Vibrações Mecânicas II: Rotação Crítica de Eixos

EME608 Vibrações Mecânicas II Rotação Crítica de Eixos Prof José Juliano de Lima Junior Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 1 100 Introdução Sistemas como turbinas compressores motores elétricos bombas hidráulicas entre outros são montados em eixos exíveis Quando o rotor é montando em um eixo exível o seu centro de massa normalmente não coincide com o eixo de rotação Como resultado o eixo está sujeito a força centrífuga quando em rotação A força centrífuga agem radialmente na direção oposta do cento de massa fazendo o eixo etir Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 2 100 Introdução Sistemas como turbinas compressores motores elétricos bombas hidráulicas entre outros são montados em eixos exíveis Quando o rotor é montando em um eixo exível o seu centro de massa normalmente não coincide com o eixo de rotação Como resultado o eixo está sujeito a força centrífuga quando em rotação A força centrífuga agem radialmente na direção oposta do cento de massa fazendo o eixo etir Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 2 100 Introdução Sistemas como turbinas compressores motores elétricos bombas hidráulicas entre outros são montados em eixos exíveis Quando o rotor é montando em um eixo exível o seu centro de massa normalmente não coincide com o eixo de rotação Como resultado o eixo está sujeito a força centrífuga quando em rotação A força centrífuga agem radialmente na direção oposta do cento de massa fazendo o eixo etir Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 2 100 Introdução Sistemas como turbinas compressores motores elétricos bombas hidráulicas entre outros são montados em eixos exíveis Quando o rotor é montando em um eixo exível o seu centro de massa normalmente não coincide com o eixo de rotação Como resultado o eixo está sujeito a força centrífuga quando em rotação A força centrífuga agem radialmente na direção oposta do cento de massa fazendo o eixo etir Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 2 100 Introdução A exão é causada por desbalanceamento forças giroscópicas amortecimento do eixo rigidez e amortecimento dos mancais que em certas rotações críticas geram o fenômeno do Whirling Whirling é o fenômeno gerado pela rotação do plano formado pelo eixo curvado e a reta que passa pelos centros dos mancais Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 3 100 Introdução A exão é causada por desbalanceamento forças giroscópicas amortecimento do eixo rigidez e amortecimento dos mancais que em certas rotações críticas geram o fenômeno do Whirling Whirling é o fenômeno gerado pela rotação do plano formado pelo eixo curvado e a reta que passa pelos centros dos mancais Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 3 100 Equacionamento Figura 1 Rotor com excentricidade Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 4 100 Equacionamento Da gura O Origem do sistema referência que passa pelos mancais C Centro geométrico do rotor a desvio do centro de massa em relação a C OC deexão do eixo Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 5 100 Equacionamento Figura 2 Rotor com excentricidade Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 6 100 Aplicado a 2a Lei de Newton So Ft m Rt com mR t kxt kyyti XtP gt e R xt acoswti yt a sen wt Ce LCR LiMRC OM s Vibracées MecanicasI1sitsssSSSSSSSS 00 Derivando R duas vezes temse R Xt aw coswti Vt aw sen wtj Substituindo na equacdo da 2a Lei de Newton temse mxXt maw coswt Xt kxi myt maw sen wt cyyt kyyj 0 PCCM Sss Vibracdes MecanicasIPssiCitstitsts 100 Equacionamento Esta equação vetorial equivale à mxt cx xt kxxt maω2 cos ωt myt cy yt kyyt maω2 sen ωt A solução particular é xpt X cosωt θ ypt Y sen ωt θ r ω ωn θ tg 1 2ζr 1 r2 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 9 100 Equacionamento X F0x kx β Y F0y ky β Considerando k kx ky c cx cy F0 F0x F0y maω2 e substituindo k e F0 nas soluções particulares vem X Y F0 k maω2 mω2n β ar2β logo xpt ar2β cosωt θ e ypt ar2β sen ωt θ Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 10 100 como A x2t ypt A 4arB sen 2wt 6 coswt 6 logo A arB 6 PCCM Ss Vibracdes MecanicasIPsiC Ott 100 Finalmente A r a lr 2r 2r 0 tg t com Aa a relacdo entre a deflexdo do eixo A e a excentricidade do centro de massa do disco a PCC RCC CUSIMe Ss Vibracdes MecanicasIPsiisisiCittsts 100 Rotação Crítica Figura 3 a ω ωn 0o θ 90o b ω ωn θ 90o c ω ωn θ 90o Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 13 100 Diferenciando a equacdo Aa com relacdo a r encontrase a velocidade de rotacdo w a qual a amplitude do whirling tornase maxima 1 Wp A 1 ico Ww 1 2 1 2 9 pico 2V1 Desprezando o amortecimento A r a lP PCC TC CUSMeM Ss Vibracdes MecanicasIPsiiiCOss dh 100 Equacionamento Figura 4 Deexão do eixo versus excentricidade do Centro de Massa Aa Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 15 100 Equacionamento As reações nos mancais são determinadas pelas força centrífuga F mRω2 R é a deexão do centro de massa do disco em relação ao eixo do mancal R2 A2 a2 2Aa cos180o θ Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 16 100 Equacionamento Observação A equação de Aa supõe implicitamente uma condição de rodopiowhirling síncrona adiantada em regime permanente θ ω Como um caso geral existe a condição de rodopio síncrona atrasada em regime permanente θ ω Para rotores simples como tratado neste capítulo na prática ocorre apenas o rodopio síncrona adiantada Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 17 100 Regiões Subcrítica e Supercrítica Como A a r2 1 r2 para 0 r 1 r2 1 r2 1 r2 r2 1 r 1 2 2 2 r 0 707 para r 1 r2 r2 1 2 r2 2r2 2 r2 2 r 2 r 1 414 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 18 100 Regiões Subcrítica e Supercrítica Então denimos duas regiões de operação isto é onde as máquinas devem trabalhar região subcrítica r 22 e região supercrítica r 2 r 0 707 e r 1 414 ou 0 707 r 1 414 região de projeto Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 19 100 Rotação Crítica Na ressonância isto é r 1 ou ωopωn 1 temos a maior relação entre Aa a qual é chamada de frequência crítica ou rotação crítica ωcr Então podese escrever que 0 707 ωop ωcr 1 414 ou 0 707 nop ncr 1 414 ou 0 707 ncr nop 1 414 ncr Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 20 100 Rotação Crítica Determinação Determine a velocidade crítica para o eixo mostrado na gura Figura 5 Eixo com rotor biapoiado Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 21 100 Rotação Crítica Figura 6 Eixo biapoiado com rotor no centro do vão Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 22 100 Rotação Crítica F kx logo a relação entre o peso W e a deexão estática δ é W kδ Da resistência dos materiais a deexão de uma viga biapoiada é δ Wa2b2 3EIL I πd4 64 Logo a constante de rigidez do eixo é k W δ 3EIL a2b2 3πd4EL 64a2b2 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 23 100 A frequéncia natural desprezando a massa do eixo é k 3m ELdg 2 0M 642 eW 6 como 27 Neri 30w wn Merit Logo a velocidade angular critica e a rotacdo critica sdo determinadas por wo Tort 30 3nELdg 30 cit eV 64a2b2W hon a 30d 3nELg 8rab Ww CCRC CSM Ss Vibracdes MecanicasIIstsiCOststststss 8 100 A deflexdo em um ponto A da viga pode ser determinada usandose o Teorema de Castigliano Energia de flexdo de uma viga considerando apenas o momento fletor 1 f M U d 2 EI Do Segundo Teorema de Castigliano sabese que OU dp OP TCC RCC CUSIMeM SSs Vibracdes MecanicasIPssCSOSststststss 88 100 Logo 1 0 M oP 5 aP EI Assim L M OM oP El SP x com dp a deflexdo da viga no ponto de aplicacdo da carga P PCC RCC CSM Ss Vibracdes MecanicasIIssiCOststss 86 100 Rotação Crítica Para aplicar o Segundo Teorema de Castigliano dividese a viga da gura 32 em 2 duas seções uma antes da carga 0 x a e outra depois da carga a x L Reações de apoio R2 Pa L R1 L R2 Pb L Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 27 100 Rotardo Crtieg Momentos fletores My Rix xP Mp Rix PlxaxP 2 Pax Derivada dos Momentos We x0D ou x 14 ax TCC RCE CSIMM SSs VibracSes MecanicasIPssiiCitiisé 88100 a My OM t Mp OM2 sp 224 a oe P ao m El oP So PaL a 1 PaL a PS 3EIL2 3EIL2 Paba b Pa b2 0 FEF P ZED OP EFL PCC CG CUSIMEM Ss Vibracdes MecanicasIPsiiiiCw 29 100 Rotação Crítica Vaise considerar no cálculo da rotação crítica a massa do eixo m ρπd2 4 L A frequência natural ca ω2 n k M m2 k 2Mm 2 2k 2M m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 30 100 entao 30w 30 3ndEL 8g Dcrit a us us 64a2b2 8W 4 prd2lg 30 3rd4ELg om 8a2b28W 4 prdLlg 30 3nd4ELg crit SLD LD OIL OT nm 8a2b 8W prdLg TCR Lem ss Vibracées MecanicasI1 0 siisisiit 81 1007 Exemplo Determine a rotação crítica para o eixo mostrado na gura não considerando e considerando a massa do eixo Qual é a diferença percentual entre as rotações críticas O eixo possui comprimento entre os apoios de 50 cm diâmetro uniforme de 3125 cm o rotor possui um peso de 450 N e está centrado em relação aos apoios Admita que a módulo de Young do material do eixo é de 207 GPa e a massa especíca do material do eixo seja de 7850 kgm3 Figura 7 Eixo com rotor biapoiado Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 32 100 Exemplo Solução i rigidez do eixo Para uma viga biapoiada a rigidez é k 48EI L3 Como a seção transversal do eixo é circular maciça então possui momento de inércia de área igual à I πd4 64 Logo k 3πEd4 4L3 3 π 207 109 0 031254 4 0 5003 k 3 7211 106 N m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 33 100 Exemplo ii massa do rotor A massa do rotor é M P g 450 9 81 M 45 87 kg Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 34 100 Exemplo iii massa equivalente do eixo Para o caso de viga biapoiada a massa equivalente é determinada considerando metade da massa do eixo Meq M m 2 sendo m ρπd2 4 L 7850 π 0 031252 4 0 500 m 3 01 kg Assim Meq 45 87 3 01 2 Meq 47 38 kg Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 35 100 iv rotaco critica sem considerar a massa do eixo A rotacao critica sem considerar a massa do eixo e determinada por 30 k 30 37211 x 10 Nerit TT M TT 4587 Nerit 2719 8 rpm v rotacdo critica considerando a massa do eixo A rotacao critica considerando a massa do eixo e determinada por 30 k 30 37211 x 10 Nerit o EE SS ng 26761 crit T Meg T 47 38 Nerit t rpm PCC RCC CSIMeM SSs Vibracdes MecanicasI1ssiCSOststss 86 100 Exemplo vi diferença percentual A diferença percentual relativa é n nsm crit ncm crit ncm crit 100 2719 8 2676 1 2676 1 100 n 1 63 Assim a rotação crítica determinada sem considerar a massa do eixo é 16 maior do que a rotação crítica considerando a massa do eixo Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 37 100 Rotação Crítica de Eixos com Vários Rotores Mabie and Ocvirk 1980 Utilizamos para este caso o Método de Energia de Rayleigh Supondo que o sistema vibratório seja conservativo a soma das energias potenciais e cinéticas em qualquer fase da vibração é constante Duas dessas fases são facilmente analizadas Na fase em que as massas estão simultaneamente no deslocamento máximo Y a energia armazenada elasticamente no eixo iguala a energia potencial Nessa fase a energia cinética é nula pois a velocidade é nula Durante a vibração o eixo passa através da fase sem deexão na qual a energia potencial é zero mas a energia cinética juntamente com a velocidade das massas são máximas Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 38 100 Rotação Crítica de Eixos com Vários Rotores Mabie and Ocvirk 1980 Utilizamos para este caso o Método de Energia de Rayleigh Supondo que o sistema vibratório seja conservativo a soma das energias potenciais e cinéticas em qualquer fase da vibração é constante Duas dessas fases são facilmente analizadas Na fase em que as massas estão simultaneamente no deslocamento máximo Y a energia armazenada elasticamente no eixo iguala a energia potencial Nessa fase a energia cinética é nula pois a velocidade é nula Durante a vibração o eixo passa através da fase sem deexão na qual a energia potencial é zero mas a energia cinética juntamente com a velocidade das massas são máximas Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 38 100 Rotação Crítica de Eixos com Vários Rotores Mabie and Ocvirk 1980 Utilizamos para este caso o Método de Energia de Rayleigh Supondo que o sistema vibratório seja conservativo a soma das energias potenciais e cinéticas em qualquer fase da vibração é constante Duas dessas fases são facilmente analizadas Na fase em que as massas estão simultaneamente no deslocamento máximo Y a energia armazenada elasticamente no eixo iguala a energia potencial Nessa fase a energia cinética é nula pois a velocidade é nula Durante a vibração o eixo passa através da fase sem deexão na qual a energia potencial é zero mas a energia cinética juntamente com a velocidade das massas são máximas Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 38 100 Rotação Crítica de Eixos com Vários Rotores Figura 8 Linha elástica dinâmica Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 39 100 Rotação Crítica de Eixos com Vários Rotores Supondo movimento harmônico não amortecido temse yit Yi sen ωnt 1 Derivando a equação 1 temse yit Yiωn cos ωnt A energia cinética máxima é Timáx 1 2 Mi Y 2 imáx 2 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 40 100 logo Vinx Yiwn 3 Substituindo a equacdo 3 na equacdo 2 temse 1 W Tinmax 5 wn Y Para todo o sistema we 9 Tmax 56 2 Wi Y 4 i1 PCC RCE TC CSIMMM Ss Vibracdes MecanicasIPsisiiCOws tt 100 A energia potencial maxima é dada pela equacdo Uinse 5K YR 5 mas Ft kiyit entao Vinsx fi Yimax sf 6 Somando para todas as massas vem 1 Umax 5 FY 7 PCC RCC CSIMM Ss Vibracdes MecanicasIPssiiiCSwss 100 Considerando a conservado da energia igualase as equacées 4 e 7 Ww n 1 n 2 Sow v8 3A 8 2 Assim a frequéncia angular natural fica Dia Fi Yi wn g Sa 8 iat Wi Y 8 PCCM Ss Vibracdes MecanicasI1ssiitiié a8 1100 Método de Rayleigh Por hipótese considerase que a linha elástica estática se aproxima da linha elástica dinâmica Figura 9 Linha elástica estática com δi deexão estática e Wi peso do rotor i Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 44 100 Método de Rayleigh Então Y1 δ1 Y2 δ2 Yn δn c 9 Logo Yi c δi 10 A força de mola é Fi ki Yi logo Wi ki δi 11 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 45 100 Dividindo a equacdo 10 pela equacdo 11 vem Fr Yj ta it 12 WS 12 entdo F C W Y C6 13 Substituindo a equacdo 13 na equacdo 8 vem ee Wr8 Dm VW 2 oF ia Wi 9 PCCM Ss Vibracdes MecanicasIPsiisiiiCstswss 100 logo a frequéncia angular critica ou natural fica int Wj 0 Wn 48 SSS Equacao de Rayleigh 14 OWE Soy Wi 6 A rotacao critica é 30 dies Mi i x it 8 Se E de Rayleigh 15 Merit 48 sn W quacao de Rayleig 15 PCC TC CSIMMM Ss Vibracdes MecanicasIP 0 ssiiiCOs 100 Rotação Crítica e Temperatura Devese ser considerado no cálculo da rotação crítica a temperatura pois este fator altera o módulo de elasticidade longitudinal do material alterando a rotação crítica A CEN prEN 199312 Eurocode 3 Design of steel structures Part12 General rules Structural re design propõe uma equação que determina um fator de correção do módulo de elasticidade longitudinal tomado a 20 oC na faixa de 20 oC a 1200 oC Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 48 100 Rotação Crítica e Temperatura f 1 1 0 001T eT500 1 220 e0006T3 e500T 1 1 0 sendo T a temperatura do eixorotor ET oC f E20oC Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 49 100 Exemplo Exemplo1 Um rotor de compressor de 22 7 kgf e um rotor de turbina de 13 6 kgf são montados em um eixo de aço comum de 762 mm de comprimento que deverá operar a uma velocidade projetada para 8000 rpm Usando a equação de Rayleigh e a de Dunkerley determine o diâmetro do eixo mais leve que possa ser usado para uma velocidade crítica fundamental de 12000 rpm com uma margem de segurança de 2000 rpm 1OCVIR F W Mabie H H 1980 Dinâmica das Máquinas 2a Ed p 553 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 50 100 Exemplo Figura 10 Sistema turbo compressor Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 51 100 Exemplo Solução i determinação das deexões Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 52 100 Da resistncia dos materiais com base nos diagramas da figura as flechas sao n PL Pyl2a 1 0 61 78F 16ET 1 227 x 0508 136 x 0508 x 0254 El 48 16 61998 x 107 55716 x 103 7 El iH 117714 x 103 El PCCM Ss Vibracdes MecanicasIP si 581100 2 2 by by h a Poa ita 2 1 227 x 0508 x 0254 136 x 0254 x 0762 El 16 3 92997 x 1073 222 864 x 103 7 EI 5 HH 315861 x 103 EI TCC RCE TC CUSIMM SSs Vibracdes MecanicasIPssiiié 54 100 ii determinacdo do didmetro Usando a equacdo de Rayleigh equacdo 15 temse we Py 61 Po 62 n 8 Py Py eI 227 x 117714 x 103 136 x 315861 x 103 1 9678 8E 907 x 117 714 x 103 136 x 315861 x 1032 1 6714 41688gEI Com P e Po em kgf o modulo de elasticidade longitudinal 6 FE 2 14067 x 101 kgfm PCC CSM Ss Vibracdes MecanicasIPssCSCOs 8 100 Exemplo Considerando g 9 81 ms2 ω2 n 4 1688 9 81 2 14067 1010I 875 448 109I rads2 I 1 1423 1012ω2 n m4 Para ncrit 12000 rpm temos ωn πncrit 30 π 12000 30 1256 64 rads Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 56 100 Exemplo Assim o momento de inércia requerido é I 1 1423 1012 1256 642 1 8038 106 m4 Como I πd4 64 d4 64 π I 64 1 8038 106 π 36 7477 106 m4 d 0 07786 m 77 85 mm d 77 85 mm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 57 100 Exemplo iii Vericação da tolerância da rotação crítica ncrit 12000 2000 rpm se ncrit 10000 rpm d 71 1 mm ncrit 14000 rpm d 84 1 mm logo d 80 mm ncrit 12669 rpm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 58 100 Exemplo iv equação de Rayleigh com massa Considerando a massa do eixo determinada pelo energia cinética do eixo temse P1 22 7 0 5 19 0 32 2 kgf P2 13 6 33 140 9 5 15 84 kgf Refazendo os cálculos temse se ncrit 10000 rpm d 74 0 mm ncrit 12000 rpm d 81 7 mm ncrit 14000 rpm d 88 9 mm logo d 82 mm ncrit 12086 rpm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 59 100 v equacdo de Dunkerley Conhecida as deflexdes J 61 62 podese usar a equacdo de Dunkerley equacdo para se determinar o didmetro pee bs 61 b2 fazendo 6 0 e como 117714 x 103 315861 x 103 6 2 El El Assim gEl 1 23064gE wo 8 117714 x 103 315861 x 103 8 Com P e Pz em kgf o médulo de elasticidade longitudinal é 2 14067 x 101 PCCM Ss Vibracdes MecnicasIP ssi 60100 Exemplo Considerando a aceleração da gravidade igual à 981 ms2 temse ω2 n 2 3064 9 81 2 14067 1010I 484 3433 109I rads2 então I 2 0647 1012ω2 n m Para ncrit vem ωn πncrit 30 π 12000 30 1256 64 rads Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 61 100 Exemplo Assim o momento de inércia requerido é I 2 0647 1012 1256 642 3 2604 106 m4 Como I πd4 64 d4 64 π I 64 3 2604 106 π 66 4199 106 m4 d 0 09027 m 90 27 mm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 62 100 Exemplo vi vericação da tolerância ncrit 12000 2000 rpm se ncrit 10000 rpm d 82 4 mm ncrit 14000 rpm d 97 5 mm logo d 95 mm ncrit 13289 rpm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 63 100 Exemplo vii comparação dos resultados A tabela apresenta os diâmetros encontrados usando o Método de Rayleig e Dunkerley sem considerar a massa do eixo Para as mesmas rotações críticas mínima de projeto e máximas determinase os desvios percentuais no valores dos diâmetros Desvio1 D R R 100 Desvio2 S R R 100 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 64 100 Exemplo Tabela 1 Comparação entre os Métodos de Reyleigh Dunkerley e Superposição Rotação rpm Diâmetro mm Rayleigh Dunkerley Superposição Desvio1 Desvio2 10000 711 824 742 1589 436 12000 779 903 813 1589 436 14000 841 975 878 1589 440 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 65 100 Exemplo Comparando o método de Rayleigh sem massa e com massa temse Desvio Rsm Rcm Rsm 100 Tabela 2 Comparação entre o Método de Reyleigh sem massa e com massa Rotação rpm Diâmetro mm Diâmetro mm Rayleigh Dunkerley Desvio 10000 711 740 41 12000 779 817 49 14000 841 889 57 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 66 100 Exemplo viii comentários Os diâmetros determinados pelo Método de Dunkerley são em média 159 maiores daqueles determinados pelo Método de Rayleigh Já os diâmetros determinados pelo Método da Superposição são em média 436 maiores daqueles determinados pelo Método de Rayleigh Por exemplo para um diâmetro de 90 mm o Método de Rayleigh prevê uma rotação crítica de 16035 rpm o Método de Dankerley 11927 rpm e o Método da superposição de 14714 rpm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 67 100 Exemplo Assim o Método de Dunkerley é mais conservador entre os três métodos e numa primeira análise mais seguro pois indica que a rotação de operação não poderá exceder 70 de 11927 rpm que é 8349 rpm já o Método de Rayleigh indica uma rotação de operação de 11225 rpm e o Método da Superposição de 10230 rpm Em geral o Método de Dunkerley subestima a rotação crítica enquanto que o Método de Rayleigh superestima a rotação crítica o Método da Superposição é um método com resultados intermediários entre os outros dois métodos Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 68 100 Exemplo Neste cálculo o peso do eixo não foi considerado Caso queira considerar devese considerar que o peso é uma força concentrada agindo no centro do vão e assim determinar δ3 que é referente ao peso do eixo transformado em uma força concentrada No caso podese considerar o peso total do eixo ou um valor equivalente determinado pelo energia cinética do eixo que depende das condições de contorno Para um eixo biapoiado a massa equivalente do eixo é metade de sua massa Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 69 100 Exemplo No cálculo da rotação crítica utilizando o Método de Rayleigh sem massa e com massa observase que mesmo sendo o valor das massas dos rotores da mesma ordem de grandeza das massas do eixo nos dois trechos o desvio encontrado não foi tão grande na média 49 indicando que podese desconsiderar a massa do eixo sem cometer grandes erros no cálculo da rotação crítica Devese primeiramente calcular o diâmetro por resistência dos materiais e depois por velocidade crítica sendo que o diâmetro por velocidade crítica é maior o requerido por resistência dos materiais Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 70 100 Eixo com diferentes seções transversais Determine a rotação crítica para o eixorotor mostrado na gura usando a fórmula de Rayleigh não considerando e considerando a massa do eixo Determine a deexão do eixo usando o Teorema de Castigliano Qual é a diferença percentual entre as rotações críticas O eixo possui comprimento entre os apoios de 50 cm o rotor possui um peso de 45 kgf e está centrado em relação aos apoios Admita que a módulo de Young do material do eixo é de 207 GPa e que a massa especíca do material do eixo é de 7850 kgm3 Mabie and Ocvirk 1980 1327575 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 71 100 Eixo com diferentes seções transversais Figura 11 Eixo escalonado com rotor biapoiado centrado no vão Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 72 100 Eixo com diferentes seções transversais Solução i dados E 207 GPa ρ 7850 kgm3 d1 25 mm d2 50 mm Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 73 100 Eixo com diferentes seções transversais ii procedimento inicial Dividese o eixo em duas seções conforme gura acrescentando uma carga virtual P Uma seção antes da carga e outra depois As seções devem possuir o mesmo produto EI Caso isso não aconteça seções adicionais devem ser acrescentada para cada EI diferente Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 74 100 ill reacSes de apoio So Fy 0 Rat Re 44144 P Ra 4414 P Re 4414P S Ma 0 02504414 P 0500Rg 0 Rg a Substituindose Rg encontrase Ry 44144P 44144 P Ra 4414 P oe v Ra oe PCC RCC CUSIMM Ss Vibracdes MecanicasIP 0 siiiiCOs 785 100 Eixo com diferentes seções transversais iv momento de inércia de área da seção transversal I1 πd4 1 64 π 0 0254 64 I1 19 175 109 m4 I2 πd4 2 64 π 0 0504 64 I2 306 80 109 m4 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 76 100 Eixo com diferentes seções transversais v momentos para cada trecho M1 441 4 Px 2 p 0 x 250 mm M2 441 4 Px 2 441 4 Px 0 250 p 250 x 500 mm vi derivada dos momentos M1 P x 2 M2 P 0 250 x 2 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 77 100 vii deflexdes Aplicando o Teorema de Castigliano para cada trecho encontrase a deflexdo 0250 M M 0500 M M 5 nes M2 OM 0 El OP 0250 El OP PCC TC CUSIMMM SSs Vibracdes MecanicasIPssiCSOsstss 78 100 Substituindo os momentos e as derivadas dos momentos e sabendose que P uma carga virtual e neste caso é zero pois esta somando com a carga 4414 N vem 0250 0500 6 441 4x x 1 4414x x s a oe f oa 441 4x 0250 0250 dx 0 2Eh 2 0250 Eb 2 2 5 ML aR PP 441 4 4x 6x 3x PP 12Eh o 48 El 0250 4414 4414 6 768Eh 768El PCCM Ss Vibracdes MecanicasIP ee sissSsSSSSSS 29 100 Eixo com diferentes seções transversais Assim substituindo os valores de E I1 e I2 encontrase seus valores δ 441 4 768 207 109 19 175 109 441 4 768 207 109 306 80 109 δ 1 4480 104 9 0500 106 δ 1 5385 104 m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 80 100 vill rotacdo critica 30 g 30 981 nerit 2441 3 rpm Merit é a 15385 x 104 7 P ix Considerando a massa do eixo Método da Energia Neste caso a carga P que era ficticia recebe o valor da 0 5mejxo pois a viga esta biapoiada Fazendose os mesmos procedimentos anteriores encontrase Nerit 2349 3 rpm PCC RCC CSM Ss Vibracdes MecanicasI1siissSsSC a 100 Eixo com diferentes seções transversais x Considerando a massa do eixo como cargas pontuais em cada trecho Neste caso devese considerar quatro seções uma a esquerda e outra a direita de cada carga Além disso seções adicionais são consideradas para o produto EI diferente Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 82 100 xi reacdes de apoio So Fy 00 Pi Po P3 Ra Re Ra Pi Po P3 Re S My 0 0125P 0 250P 0375P3 05Rp 0125P 0250P 0375P3 Rg 05 Assim Ra 0 75P 050P 0 25P3 Re 0 25P 050P 0 75P3 PCCM SSs Vibracdes MecanicasIPsi Cw 88 7100 Eixo com diferentes seções transversais xii momento em cada trecho 0 x 0 125 mm M1 0 75P1 0 50P2 0 25P3x 0 125 x 0 250 mm M2 0 75P1 0 50P2 0 25P3x x 0 125P1 0 250 x 0 370 mm M3 0 75P1 0 50P2 0 25P3x x 0 125P1 x 0 250P2 0 370 x 0 500 mm M4 0 75P1 0 50P2 0 25P3x x 0 125P1 x 0 250P2 x 0 375P3 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 84 100 Eixo com diferentes seções transversais xiii derivada dos momentos com relação a P1 M1 P1 0 75x M2 P1 0 125 0 250x M3 P1 0 125 0 250x M4 P1 0 125 0 250x Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 85 100 xiv deflexdo dp 0125 0250 M M 0375 M2 AM 0500 Ma OM OP ope f ope f a ope at dx 0 Eh OP 0125 El OP 0250 El OP 0375 Eb OP PCC CSM Ss Vibracdes MecanicasIIsii CO 86100 0125 0250 3 3Pi1 Po P Pr P2 P 3 P2 Pr P 2 P Ger ete oa a e BB a Ot a Eh Eh 0 0125 0375 Py Pp P 3 Pz Pp P 2 Pi P H 8 OaBB P AB x se Eh 0250 0500 4 XPi 2 Po 3 Ps 4x 6x 3 192 E Ip 0375 PCC RCC CSM Ss Vibracdes MecanicasI1 si 87100 Eixo com diferentes seções transversais Substituindo os valores de P1 P2 P3 E I1 e I2 temse δP1 2 9714 105 1 0759 104 4 3453 106 6 5536 107 δP1 1 4231 104 m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 88 100 Eixo com diferentes seções transversais xv derivada dos momentos com relação a P2 M1 P2 0 5x M2 P2 0 5x M3 P2 0 25 0 5x M4 P2 0 25 0 5x Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 89 100 xvi deflexdo dp 0125 0250 M M 0375 M2 AM 0500 Ma OM OP ope f a ope A ope at dx 0 Eh OP 0125 El OP 0250 El OP 0375 Eb OP PTC RCC CUSIMMM Ss Vibracdes MecanicasIPsiiti OW 90 100 0125 0250 5 S58 beat a BF Pe El El 0 0125 0375 Pr Po P 3 Pz P2 Pi 2 Pr P ae Bm oB Bm Ot B El 0250 0500 4 x P 2P3P3 4x 6x 3 96 E Ih 0375 PMNS Vibracées Mecanicas 1 sstsSsSsSsSS gt 200 Eixo com diferentes seções transversais Substituindo os valores de P1 P2 P3 E I1 e I2 temse δP2 1 9809 105 1 3673 104 8 6907 106 1 3107 106 δP2 1 6654 104 m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 92 100 Eixo com diferentes seções transversais xvii derivada dos momentos com relação a P3 M1 P3 0 25x M2 P3 0 25x M3 P3 0 25x M4 P3 0 375 0 75x Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 93 100 xviii deflexdo dp 0125 0250 M M 0375 M2 AM 0500 Ma OM OP ope f a apex f a ope at dx o Eh OP3 0125 Eh OP3 0250 El OP3 0375 Eh OP3 PCCM Ss Vibracdes MecanicasIPsissiit 9 100 0125 0250 a e BB 8 82 Ps El Eh 0 0125 0375 3 Pi PoP 2 Pr Po lb t 8 Eb 0250 0500 4 x P 2 P3P3 4x 6x 3 64 E p 0375 PPS VibracSes Mecanicas tiiésSCS 100 Eixo com diferentes seções transversais Substituindo os valores de P1 P2 P3 E I1 e I2 temse δP3 99045 106 6 8363 105 6 8699 106 1 9661 106 δP3 8 7104 105 m Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 96 100 xix rotacdo critica Usando a férmula de Rayleigh encontrase a rotacdo critica do eixo considerando a massa do eixo he 30 Pidp Podp P3dp rt 2 Pyd3 Podd P3d2 N 95 x 14231 x 104 441 4 x 16654 x 10 378 x 87104 x 10 D 95 x 14231 x 1074 441 4 x 16654 x 104 378 x 8 7104 x 10 Non e e crit T ED Assim Nerit 2343 8 rpm PCC RCC CUSIMMM Ss Vibracdes MecanicasIPsisCO 9 100 Eixo com diferentes seções transversais xx Desvio percentual Determinase o desvio percentual relativo entre a rotação crítica do sistema eixorotor não considerando a massa e considerando a massa do eixo Desvio nsm crit ncm crit nsm crit 100 2411 2 2343 8 2411 2 100 Desvio 2 8 Desvio nsm crit nenergia crit nsm crit 100 2411 2 2349 3 2411 2 100 Desvio 2 6 Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 98 100 Eixo com diferentes seções transversais A diferença percentual entre o cálculo da rotação crítica considerando a massa do eixo pela energia cinética e pelas cargas pontuais é Desvio ncm crit nenergia crit ncm crit 100 2343 8 2349 3 2343 8 100 Desvio 0 23 Notase que os desvios percentuais são muito pequeno No caso de considerar a massa do eixo a melhor estratégia é considerar a massa equivalente do eixo com a do rotor pela energia cinética Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 99 100 Bibliograa I Mabie H H and Ocvirk F W 1980 Mechanisms and Dynamic of Machinery John Wiley and Sons 3a edition Prof José Juliano de Lima Junior IEM Vibrações Mecânicas II 100 100