Ma141 Geometria Analítica - Unicamp

Exemplo para superfícies cilíndricas (por interseção de planos -> r) σ: { x² + y² + z² = 4 esfera de raio 2 cortada curva z = 0 pelo plano z=0 deixa uma circunferência r = (4,1,2) vetor diretor dado Q = (x,y,z) P = (X,Y,Z) -> quero encontrar QP = λr -> P - Q = λr -> P = Q + λr (X,Y,Z) = (x,y,z) + λ(1,1,2) Lo tem que pertencer a curva { X = x+λ -> { x = X - λ Y = y+λ -> { y = Y - λ Z = z+2λ -> { z = Z - 2λ como z=0, temos que Z = 2λ x² + y² + z² = 4 (X- λ)² + (Y- λ)² + (Z=2λ) = 4 0 (X-Z/2)² + (Y-Z/2)² = 4 com dois graus de liberdade equação da representa a superfície superfície Coordenadas Cilíndricas (x,y,z) -> (r,θ,z) { cosθ = x/r {x = r cosθ senθ = y/r {y = r senθ z = z r = √(x²+y²) Superfícies Cilíndricas Seja 𝛼 uma curva e r uma reta. A superfície cilíndrica S é a reunião das retas paralelas a reta r que intersectam α em um ponto Q. Se r tem vetor diretor ṙ e se Q ε α, então P ε S QP = λ r para λ ε R exemplos -> Base são vetores linearmente independentes B = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) Mudança de Base: E = (e_1, e_2, e_3) F = (f_1, f_2, f_3) e_1 = f_1 + 2f_2 + 3f_3 e_2 = f_3 - f_3 e_3 = 5f_1 + b f_3 [F] = M [E] \quad F = M_D^E M é a matriz de mudança de base \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 6 \end{bmatrix} = M Para E \cdot M^{-1} \to F fazer a inversa de M. Produto Escalar * resulta em um escalar \vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| ||v|| \cos \theta \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 u = (x_1, x_2, x_3) v = (y_1, y_2, y_3) Se u \perp v \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad (\cos \theta = 0) |AB|^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2 ||u|| ||v|| \cos \theta Produto Vetorial * resulta em um vetor * Se \vec{u} e \vec{v} são L.D. \Rightarrow \vec{u} \times \vec{v} = 0 * Se \vec{u} e \vec{v} são L.I. : ||\vec{u} \times \vec{v}|| = \text{Área do paralelogramo} ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin \theta Vetor (\vec{u} \times \vec{v}) é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}) é uma base positiva de \mathbb{R}^3. \Leftarrow \text{SÃO L.I.} Como calcular o produto vetorial: ~u= (x1, y1, z1) ~v= (x2, y2, z2) ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1) base ortonormal u x v = | i j k | | x1 y1 z1 | | x2 y2 z2 | = [y1 z2 - x2 z1]~i - [x1 z2 - x2 z1]~j + [x1 y2 - x2 y1]~k 1a coordenada 2a coordenada 3a coordenada u x v = (y1 z2 - y2 z1, y1 x2 - z2 x1, x1 y2 - x2 y1) u x v ≠ v x u Duplo Produto Vetorial ~u e ~v são L.I. (~u x ~v) é ortogonal a ~v e a ~u (por definição) ((~u x ~v) x ~w) é ortogonal a ~u x ~v logo: ((~u x ~v) x ~w, ~u e ~v são paralelos a um mesmo plano, isto é, são L.D. Existem α e β tais que: ((~u x ~v) x ~w = α ~u + β ~v Forma de calcular: (~u x ~v) x ~w = (v · w) ~u + ((~u · ~w) ~v ~u x (~v x ~w) = (w · w) ~v - ((~u · ~v) ~w vetores serão os que estão entre parentesis - parentise mais a direita - sinal (-) no 2º membro - parentise mais a esquerda - sinal (-) no 1º membro Produto Misto V= S.h = ||u x v||.h = V= ||u.v||/||v|| |cosθ| calcula o volume do paralelepipedo V= |u x v . w| chama-se produto misto ao numero: [u, v, w] = u x v . w ~u= (x1, y1, z1) ~v= (x2, y2, z2) ~w= (x3, y3, z3) [u, v, w] = | x1 y1 z1 | | x2 y2 z2 | | x3 y3 z3 | - resultado retorna um escalar Estudo da Reta ∀ X ϵ r , se somente se, \(\vec{AX} = t\vec{u}\) são L. D. \(AX = t\vec{u}\) : \(X - A = t\vec{u}\) \(X = A + t\vec{u}\) , t ϵ ℝ \(x = (x,y,z) , A=(x_0,y_0,z_0), \vec{u} = (a,b,c)\) \((x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(a,b,c)\) \left\{\begin{array}{l} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{array}\right. \text{equação paramétrica da reta} \(* \text{se } \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ são L. I. as retas são concorrentes,}\) \(** \text{se } \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ são L. D., as retas são paralelas.}\) \(\to \text{para as equações representarem a mesma reta:}\) \rightarrow \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ são paralelos (L. D.)}\) \rightarrow \overline{AB} \text{ e } \vec{u} \text{ são paralelos (L. D.)} (substituir ponto na reta) Estudo do Plano \(\pi\): \(X = A + t\vec{u} + s\vec{v}\) \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ não podem ser paralelos} \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ são L. I.}, t \text{ e } s ϵ ℝ \((x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(a,b,c) + s(m,n,p)\) \left\{\begin{array}{l} x = x_0 + ta + sm\\ y = y_0 + tb + sn\\ z = z_0 + tc + sp \end{array}\right. \text{equação paramétrica do plano} \pi_1: X = A + t\vec{u} + s\vec{v} \pi_2: Y = B + s\vec{p} + r\vec{q} \pi_1 = \pi_2 \Rightarrow A \in \pi_2 \text{ ou } B \in \pi_1 \vec{u}, \vec{v}, \vec{p} \text{ não L. D.} \vec{u}, \vec{v}, \vec{q} \text{ não L. D.} \(1\) \(2\) - \text{se t, s e q de vetores for L. D.} \rightarrow \pi_1 \text{ e } \pi_2 \text{ são paralelos} - \text{se uma é L. D. e outra L. I.} \rightarrow \pi_1 \text{ e } \pi_2 \text{ se interceptam em uma reta} - \text{se os dois são L. I.} \rightarrow \text{planos distintos que não são paralelos} Retas e Planos 1) \(r \cap \pi = r\) * \(r\) é combinação linear de \(\vec{u},\vec{v}\) \text{ou seja, } \vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ são L.D.} * A (um ponto da reta) pertence a \(\pi\). 2) - \(r \cap \pi = \{P\}\), P ϵ \mathbb{R}^2 \vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ são L.I.} 3) \(r \cap \pi = \emptyset\) \vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ são L.D.} \text{e não existem pontos em comum entre o plano } \pi \text{ e a reta } r. \text{reta } r: \(X - A + t\vec{r}\) \text{Plano } \pi: \(Y - B + s\vec{u} + p\vec{v}\) \text{ou} \((x_1, x_2, x_3) = (a_1, a_2, a_3) + t(r_1, r_2, r_3)\) \((y_1, y_2, y_3) = (b_1, b_2, b_3) + s(r_3, r_4, r_5) + p(u_1, u_2, u_3)\) \text{para calcular} * Se \[ r_1 \quad r_2 \quad r_3 \ v_1 \quad v_2 \quad v_3 \ u_1 \quad u_2 \quad u_3 \] \( \neq 0 \), então r \( \nparallel \) π, caso 2 (det \( \neq 0 \)) * Se det = 0, verificam-se A \( \in \) π. Para verificar isso, tentar resolver A = B + d \( \vec{u} \) + β \( \vec{v} \) \( (A - B) = d \vec{u} + β \vec{v} \Rightarrow (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) = d \vec{u} + β\vec{v} \) \[ a_1 - b_1 \quad a_2 - b_2 \quad a_3 - b_3 \ u_1 \quad u_2 \quad u_3 \ v_1 \quad v_2 \quad v_3 \] * Se det = 0 (LD), A \( \in \) π, r \( \parallel \) π e r \( \cap \) π = r caso 1 * Se det \( \neq \) 0 (LI), r \( \parallel \) π e r \( \cap \) π = \( \emptyset \) caso 3 Distâncias - distância ponto a ponto \[d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\] distância de ponto a reta \[d(P, r) = \frac{|| \vec{AP} \times \vec{v} ||}{|| \vec{v} ||}\] \( \vec{v} \) é vetor diretor da reta r distância de ponto a plano d(P, π) = \[ \frac{|| \vec{AP} \cdot \vec{n} ||}{|| \vec{n} ||} \] distância entre duas retas reversas \[d(r, s) = \frac{|| \vec{QP} \cdot \vec{u} \times \vec{v} ||}{|| \vec{u} \times \vec{v} ||}\] §5 Distância entre reta e plano Consideremos uma reta r e um plano π. Sendo \( \vec{v} \) um vetor diretor de r e \( \vec{n} \) um vetor normal a π, sua distância d(r, π) é calculada da seguinte forma: se r \( \nparallel \) π, ou seja, se \( \vec{n} \cdot \vec{v} \neq 0 \), então d(r, π) = 0; se r \( \parallel \) π ou r \( \subset \) π, ou seja, se \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \), então d(r, π) é a distância de um ponto qualquer de r a π. (Cuidado! Não vá calcular a distância de um ponto qualquer de r a r! Todos os pontos de r estão a igual distância de π, mas os pontos de π não estão todos à mesma distância de r.) §6 Distância entre dois planos Dados dois planos, π₁ e π₂, com vetores normais \( \vec{n}_1 \) e \( \vec{n}_2 \), sua distância d(π₁, π₂) pode ser calculada da seguinte maneira: se π₁ \( \nparallel \) π₂, ou seja, se \( \vec{n}_1 \) e \( \vec{n}_2 \) são LI, então d(π₁, π₂) é igual a 0. se π₁ \( \parallel \) π₂, ou seja, se \( \vec{n}_1 \) e \( \vec{n}_2 \) são LD, então d(π₁, π₂) é a distância entre π₂ e um ponto qualquer de π₁ (ou a distância entre π₁ e um ponto qualquer de π₂). Projeção \( \text{proj}_{\vec{u}} \vec{v} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \right) \vec{u} \) → projeção de \( \vec{v} \) em \( \vec{u} \) [DIAGRAMA] projeção do vetor \( \vec{v} \) Elipse \( d(P,F1) + d(P,F2) = 2a \) → equação reduzida \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) para a no eixo x. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) para a no eixo y. c^2 = b^2 + a^2 , onde: A → semi-eixo maior B → semi-eixo menor 2c → distância focal F1, F2 → focos A1, A2, B1, B2 → vértices Hipérbole |d(P,F1) - d(P,F2)| = 2a \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) para a no eixo x. \( \frac{-x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) para a no eixo y. c^2 = a^2 + b^2 r: y = \frac{b}{a}x s: y = -\frac{b}{a}x F1, F2 → focos 2c → distância focal A1A2 → eixo transverso B1B2 → eixo conjugado r e s → assíntotas Parábola 2p = d(r,r) F=(p,0) r: x=-p -> x+p=0 y^2=4px F=(-p,0) F=(0,p) F=(0,-p) r:x=p r:y=-p r:y=p y^2 = 4px y=\frac{1}{4p}x^2 y=-\frac{1}{4p}x^2 F -> foco r -> diretriz 2p -> parâmetro HF reta por F e perpendicular a r -> eixo de simetria V (ponto médio de HF) -> vértice Identificando uma cônica Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 olhar as soluções de (λ): det\begin{vmatrix} A-λ & B/2\\ B/2 & C-λ\end{vmatrix} • Se λ1 e λ2 forem iguais e com sinal positivo -> CÍRCULO • Se λ1 e λ2 diferentes e com sinais iguais -> ELIPSE • Se λ1 e λ2 diferentes e com sinais opostos -> HIPÉRBOLE • Se um dos resultados for zero -> PARÁBOLA • Se Δ<0 -> CÔNICA DEGENERADA Mudança de Coordenadas translação: elimina (tôta) os termos lineares [O]1=(h,k) [P]1=(x,y) [O]2=(0,0) [P]2=(x-h,y-k) {x'=x-h {y'=y-k -> {x=x'+h {y=y'+k Rotação: elimina o termo misto (x',y')={x e'1+y e'2 [P]0=(u,v)={u f'1+v f'2 (x,y)=u(cosθ,sinθ)+v(-sinθ,cosθ) [f'1]1=(cosθ,sinθ) [f'2]2=(-sinθ,cosθ) {x'=cosθ.u-sinθ.v {y'=sinθ.u+cosθ.v -> cos 2θ=A-C tg 2θ=B A-C pl elimina-se misto {u=cosθ.x+sinθ.y {v=-sinθ.x+cosθ.y -> rotação no sentido anti-horário Relações Trigonométricas sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb tg(a+b) = (tga + tgb) / (1 - tga.tgb) sen2a = 2sena. cosa cos2a = cos²a - sen²a sen²θ + cos²θ = 1 tgα = senα / cosα Coordenadas Polares 0 <= θ <= 2π 0 <= r {x = rcosθ y = rsinθ (r,θ) -> (x,y) } r = √(x² + y²) {cosθ = x/r sinθ = y/r (x,y) -> (r,θ) } Obs: na origem, ou seja, r=0 e θ não está definido. É chamado de ponto singular. Obs2: Lembrar que outros sistemas de coordenadas podem ser escritos conforme for conveniente. Coordenadas Esféricas {x = rcosθsenβ y = rsenθsenβ z = rcosβ } r = √(x² + y² + z²) exemplo 2 de superfícies δ: | x ⋅ y = z | x + y = z \vec{r} = (1,1,1) Q ∈ δ, Q = (x,y,z) P ∈ δ, P = (X,Y,Z) P = Q + \lambda \vec{r} { X = x + \lambda ⟹ x = X - \lambda { Y = y + \lambda ⟹ Y = Y - \lambda { Z = z + \lambda ⟹ z = Z - \lambda x ⋅ y = z ⟹ (x − \lambda)(y − \lambda) = (z − \lambda) x + y = z ⟹ (x − \lambda) + (y − \lambda) = (z − \lambda) Quero eliminar \lambda da equação: X + Y - 2λ = Z - λ ⟹ λ = X + Y - Z isolando λ na segunda eq (x-\lambda)(y-\lambda) - (z-λ)(z-X) = Z^2 - X - Y ⟶ equação da superfície Superfícies de Revolução Sejam r uma reta e t uma curva no espaço tridimensional. A superfície S é formada pela reunião de círculos contidos em planos perpendiculares a reta r, e com raios igual a distância de um ponto da curva t, no plano, a reta. ➜ Se π é um plano ortogonal a r e P ∈ Q ⊂ δ ∩ π, então dist(P, r) = dis(Q, r) Isso é equivalente a perguntar se dis(P, A) = dis(Q, A) para A ∈ r ( um ponto qualquer ) Exemplo para superfície de revolução: δ: { x^2 + y^2 = 1 { x + z = 0 ⟶ curva γ definida pela interseção de duas superfícies r: X = λ(1,1,1) ⟶ reta dada A = (0,0,0) ⟶ ponto qualquer pertencente a reta Q ∈ δ, Q = (x,y,z) P = (X,Y,Z) π: i ⋅ x + j ⋅ y + k \cdot z = \lambda ⟶ plano perpendicular a reta r Q ∈ δ: x^2 + y^2 = 1 x + z = 0 ⟹ z = -x e Q ∈ π: x + y + z = λ ⟹ y = λ - 1 P ∈ π ⟶ X + Y + Z = 1 dist( P, A) = (X - 0)^2 + (Y - 0)^2 + (Z - 0)^2 dist( Q, A) = (x - 0)^2 +(y - 0)^2 + (z - 0)^2 com y = 1 x^2 = 1 - y^2 = \frac{1}{λ^2}, x = ± \sqrt{1- \frac{1}{λ^2}} z = ± \sqrt{1 + x^2} ⟹ (1 - λ^2) + \frac{1}{\lambda^4} + (1 - x^2) = λ − x^2 − z^2 ⟶ \frac{1}{\lambda^4} = λ^2( y−z \cdot z )^2 x^2 + Y^2 + Z^2 = x(y − Z^2)^2 ⟶ equação das pontas da superfície de revolução Quádricas Elipsóide: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 Hiperbolóide de uma folha: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 Hiperbolóide de duas folhas: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 Parabolóide elíptico: z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} Parabolóide hiperbólico: z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}