasticidadepreço da demanda do bem i em relação ao preço do bem j é a variação percentual em xi para cada 1 de variação no preço do bem j Se i j 𝜖ii denota a elasticidade preço da demanda do bem i Se i j 𝜖jj denota a elasticidade preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj Teoria Microeconômica Avançada 29 Elasticidade Quando a mudança em y for muito pequena o primeiro termo ΔxipyΔy pode ser aproximado usando a derivada logo Quando a mudança em pj for muito pequena o primeiro termo ΔxipyΔpj pode ser aproximado usando a derivada logo Se i j 𝜖ii denota a elasticidade preço da demanda do bem i Se i j 𝜖jj denota a elasticidade preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj Teoria Microeconômica Avançada 30 Exercício Calcule a elasticidade preço da demanda Marshaliana do bem 1 𝜖11 a elasticidade preço cruzada da demanda 𝜖12 e a elasticidade renda supondo que a utilidade do consumidor seja dada por Solução Teoria Microeconômica Avançada 31 Elasticidade Se a elasticidade cruzada da demanda hicksiana é negativa então os bens em questão são complementares líquidos Se a elasticidade cruzada da demanda hicksiana e é positiva então os bens em questão são substitutos líquidos Se a elasticidade cruzada da demanda ordinária ie demanda Marshalliana é negativa então os bens em questão são complementares brutos Se a elasticidade cruzada da demanda ordinária é positiva então os bens em questão são substitutos brutos Teoria Microeconômica Avançada 32 Elasticidade Se a elasticidade renda da demanda ordinária é negativa então o bem é dito inferior Se a elasticidade renda da demanda ordinária é positiva com 0 η 1 então o bem é dito normal Se a elasticidade renda da demanda ordinária é positiva com η 1 então o bem é dito superior ou de luxo Como p e x serão sempre positivos devidos às suposições feitas inicialmente apenas o sinal da derivada é suficiente para determinar o sinal da elasticidade Teoria Microeconômica Avançada 33 Exercício Suponha que um consumidor tenha a seguinte função utilidade ux1x2 x1x2 Marque as alternativas corretas a x1 é substituto líquido de x2 b x1 é complementar bruto de x2 c x1 é um bem inferior d x1 é um bem superior Solução a Teoria Microeconômica Avançada 34 Elasticidade de Substituição A elasticidade de substituição entre os bens 1 e 2 é definida como A elasticidade de substituição mede o grau de facilidade ou dificuldade com que os consumidores substituem um bem por outro Teoria Microeconômica Avançada 35 Exercício Considere a função utilidade CES Mostre que para essa função o que justifica o nome da função Teoria Microeconômica Avançada 36 Elasticidade A participação na renda do bem i é a fração da renda total que é gasta no bem i Teorema 117 Seja xp y a demanda marshalliana As seguintes relações devem ser válidas 1 Agregação de Engel Significado a soma das elasticidades renda ponderadas pelas participações dos bens na renda é igual a um Teoria Microeconômica Avançada 37 Agregação na Demanda do Consumidor 2 Agregação de Cournot A agregação de Cournot diz que a soma das elasticidades da demanda do bem i e das elasticidades preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj ponderadas pelas participações dos bens na renda é igual a participação na renda do bem j com sinal negativo Estas relações impõem condições que devem ser satisfeitas antes e depois de qualquer mudança nos preços Teoria Microeconômica Avançada 38 Exercício Ao analisarmos dois bens se um bem é inferior o outro deve ser normal Solução Observe que um bem inferior tem elasticidade renda negativa enquanto um bem normal tem elasticidade renda positiva Usando a condição de agregação Engel Teoria Microeconômica Avançada si a parcela da renda gasta no bem i é sempre positiva Se η1 0 então η2 0 para satisfazer a condição s1η1s2 η2 1 39 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Teoria Microeconômica Avançada 40 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Bens complementares Perfeitos No caso de dois bens x1e x2 A Função utilidade de Leontief é dada por ux1 x2 A min ɑx1 βx2 Em que A ɑ β 0 Se aumentar a quantidade de um dos bens sem aumentar a quantidade do outro bem não ocorre aumento na utilidade As quantidades de ambos os bens devem aumentar para elevar o nível da utilidade As curvas de indiferenças são em formato de L com uma quina em ɑx1 βx2 Funções Utilitárias Comuns Bens complementares perfeitos Teoria Microeconômica Avançada Funções Utilitárias Comuns A inclinação da reta que passa pela origem é e indica a taxa na qual os bens e devem ser consumidos para se obter ganhos de utilidade Caso especial ɑ β ux1 x2 A min ɑx1 ɑx2 A ɑ min x1 x2 B min x1 x2 em que B A ɑ Exemplos carros e gasolina ou manteiga de amendoim e geleia Uma Função Utilidade Não Diferenciável Considere a função utilidade ux1 x2 B minx1 x2 em que B 1 logo ux1 x2 minx1 x2 Esta função não é diferenciável portanto não podemos usar o método de Lagrange para resolver o problema de maximização da utilidade Se x1 x2 ux1 x2 x1 Se x2 x1 ux1 x2 x2 Teoria Microeconômica Avançada 44 Uma Função Utilidade Não Diferenciável Queremos encontrar as curvas de indiferença o conjunto de todos os x1 x2 que geram a mesma utilidade Suponha que a utilidade esteja no nível u Se x1 x2 x1 u x2 pode assumir qualquer valor desde que satisfaça x1 x2 Se x2 x1 x2 u x1 pode assumir qualquer valor que satisfaça x2 x1 Teoria Microeconômica Avançada 45 Se x1 x2 x1 u x2 pode assumir qualquer valor desde que satisfaça x1 x2 Se x2 x1 x2 u x1 pode assumir qualquer valor que satisfaça x2 x1 Esta função é quase côncava É estritamente quase côncava 46 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Não importa quais são os preços p1 p2 a escolha ótima satisfará x1 x2 Teoria Microeconômica Avançada 47 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Não importa quais são os preços p1 p2 a escolha ótima satisfará x1 x2 1 Substituindo 1 na equação orçamentária p1x1 p2x2 y obtemos Teoria Microeconômica Avançada 48 Utilidade indireta substitua a função de demanda Marshalliana na função utilidade As propriedades da função de utilidade indireta ainda são válidas exceto a Identidade de Roy Exercício Se ux1 x2 min4x1 2 9x2 2 encontre a cesta ótima escolhida pelo consumidor Solução Outras Funções Utilidade Comuns Teoria Microeconômica Avançada 50 Substitutos perfeitos No caso de dois bens x1e x2 ux1 x2 Ax1 Bx2 Em que A B 0 A utilidade marginal de todo bem é constante A taxa marginal de substituição TMS também é constante ou seja TMS12 UMg1UMg2 AB Portanto curvas de indiferença são linhas retas com inclinação de AB Substitutos perfeitos Substitutos perfeitos Teoria Microeconômica Avançada Inclinação AB Substitutos perfeitos O indivíduo está disposto a abrir mão de AB unidades de x2 para obter mais uma unidade de x1 e manter seu nível de utilidade inalterado Regra para encontrar a cesta ótima Compare a TMS com a razão entre os preços 1 Se TMS12 p1p2 então x1 yp1 e x2 0 2 Se TMS12 p1p2 então x1 0 e x2 yp2 3 Se TMS12 p1p2 então x1 é um valor qualquer entre 0 e yp1 e x2 é tudo que a renda do consumidor conseguir comprar após gastar p1x1 isto é Substitutos perfeitos Ao contrário do caso CobbDouglas tal disposição é independente da abundância relativa dos dois bens Exemplos manteiga e margarina café e chá preto ou duas marcas de água mineral sem sabor Exercício Se as preferências do indivíduo com renda igual a y 6 estão representadas pela função utilidade Ux1 x2 x1 2x2 a Se os preços dos bens são p1 1 p2 3 encontre a cesta ótima escolhida pelo consumidor b Como a cesta ótima muda se os preços mudarem para p1 1 p2 2 Solução a x1 6 x2 0 b x1 qualquer valor entre 0 e 6 Exercício Solução x1 x2 x1 x2 a p1 1 p2 3 b p1 1 p2 2 Exercício Considere a função utilidade ux y min2xy x 2y em que x denota a quantidade do bem 1 e y a quantidade do bem 2 Então os bens 1 e 2 são A Complementares perfeitos B Substitutos perfeitos C Complementares D Substitutos E NDA Solução E Função Utilidade CES No caso de dois bens x1e x2 em que 𝜎 mede a elasticidade de substituição entre bens x1e x2 Em particular Teoria Microeconômica Avançada Função Utilidade CES Preferências CES Teoria Microeconômica Avançada Complementares perfeitos CobbDouglas Substitutos perfeitos Função Utilidade CES A função de utilidade CES é frequentemente apresentada como Em que Teoria Microeconômica Avançada Função utilidade quase linear No caso de dois bens x1e x2 ux1 x2 vx1 bx2 em que x2 entra linearmente b 0 e vx1 é uma função não linear de x1 Por exemplo vx1 a ln x1 ou vx1 ax1 ɑ em que a 0 e ɑ 1 A TMS é constante no bem que entra linearmente na função utilidade no nosso caso x2 Teoria Microeconômica Avançada Função utilidade quase linear TMS de preferências quase lineares Advanced Microeconomic Theory 62 62 Função utilidade quase linear Para ux1 x2 vx1 bx2 as utilidades marginais são Logo que é constante no bem que entra linearmente As preferências quase lineares são frequentemente usadas para representar o consumo de bens que são relativamente insensíveis à renda Exemplos alho pasta de dente etc Encontrase a cesta ótima supondo solução interior igualando a TMS à razão entre os preços Advanced Microeconomic Theory 63 63 Função utilidade quase linear Se ux1 x2 ln x1 x2 e supondo solução interior determine a cesta ótima escolhida pelo consumidor Solução Advanced Microeconomic Theory 64 64 Dualidade Capítulo 2 Teoria Microeconômica Avançada 65 Dualidade Existem duas maneiras equivalentes de caracterizar a demanda do consumidor Uma é começar com a função de utilidade direta e encontrar a demanda Marshalliana Ou podemos começar com uma função dispêndio e usar a diferenciação para encontrar a demanda Uma maneira pode ser analiticamente mais simples que a outra ou pode ser empiricamente mais fácil de observar Por exemplo não podemos observar diretamente as utilidades mas podemos observar preços e despesas Teoria Microeconômica Avançada 66 Dualidade Considere uma função qualquer dos preços e da utilidade Epu que pode ser ou pode não ser uma função dispêndio Suponha que E satisfaça as propriedades de uma função dispêndio E é contínua estritamente crescente ilimitada para cima em u homogênea de grau 1 côncava e diferenciável em p Podemos mostrar que E é de fato uma função dispêndio para alguma função de utilidade Teoria Microeconômica Avançada 67 Construindo a função utilidade Escolha algum p0 u0 calcule Ep0 u0 nesse ponto Construa o semiespaço fechado no conjunto de consumo Ap0 u0 xp0 x Ep0 u0 Ap0 u0 é um conjunto fechado e convexo contendo todos os pontos sobre ou acima do hiperplano definido por p0 x Ep0 u0 Repita o processo para todos os preços estritamente positivos p e pegue a interseção de todos os semiespaços A u0 p 0 Ap u0 xp x Ep u0 para todo p 0 Teoria Microeconômica Avançada 68 À medida que o número de semiespaços aumenta sua interseção se torna um conjunto convexo com uma fronteira suave Este conjunto Au0 p 0 Ap u0 é um conjunto de nível superior para alguma função quase côncava Esta é uma função utilidade válida a O semiespaço fechado Ap0 u0 b A intersecção de uma coleção finita dos conjuntos Ap u0 69 Construindo uma função utilidade Teorema 21 Construindo uma função utilidade a partir de uma função dispêndio Seja E ℝn ℝ ℝ uma função que satisfaz as propriedades de uma função dispêndio Então a função u gerada por ux maxu 0x Au é crescente ilimitada acima e quase côncava Teorema 22 A função dispêndio da u construída é E Seja Ep u uma função que satisfaz as propriedades de uma função dispêndio e seja ux construída a partir do teorema 21 Então para todos os preços e utilidade não negativos Teoria Microeconômica Avançada 70 Construindo uma função utilidade Teorema 23 Dualidade entre a utilidade direta e a utilidade indireta Suponha que ux seja quase côncava e diferenciável em ℝn com derivadas parciais estritamente positivas Então para todo x ℝn vp p x a função de utilidade indireta gerada por ux atinge um mínimo em p em ℝn e Teoria Microeconômica Avançada 71 Exercício Derive a função utilidade direta do consumidor se sua função utilidade indireta tem a forma Solução Teoria Microeconômica Avançada 72 Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 73 Preferência Revelada Até agora nossa abordagem da teoria da demanda foi assumir que o consumidor tem preferências que satisfazem algumas propriedades completude transitividade monotonicidade estrita e tentar deduzir todas as propriedades observáveis da demanda de mercado Portanto assumimos algo sobre coisas que não podemos observar preferências para fazer previsões sobre algo que podemos observar o comportamento da demanda do consumidor Por que não começar e terminar com o comportamento observável Teoria Microeconômica Avançada 74 Preferência Revelada No livro Foundations of Economic Analysis Paul Samuelson 1947 mostrou que todas as previsões que a teoria do consumidor faz para o comportamento observável do mercado podem ser derivadas a partir de poucas hipóteses sobre as escolhas observáveis do consumidor ao invés das hipóteses sobre preferências não observáveis Teoria Microeconômica Avançada 75 Preferência Revelada Se o consumidor compra uma cesta ao invés de outra cesta dentro da sua restrição orçamentária então considerase que a primeira cesta é revelada como preferida à segunda cesta Presumese que ao escolher uma cesta ao invés da outra o consumidor revela informações importantes sobre suas preferências Ao invés de estabelecer axiomas sobre as preferências das pessoas agora faremos hipóteses sobre a consistência das escolhas do consumidor Teoria Microeconômica Avançada 76 Preferência Revelada Axioma Fraco da Preferência Revelada AfPR O comportamento de escolha do consumidor satisfaz o AfPR se para cada par distinto de cestas x0 x1 com x0 escolhido a preços p0 e x1 escolhido a preços p1 p0 x1 p0 x0 p1 x0 p1 x1 Em outras palavras o AfPR é válido se sempre que x0 for revelada como preferida a x1 x1 nunca é revelada como preferida a x0 Ou seja o AfPR diz que se a cesta x0 for revelada como preferida à cesta x1 então não pode ocorrer que x1 seja revelada como preferida a x0 se os preços mudarem Teoria Microeconômica Avançada 77 Quando o consumidor enfrenta p0 ele escolhe x0 quando ele enfrenta p1 ele escolhe x1 Neste caso a escolha do consumidor não satisfaz o AfPR Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 78 x2 x1 p0 x0 p1 x1 Quando o consumidor enfrenta p0 ele escolhe x0 quando ele enfrenta p1 ele escolhe x1 Neste caso a escolha do consumidor satisfaz o AfPR Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 79 x2 x1 p0 x0 p1 x1 Preferência Revelada O Axioma Fraco da Preferência Revelada AfPR Teoria Microeconômica Avançada 80 a A escolha do consumidor satisfaz o AfPR b A escolha do consumidor não satisfaz o AfPR Exercício Julgue a afirmação a seguir Pelo axioma fraco da preferência revelada se a2 b2 puder ser adquirida quando o consumidor adquiriu a1 b1 então a cesta a1 b1 representará um nível de satisfação inferior para o consumidor quando a2 b2 for efetivamente adquirida Solução F Teoria Microeconômica Avançada 81 Preferência Revelada Seja xpy a escolha feita pelo consumidor quando enfrenta preços iguais a p e a renda y Não podemos dizer que xpy é função demanda pois não falamos nada sobre utilidade ou maximização da utilidade Então chamamos xpy de função escolha Se xpy obedece o AfPR e o equilíbrio orçamentario ie xpy p y podese mostrar que 1 xpy é homogênea de grau zero em py 2 A matriz de Slutsky de xpy é negativa semidefinida e simétrica Portanto a função escolha xpy é a função demanda porque podemos construir uma função utilidade que gera xpy Teoria Microeconômica Avançada 82 Exercício Julgue a afirmação a seguir O consumidor não terá comportamento maximizador se ele violar o axioma fraco da preferência revelada Solução V Teoria Microeconômica Avançada 83 Preferência Revelada Conclusão a função demanda xpy obtida maximizando a utilidade do consumidor também satisfaz o AfPR Para mais de 2 bens a história muda Se xpy obedece o AfPR e o equilíbrio orçamentario ie xpy p y podese mostrar que para mais de 2 bens A matriz de Slutsky de xpy não é simétrica xpy pode não ser transitiva Portanto para mais de 2 bens o AfPR e o equilíbrio orçamentário não são equivalentes à hipótese de maximização da utilidade Teoria Microeconômica Avançada 84 Preferência Revelada Podemos fortalecer o AfPR para obter uma teoria da preferência revelada equivalente à teoria da maximização da utilidade Axioma Forte da Preferência Revelada AFPR O comportamento de escolha do consumidor satisfaz o AFPR se para cada sequência de cestas distintas x0 x1 xk em que x0 é revelada como preferida a x1 e x1 é revelada como preferida a x2 e xk1 é revelada como preferido a xk não é o caso que xk é revelada como preferida a x0 AFFR exclui preferências reveladas intransitivas portanto portanto pode ser utilizada para induzir uma relação de preferência completa e transitiva para a qual existirá uma função utilidade Teoria Microeconômica Avançada 85
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Microeconomia Tópicos da Teoria do Consumidor 1 Tópicos Propriedades da Demanda do Consumidor Efeito Renda e Efeito Substituição Equação de Slutsky Elasticidade O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Outras Funções Utilidade Comuns Dualidade Capítulo 2 Preferência Revelada 2 Propriedades da Demanda do Consumidor Teoria Microeconômica Avançada 3 Propriedades da Demanda do Consumidor Se as preferências são como assumimos e os consumidores de fato fazem escolhas maximizando a utilidade então a demanda deve satisfazer certas propriedades Podemos usar essas propriedades para testar empiricamente se o comportamento observado é consistente com alguma função utilidade ou com o comportamento de otimização Ou se acreditarmos que o comportamento de otimização está ocorrendo podemos usar essas relações para restringir os valores dos parâmetros do problema de maximização da utilidade Teoria Microeconômica Avançada 4 Preços relativos e renda real O preço relativo do bem i em relação ao bem j é simplesmente pi pj Renda real é a quantidade máxima de um bem que pode ser comprada com renda y então é y pj A maximização da utilidade prevê que apenas os preços relativos e a renda real afetam o comportamento ou seja a quantidade de bens demandados Podemos ver isso pela propriedade de que a demanda marshalliana é homogênea de grau zero em p y Se multiplicarmos p e y pela mesma quantidade a demanda não será alterada 5 Homogeneidade e Equilíbrio Orçamentário Teorema 110 Se u é estritamente crescente e estritamente quase côncava então a função de demanda marshalliana xip y é homogênea de grau zero em p y e satisfaz o equilíbrio orçamentário p xp y y para todos p y Equilíbrio orçamentário O equilíbrio orçamentário vem da hipótese de que u é estritamente crescente a restrição orçamentária é sempre satisfeita com igualdade Podemos escolher um bem n e chamálo de numerário para servir como numerário no lugar do dinheiro Todos os preços serão relativos ao preço do bem numerário pn A demanda depende apenas de n 1 preços relativos e da renda real Teoria Microeconômica Avançada 6 Efeito Renda e Efeito Substituição Teoria Microeconômica Avançada 7 Efeito Renda e Efeito Substituição Gostaríamos de saber o efeito sobre a demanda de uma mudança nos preços Uma diminuição no preço do bem i resulta em um aumento na demanda pelo bem i Não necessariamente Decompomos o efeito total de uma mudança no preço em efeito substituição e efeito renda O efeito substituição é a mudança na demanda devido à substituição do bem relativamente mais barato por outro relativamente mais caro O efeito renda é a mudança devido ao aumento do poder de compra total do consumidor Teoria Microeconômica Avançada 8 Efeito Renda e Efeito Substituição x0 2 x1 2 x0 1 x2 x1 x1 1 xs 1 Efeito substituição Efeito renda Efeito total Efeito substituição Efeito renda A Preço do bem 1 cai o consumo do bem 1 aumenta de x0 1 para x1 1 u0 u1 B Para medir o efeito substituição mudamos os preços relativos mas mantemos a utilidade u0 constante O consumo do bem 1 aumenta de x0 1 para xs 1 C Para medir o efeito renda mantemos constantes os preços relativos mas aumentamos o poder aquisitivo do consumidor O consumo do bem 1 aumenta de xs 1 para x1 1 9 Efeito Renda e Efeito Substituição Decomposição Hicksiana de uma mudança no preço Teoria Microeconômica Avançada 10 Efeito Renda e Efeito Substituição Suponha que o preço original seja p0 1 e p0 2 resultando em demanda x0 1 e x0 2 com utilidade u0 O preço do bem 1 cai para p1 1 O consumo do bem 1 aumenta para x1 1 o bem 2 cai para x1 2 Efeito substituição Primeiro hipoteticamente permita que o preço caia para p1 1 enquanto que a utilidade se mantém constante em u0 Efeito renda aumente a renda mantendo os preços relativos iguais Podemos expressar isso matematicamente usando a equação de Slutsky Teoria Microeconômica Avançada 11 Equação de Slutsky Teoria Microeconômica Avançada 12 Equação de Slutsky Equação de Slutsky Teorema 111 Seja xp y a demanda marshalliana atingindo o nível de utilidade u em p y Então Teoria Microeconômica Avançada 13 Equação de Slutsky Prova da equação de Slutsky xh ip u xipepu Derive os dois lados em relação a pj Lado esquerdo Lado direito use a regra da cadeia Substitua u vp y e ep u ep vp y y no primeiro termo Para o segundo termo use 14 Equação de Slutsky Reorganize para obter a equação de Slutsky Isso decompõe todo efeito total do preço em efeito substituição e efeito renda No entanto o efeito substituição pode não ser observável uma vez que não vemos de fato os níveis de utilidade Teoria Microeconômica Avançada 15 Exercício Analise o efeito renda o efeito substituição e o efeito total de uma mudanças no preço do bem 2 sobre a demanda do bem 1 supondo que o preço do bem 1 permaneça constante e a função utilidade seja dada por ux1x2 x1 05x2 05 Solução Teoria Microeconômica Avançada 16 Equação de Slutsky Equação de Slutsky na forma discreta A formulação acima é interessante do ponto de vista prático uma vez que a demanda Marshalliana pode ser estimada e a partir dela as derivadas envolvidas na fórmula Teoria Microeconômica Avançada 17 Exercício Aos preços de mercado p0 1 5 e p2 10 um consumidor racional com renda y 100 escolheu a cesta x1 6 e x2 7 Encontre uma estimativa para a nova cesta de consumo quando o preço de p0 1 passa para p1 1 6 ceteris paribus sabendo que Solução x116 e x2904 Teoria Microeconômica Avançada 18 Efeito Substituição Negativo Efeito Substituição Negativo para o mesmo produto Teorema 112 Seja xh ip u a demanda hicksiana do bem i Então Ou seja as curvas de demanda Hicksianas sempre têm inclinação não positiva Se o preço do bem i aumenta a demanda hicksiana sempre diminui Isso é consequência da concavidade da função de dispêndio As segundas derivadas de uma função côncava devem ser nãopositivas Teoria Microeconômica Avançada 19 Lei da Demanda O bem i é bem normal se xipy é crescente em y Ele é um bem inferior se xip y é decrescente em y Ele é um bem de Giffen se xip y é crescente em pi O bem i é um substituto líquido do bem j se xh ip y é crescente em pj O bem i é um complementar líquido do bem j se xh ip y é decrescente em pj O bem i é um substituto bruto do bem j se xip y é crescente em pj O bem i é um complementar do bem j se xip y é decrescente em pj Teoria Microeconômica Avançada 20 Lei da Demanda Um bem normal é um bem para o qual o consumo aumenta à medida que a renda aumenta Um bem inferior é um bem para o qual o consumo diminui à medida que a renda aumenta Teorema 113 Lei da Demanda Uma diminuição no preço de um bem normal fará com que a sua demanda aumenteSe uma diminuição do preço do bem causa uma diminuição na sua demanda esse bem deve ser inferior O inverso nem sempre é verdade Teoria Microeconômica Avançada 21 Simetria do Efeito Substituição Teorema 114 Seja xhpu o sistema de demandas Hicksianas do consumidor e suponha que e é duas vezes continuamente diferenciável Então Prova Basta usar o teorema de Young Aula 1 Teoria Microeconômica Avançada 22 Matriz de efeitos Substituição Podemos formar uma matriz com os efeitos substituição a partir das demandas Hicksianas Teorema 115 A matriz de substituição σp u é negativa semidefinida Teoria Microeconômica Avançada 23 Matriz de efeitos Substituição Teorema 116 A matriz de Slutsky Sp y é simétrica e negativa semidefinida Teoria Microeconômica Avançada 24 Matriz de efeitos Substituição Teorema Spyp 0 e pSpy 0 Tanto prémultiplicando como pósmultiplicando p por Spy o resultado será sempre zero Prova Basta usar o fato de que a demanda Hicksiana é homogênea de grau zero nos preços e aplicar o Teorema de Euler da Aula 1 Teoria Microeconômica Avançada 25 Matriz de efeitos Substituição A matriz Spy abaixo representa a matriz de Slutsky para um consumidor com preferências racionais e contínuas que consome três bens aos preços de mercado p1 1 p2 2 e p3 6 a Encontre a b c d e e f b Classifique os bens em substitutos ou complementares Teoria Microeconômica Avançada 26 Resumo Max Utilidade Min Dispêndio xpy Resolvendo xhpu Resolvendo vpy Substituindo na função utilidade epu Substituindo no dispêndio Invertendo Lema de Shephard Teorema 19 Identidade de Roy O Problema do Consumidor O Problema do Consumidor 27 ep vp y y vp ep u u Equação de Slutsky usando derivadas Elasticidade Teoria Microeconômica Avançada 28 Elasticidade A elasticidaderenda da demanda pelo bem i é a mudança percentual em xi para cada 1 de mudança na renda A elasticidadepreço da demanda do bem i em relação ao preço do bem j é a variação percentual em xi para cada 1 de variação no preço do bem j Se i j 𝜖ii denota a elasticidade preço da demanda do bem i Se i j 𝜖jj denota a elasticidade preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj Teoria Microeconômica Avançada 29 Elasticidade Quando a mudança em y for muito pequena o primeiro termo ΔxipyΔy pode ser aproximado usando a derivada logo Quando a mudança em pj for muito pequena o primeiro termo ΔxipyΔpj pode ser aproximado usando a derivada logo Se i j 𝜖ii denota a elasticidade preço da demanda do bem i Se i j 𝜖jj denota a elasticidade preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj Teoria Microeconômica Avançada 30 Exercício Calcule a elasticidade preço da demanda Marshaliana do bem 1 𝜖11 a elasticidade preço cruzada da demanda 𝜖12 e a elasticidade renda supondo que a utilidade do consumidor seja dada por Solução Teoria Microeconômica Avançada 31 Elasticidade Se a elasticidade cruzada da demanda hicksiana é negativa então os bens em questão são complementares líquidos Se a elasticidade cruzada da demanda hicksiana e é positiva então os bens em questão são substitutos líquidos Se a elasticidade cruzada da demanda ordinária ie demanda Marshalliana é negativa então os bens em questão são complementares brutos Se a elasticidade cruzada da demanda ordinária é positiva então os bens em questão são substitutos brutos Teoria Microeconômica Avançada 32 Elasticidade Se a elasticidade renda da demanda ordinária é negativa então o bem é dito inferior Se a elasticidade renda da demanda ordinária é positiva com 0 η 1 então o bem é dito normal Se a elasticidade renda da demanda ordinária é positiva com η 1 então o bem é dito superior ou de luxo Como p e x serão sempre positivos devidos às suposições feitas inicialmente apenas o sinal da derivada é suficiente para determinar o sinal da elasticidade Teoria Microeconômica Avançada 33 Exercício Suponha que um consumidor tenha a seguinte função utilidade ux1x2 x1x2 Marque as alternativas corretas a x1 é substituto líquido de x2 b x1 é complementar bruto de x2 c x1 é um bem inferior d x1 é um bem superior Solução a Teoria Microeconômica Avançada 34 Elasticidade de Substituição A elasticidade de substituição entre os bens 1 e 2 é definida como A elasticidade de substituição mede o grau de facilidade ou dificuldade com que os consumidores substituem um bem por outro Teoria Microeconômica Avançada 35 Exercício Considere a função utilidade CES Mostre que para essa função o que justifica o nome da função Teoria Microeconômica Avançada 36 Elasticidade A participação na renda do bem i é a fração da renda total que é gasta no bem i Teorema 117 Seja xp y a demanda marshalliana As seguintes relações devem ser válidas 1 Agregação de Engel Significado a soma das elasticidades renda ponderadas pelas participações dos bens na renda é igual a um Teoria Microeconômica Avançada 37 Agregação na Demanda do Consumidor 2 Agregação de Cournot A agregação de Cournot diz que a soma das elasticidades da demanda do bem i e das elasticidades preço cruzada da demanda do bem i com relação a pj ponderadas pelas participações dos bens na renda é igual a participação na renda do bem j com sinal negativo Estas relações impõem condições que devem ser satisfeitas antes e depois de qualquer mudança nos preços Teoria Microeconômica Avançada 38 Exercício Ao analisarmos dois bens se um bem é inferior o outro deve ser normal Solução Observe que um bem inferior tem elasticidade renda negativa enquanto um bem normal tem elasticidade renda positiva Usando a condição de agregação Engel Teoria Microeconômica Avançada si a parcela da renda gasta no bem i é sempre positiva Se η1 0 então η2 0 para satisfazer a condição s1η1s2 η2 1 39 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Teoria Microeconômica Avançada 40 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Bens complementares Perfeitos No caso de dois bens x1e x2 A Função utilidade de Leontief é dada por ux1 x2 A min ɑx1 βx2 Em que A ɑ β 0 Se aumentar a quantidade de um dos bens sem aumentar a quantidade do outro bem não ocorre aumento na utilidade As quantidades de ambos os bens devem aumentar para elevar o nível da utilidade As curvas de indiferenças são em formato de L com uma quina em ɑx1 βx2 Funções Utilitárias Comuns Bens complementares perfeitos Teoria Microeconômica Avançada Funções Utilitárias Comuns A inclinação da reta que passa pela origem é e indica a taxa na qual os bens e devem ser consumidos para se obter ganhos de utilidade Caso especial ɑ β ux1 x2 A min ɑx1 ɑx2 A ɑ min x1 x2 B min x1 x2 em que B A ɑ Exemplos carros e gasolina ou manteiga de amendoim e geleia Uma Função Utilidade Não Diferenciável Considere a função utilidade ux1 x2 B minx1 x2 em que B 1 logo ux1 x2 minx1 x2 Esta função não é diferenciável portanto não podemos usar o método de Lagrange para resolver o problema de maximização da utilidade Se x1 x2 ux1 x2 x1 Se x2 x1 ux1 x2 x2 Teoria Microeconômica Avançada 44 Uma Função Utilidade Não Diferenciável Queremos encontrar as curvas de indiferença o conjunto de todos os x1 x2 que geram a mesma utilidade Suponha que a utilidade esteja no nível u Se x1 x2 x1 u x2 pode assumir qualquer valor desde que satisfaça x1 x2 Se x2 x1 x2 u x1 pode assumir qualquer valor que satisfaça x2 x1 Teoria Microeconômica Avançada 45 Se x1 x2 x1 u x2 pode assumir qualquer valor desde que satisfaça x1 x2 Se x2 x1 x2 u x1 pode assumir qualquer valor que satisfaça x2 x1 Esta função é quase côncava É estritamente quase côncava 46 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Não importa quais são os preços p1 p2 a escolha ótima satisfará x1 x2 Teoria Microeconômica Avançada 47 O Problema do Consumidor com a Função Utilidade de Leontief Não importa quais são os preços p1 p2 a escolha ótima satisfará x1 x2 1 Substituindo 1 na equação orçamentária p1x1 p2x2 y obtemos Teoria Microeconômica Avançada 48 Utilidade indireta substitua a função de demanda Marshalliana na função utilidade As propriedades da função de utilidade indireta ainda são válidas exceto a Identidade de Roy Exercício Se ux1 x2 min4x1 2 9x2 2 encontre a cesta ótima escolhida pelo consumidor Solução Outras Funções Utilidade Comuns Teoria Microeconômica Avançada 50 Substitutos perfeitos No caso de dois bens x1e x2 ux1 x2 Ax1 Bx2 Em que A B 0 A utilidade marginal de todo bem é constante A taxa marginal de substituição TMS também é constante ou seja TMS12 UMg1UMg2 AB Portanto curvas de indiferença são linhas retas com inclinação de AB Substitutos perfeitos Substitutos perfeitos Teoria Microeconômica Avançada Inclinação AB Substitutos perfeitos O indivíduo está disposto a abrir mão de AB unidades de x2 para obter mais uma unidade de x1 e manter seu nível de utilidade inalterado Regra para encontrar a cesta ótima Compare a TMS com a razão entre os preços 1 Se TMS12 p1p2 então x1 yp1 e x2 0 2 Se TMS12 p1p2 então x1 0 e x2 yp2 3 Se TMS12 p1p2 então x1 é um valor qualquer entre 0 e yp1 e x2 é tudo que a renda do consumidor conseguir comprar após gastar p1x1 isto é Substitutos perfeitos Ao contrário do caso CobbDouglas tal disposição é independente da abundância relativa dos dois bens Exemplos manteiga e margarina café e chá preto ou duas marcas de água mineral sem sabor Exercício Se as preferências do indivíduo com renda igual a y 6 estão representadas pela função utilidade Ux1 x2 x1 2x2 a Se os preços dos bens são p1 1 p2 3 encontre a cesta ótima escolhida pelo consumidor b Como a cesta ótima muda se os preços mudarem para p1 1 p2 2 Solução a x1 6 x2 0 b x1 qualquer valor entre 0 e 6 Exercício Solução x1 x2 x1 x2 a p1 1 p2 3 b p1 1 p2 2 Exercício Considere a função utilidade ux y min2xy x 2y em que x denota a quantidade do bem 1 e y a quantidade do bem 2 Então os bens 1 e 2 são A Complementares perfeitos B Substitutos perfeitos C Complementares D Substitutos E NDA Solução E Função Utilidade CES No caso de dois bens x1e x2 em que 𝜎 mede a elasticidade de substituição entre bens x1e x2 Em particular Teoria Microeconômica Avançada Função Utilidade CES Preferências CES Teoria Microeconômica Avançada Complementares perfeitos CobbDouglas Substitutos perfeitos Função Utilidade CES A função de utilidade CES é frequentemente apresentada como Em que Teoria Microeconômica Avançada Função utilidade quase linear No caso de dois bens x1e x2 ux1 x2 vx1 bx2 em que x2 entra linearmente b 0 e vx1 é uma função não linear de x1 Por exemplo vx1 a ln x1 ou vx1 ax1 ɑ em que a 0 e ɑ 1 A TMS é constante no bem que entra linearmente na função utilidade no nosso caso x2 Teoria Microeconômica Avançada Função utilidade quase linear TMS de preferências quase lineares Advanced Microeconomic Theory 62 62 Função utilidade quase linear Para ux1 x2 vx1 bx2 as utilidades marginais são Logo que é constante no bem que entra linearmente As preferências quase lineares são frequentemente usadas para representar o consumo de bens que são relativamente insensíveis à renda Exemplos alho pasta de dente etc Encontrase a cesta ótima supondo solução interior igualando a TMS à razão entre os preços Advanced Microeconomic Theory 63 63 Função utilidade quase linear Se ux1 x2 ln x1 x2 e supondo solução interior determine a cesta ótima escolhida pelo consumidor Solução Advanced Microeconomic Theory 64 64 Dualidade Capítulo 2 Teoria Microeconômica Avançada 65 Dualidade Existem duas maneiras equivalentes de caracterizar a demanda do consumidor Uma é começar com a função de utilidade direta e encontrar a demanda Marshalliana Ou podemos começar com uma função dispêndio e usar a diferenciação para encontrar a demanda Uma maneira pode ser analiticamente mais simples que a outra ou pode ser empiricamente mais fácil de observar Por exemplo não podemos observar diretamente as utilidades mas podemos observar preços e despesas Teoria Microeconômica Avançada 66 Dualidade Considere uma função qualquer dos preços e da utilidade Epu que pode ser ou pode não ser uma função dispêndio Suponha que E satisfaça as propriedades de uma função dispêndio E é contínua estritamente crescente ilimitada para cima em u homogênea de grau 1 côncava e diferenciável em p Podemos mostrar que E é de fato uma função dispêndio para alguma função de utilidade Teoria Microeconômica Avançada 67 Construindo a função utilidade Escolha algum p0 u0 calcule Ep0 u0 nesse ponto Construa o semiespaço fechado no conjunto de consumo Ap0 u0 xp0 x Ep0 u0 Ap0 u0 é um conjunto fechado e convexo contendo todos os pontos sobre ou acima do hiperplano definido por p0 x Ep0 u0 Repita o processo para todos os preços estritamente positivos p e pegue a interseção de todos os semiespaços A u0 p 0 Ap u0 xp x Ep u0 para todo p 0 Teoria Microeconômica Avançada 68 À medida que o número de semiespaços aumenta sua interseção se torna um conjunto convexo com uma fronteira suave Este conjunto Au0 p 0 Ap u0 é um conjunto de nível superior para alguma função quase côncava Esta é uma função utilidade válida a O semiespaço fechado Ap0 u0 b A intersecção de uma coleção finita dos conjuntos Ap u0 69 Construindo uma função utilidade Teorema 21 Construindo uma função utilidade a partir de uma função dispêndio Seja E ℝn ℝ ℝ uma função que satisfaz as propriedades de uma função dispêndio Então a função u gerada por ux maxu 0x Au é crescente ilimitada acima e quase côncava Teorema 22 A função dispêndio da u construída é E Seja Ep u uma função que satisfaz as propriedades de uma função dispêndio e seja ux construída a partir do teorema 21 Então para todos os preços e utilidade não negativos Teoria Microeconômica Avançada 70 Construindo uma função utilidade Teorema 23 Dualidade entre a utilidade direta e a utilidade indireta Suponha que ux seja quase côncava e diferenciável em ℝn com derivadas parciais estritamente positivas Então para todo x ℝn vp p x a função de utilidade indireta gerada por ux atinge um mínimo em p em ℝn e Teoria Microeconômica Avançada 71 Exercício Derive a função utilidade direta do consumidor se sua função utilidade indireta tem a forma Solução Teoria Microeconômica Avançada 72 Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 73 Preferência Revelada Até agora nossa abordagem da teoria da demanda foi assumir que o consumidor tem preferências que satisfazem algumas propriedades completude transitividade monotonicidade estrita e tentar deduzir todas as propriedades observáveis da demanda de mercado Portanto assumimos algo sobre coisas que não podemos observar preferências para fazer previsões sobre algo que podemos observar o comportamento da demanda do consumidor Por que não começar e terminar com o comportamento observável Teoria Microeconômica Avançada 74 Preferência Revelada No livro Foundations of Economic Analysis Paul Samuelson 1947 mostrou que todas as previsões que a teoria do consumidor faz para o comportamento observável do mercado podem ser derivadas a partir de poucas hipóteses sobre as escolhas observáveis do consumidor ao invés das hipóteses sobre preferências não observáveis Teoria Microeconômica Avançada 75 Preferência Revelada Se o consumidor compra uma cesta ao invés de outra cesta dentro da sua restrição orçamentária então considerase que a primeira cesta é revelada como preferida à segunda cesta Presumese que ao escolher uma cesta ao invés da outra o consumidor revela informações importantes sobre suas preferências Ao invés de estabelecer axiomas sobre as preferências das pessoas agora faremos hipóteses sobre a consistência das escolhas do consumidor Teoria Microeconômica Avançada 76 Preferência Revelada Axioma Fraco da Preferência Revelada AfPR O comportamento de escolha do consumidor satisfaz o AfPR se para cada par distinto de cestas x0 x1 com x0 escolhido a preços p0 e x1 escolhido a preços p1 p0 x1 p0 x0 p1 x0 p1 x1 Em outras palavras o AfPR é válido se sempre que x0 for revelada como preferida a x1 x1 nunca é revelada como preferida a x0 Ou seja o AfPR diz que se a cesta x0 for revelada como preferida à cesta x1 então não pode ocorrer que x1 seja revelada como preferida a x0 se os preços mudarem Teoria Microeconômica Avançada 77 Quando o consumidor enfrenta p0 ele escolhe x0 quando ele enfrenta p1 ele escolhe x1 Neste caso a escolha do consumidor não satisfaz o AfPR Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 78 x2 x1 p0 x0 p1 x1 Quando o consumidor enfrenta p0 ele escolhe x0 quando ele enfrenta p1 ele escolhe x1 Neste caso a escolha do consumidor satisfaz o AfPR Preferência Revelada Teoria Microeconômica Avançada 79 x2 x1 p0 x0 p1 x1 Preferência Revelada O Axioma Fraco da Preferência Revelada AfPR Teoria Microeconômica Avançada 80 a A escolha do consumidor satisfaz o AfPR b A escolha do consumidor não satisfaz o AfPR Exercício Julgue a afirmação a seguir Pelo axioma fraco da preferência revelada se a2 b2 puder ser adquirida quando o consumidor adquiriu a1 b1 então a cesta a1 b1 representará um nível de satisfação inferior para o consumidor quando a2 b2 for efetivamente adquirida Solução F Teoria Microeconômica Avançada 81 Preferência Revelada Seja xpy a escolha feita pelo consumidor quando enfrenta preços iguais a p e a renda y Não podemos dizer que xpy é função demanda pois não falamos nada sobre utilidade ou maximização da utilidade Então chamamos xpy de função escolha Se xpy obedece o AfPR e o equilíbrio orçamentario ie xpy p y podese mostrar que 1 xpy é homogênea de grau zero em py 2 A matriz de Slutsky de xpy é negativa semidefinida e simétrica Portanto a função escolha xpy é a função demanda porque podemos construir uma função utilidade que gera xpy Teoria Microeconômica Avançada 82 Exercício Julgue a afirmação a seguir O consumidor não terá comportamento maximizador se ele violar o axioma fraco da preferência revelada Solução V Teoria Microeconômica Avançada 83 Preferência Revelada Conclusão a função demanda xpy obtida maximizando a utilidade do consumidor também satisfaz o AfPR Para mais de 2 bens a história muda Se xpy obedece o AfPR e o equilíbrio orçamentario ie xpy p y podese mostrar que para mais de 2 bens A matriz de Slutsky de xpy não é simétrica xpy pode não ser transitiva Portanto para mais de 2 bens o AfPR e o equilíbrio orçamentário não são equivalentes à hipótese de maximização da utilidade Teoria Microeconômica Avançada 84 Preferência Revelada Podemos fortalecer o AfPR para obter uma teoria da preferência revelada equivalente à teoria da maximização da utilidade Axioma Forte da Preferência Revelada AFPR O comportamento de escolha do consumidor satisfaz o AFPR se para cada sequência de cestas distintas x0 x1 xk em que x0 é revelada como preferida a x1 e x1 é revelada como preferida a x2 e xk1 é revelada como preferido a xk não é o caso que xk é revelada como preferida a x0 AFFR exclui preferências reveladas intransitivas portanto portanto pode ser utilizada para induzir uma relação de preferência completa e transitiva para a qual existirá uma função utilidade Teoria Microeconômica Avançada 85