Slide - a Transformada de Laplace - 2023-1

A transformada de Laplace Definic¸˜ao Dizemos que uma func¸˜ao ´e cont´ınua por partes num intervalo [α, β] se existirem n´umero finito de pontos α = to < t1 < . . . < tn = β, tais que f seja cont´ınua em cada um dos subintervalos (ti−1, ti) e f tenda a um valor finito quando t tende a cada uma das extremidades destes subintervalos. Figura: Exemplo de uma func¸˜ao cont´ınua por partes. Toda fun¢do continua em [a, 3], é continua por partes neste inter- valo. Se f for continua por partes em [a, 6], entao B M1 tig | f(t)dt = > | f(t)dt. o k=0" fi Se f for continua por partes em [a, 6], para todo 8 > a, dizemos que f é continua por partes em [a, oo). Defini¢ao Dada uma fun¢do continua por partes em [0,00), tal que existam constantes a,K,M reais com K,M > 0, tais |f(t)| < Ke*', para todo t > M, definimos a sua transformada de Laplace, F(s), como CO F(s) = | et F(t) dt, 0 a qual esta bem definida para todo s > a. Lembrando que oo A | e*F(t)dt = lim | oF (t) dt. 0 Aco Jo Também usamos a nota¢ao L(f)(s) = F(s). Por causa da linearidade da integral, entao a transformada de La- place é linear, ou seja, e L(cf)(s) = cL(F)(s) e@ L(af + bg)(s) = al(f)(s) + bL(g)(s) = aF(s) + bG(s). A seguir calcularemos as transformadas de Laplace de algumas funcoes. lo) A est A L(1)(s) = | edt = lim | etd = lim |-£—| =1/s 0 Aco J/0 A-+00 Ss 0 valida para todo s > 0. (Propriedade do deslocamento) Lle*F(t))(s) = | ete (dt = F(s—b), s>b 0 Em particular, fazendo f(t) = 1, temos L(et)(s) = ——,s>b s—b’ : A relacao acima vale também se b for complexo, neste caso, devemos ter s > Re(b). Usando a linearidade e fazendo b = ja e b = —ia, temos iat —iat L(cos(at))(s) = L (“") (s) = 1/2L (e') (s) + 1/2£ (e“**) (s) = 1/2 (= + =a) sS—la s+ la s ~ ype 87 Portanto, s L(cos(at))(s) = ae? s>0. Mostre que ; a L(sin(at))(s) = S24 a2’ s>0. oo A L(t)(s) = | e *tdt = lim | e tdt 0 A-oo JO _ : _ _ 2) ,—st A _ 2 = sim, ( t/s—1/s“)e lo = 1/s*. Note que se passarmos a derivada para dentro da integral, temos L(t"F(t))(s) = (-1)" i. e-**F(t)dt = (—1)" 7 _F(s), s > 0 — ds” Jo — ds” , : Em particular, fazendo f (t) = 1, temos que L(tn)(s) = (−1)n dn dsn s−1 = (−1)nn!(−1)ns−(n+1), s > 0. Portanto, L(tn)(s) = n! sn+1 , s > 0. E da propriedade do deslocamento, temos L(eattn)(s) = n! (s − a)n+1 , s > a. Exemplo Usando a linearidade, temos L(3 + 1/2 cos t − t)(s) = 3L(1)(s) + 1/2L(cos t)(s) − L(t)(s) = 3 s + 1 2 s s2 + 1 − 1 s2 . Exemplo Usando a linearidade, temos L(sinh(bt))(s) = L(ebt/2 − e−bt/2)(s) = 1/2L(ebt) − 1/2L(e−bt)(s) = 1/2 1 s − b − 1/2 1 s + b = b s2 − b2 , s > |b| Exerc´ıcio Mostre que L(cosh(bt))(s) = s s2 − b2 , s > |b| Do exercicio acima e da propriedade do deslocamento, temos L(e* cosh(bt))(s) = — 9 ssa (s — a)? — b?’ Dado c > 0, fazendo a mudanga de variaveis ct = u, temos st 1 pe —(s/c)u L(f(ct))(s) = e *f(ct)dt = < e f(u)du 0 0 1 = —F . = F(s/c) Ou seja, se c > 0, entdo 1 L(f(ct))(s) = < F(s/c). Solucao de problemas de valores iniciais Teorema Suponha que f seja continua e f’ seja continua por partes em [0, co), que existam constantes reais a,K,M onde K,M > 0, tais que |f(t)| < Ke**, para t > M, entao para todo s > a, temos L(f’)(s) = sF(s)— (0). Prova. Por definic¢do, A L(F")(s) = lim | ef" t) dt. A-oo JQ Como f’ é continua por partes em [0, 00), para cada A > 0 existem 0O=t. < tt <... < t, =A, tais que f’ seja continua em cada intervalo (tj-1, t)), para =1,...,n. Logo A n tj | et f(t) dt _ > | e-S*f!(t)dt 0 jai? ti-1 n ti _ Y (leona ss | e-*F(t)dt i=1 ti-1 n n ti = Sole FF (tis +s) / e “Ff (t)dt i=1 j=1 7 ti-1 A = -F(0) + F(Ale +5 | ef (t)dt. 0 Na segunda igualdade usamos integracdo por partes. A Ultima expressdo converge para —f(0) + sF(s), pois como |f(A)e~| < Ke—(s-a)A_ entdo f(A)e—*4 tende a zero quando A tende a infinito, ses>a. C] Corol´ario Suponha que f , f ′ sejam cont´ınuas e f ′′ seja cont´ınua por partes em [0, ∞), que existam constantes reais a, K, M onde K, M > 0, tais que |f (t)|, |f ′(t)| ≤ Keat, para t ≥ M, ent˜ao para todo s > a, temos L(f ′′)(s) = s2F(s) − sf (0) − f ′(0). . De fato, aplicando-se o Teorema acima duas vezes, temos L(f ′′)(s) = sL(f ′)(s) − f ′(0) = s(sF(s) − f (0)) − f ′(0) = s2F(s) − sf (0) − f ′(0). A seguir veremos como usar o resultado acima para resolver uma equac¸˜ao linear de segunda ordem onde equac¸˜ao homogˆenea tem coeficientes constantes. Dado o PVI ay′′ + by′ + cy = g(t), y(0) = yo, y′(0) = y′ o, tomando a transformada de Laplace da equac¸˜ao, temos L(ay′′ + by′ + cy) = L(g). Usando a linearidade da transformada de Laplace, temos aL(y′′) + bL(y′) + cL(y) = L(g). Usando as express˜oes para as transformadas de Laplace de y′′ e y′, temos a(s2Y (s) − sy(0) − y′(0)) + b(sY (s) − y(0)) + cY (s) = G(s), portanto, (as? + bs +c) Y(s) = (as + b)y(0) + ay’(0) + G(s), ou seja, a transforma de Laplace da solucdo é (as + b)y(0) + ay’(0) G(s) Y(s) = ————[00O0oO--“—«O4EOS—™E_T (s) as? + bs +c + 3s? + bs tc Para encontramos y(t) temos que encontrar a fun¢do cuja transfor- mada seja Y(s). Isto nos leva ao conceito de transformada inversa de Laplace, LO (F)(t) = f(t). Por exemplo, vimos que L(cos(at))(s) = zzz, logo, -1 Ss _ L (<3) (t) = cos(at). Como L ´e linear a sua inversa, L−1, tamb´em ´e linear, ou seja, se F e G s˜ao as transformadas de Laplace de f e g, ent˜ao L−1(cF)(t) = cL−1(F)(t) = cf (t), para qualquer constante c. L−1(c1F + c2G)(t) = c1L−1(F)(t) + c2L−1(G)(t) = c1f (t) + c2g(t), para quaisquer constantes c1 e c2. Por exemplo, co (2/s - 354) (t) = 2c71(1/s)(t) — 3£-4(1/(s? + 1))(t) = 2x1-3sint. Voltemos ao problema de valor incial. y"+y =0,y(0) =2,y/(0) =1. Solucao. Tomando a transformada de Laplace, temos s*Y(s)—y(0)s—y'(0)+Y(s) =0 <— > s?Y(s)—2s—1+Y(s) = 0. 08°: Qs+1 1 Y()= 355 22 ta Tomando a transformada inversa de Laplace, encontramos y(t) = 2 cos t + sin t. Exemplo Resolva o PVI abaixo. y′′′′ − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0. Solu¸c˜ao. Usando o teorema e as condic¸˜oes inciais, encontramos que L(y′′′′)(s) = s4Y (s)−s3y(0)−s2y′(0)−sy′′(0)−y′′′(0) = s4Y (s)−s2. Portanto s4Y (s) − s2 − Y (s) = 0. Ou seja, Y (s) = s2 s4 − 1 = s2 (s2 − 1)(s2 + 1) = As + B s2 − 1 + Cs + D s2 + 1 . Na ´ultima passagem usamos decomposic¸˜ao em frac¸˜oes parciais. En- contramos A = 0, B = 1/2, C = 0 e D = 1/2. Logo Y (s) = (1/2) 1/(s2 − 1) + (1/2) 1/(s2 + 1). Tomando a transformada inversa de Laplace, encontramos y(t) = (1/2) sinh(t) + (1/2) sin t. A funcao degrau Uma fun¢cdo muito importante na representacao de funcdes continuas por partes é a funcado degrau unitario ou fun¢cao Heaviside, uc, definida como u-(t) = 0, set<c or) 1, set>c - ¥ 1 —_—_—_—_ I c t Figura: A funcdo u-(t). Note que CO Lluc)(s) = | edt = lim [-e-*t/s]4 c A oo es = jim [e*/s —e A/s] = Ts > 0. Portanto, es L(uc)(s) = 3. s>0. Se 0< cy <a@ek é uma constante, seja < “=| k, seaq< t< 0, caso contrario Ent˜ao, em termos da func¸˜ao degrau, temos f (t) = k[uc1(t) − uc2(t)]. Figura: A func¸˜ao uπ(t) − u2π(t). Seja f(t), definida para t > 0. Defina a(t) = t_ c), Se roe * Em termos da funcdo degrau temos g(t) = f(t — c)u-(t). Figura: Os graficos de f(t) de u-(t)f(t _ c). Co L(uc(t)F(t —c))(s) = | et F(t — c)dt . co = ee | e “Ff(u)du (u=t—c) 0 = e “F(s). Portanto, o> «> «=> «B>)6 6B HQ Seja f(t) periddica de periodo T. Entdo F(s) = | F(t) dt 0 oo (n+1)T = >| e *F(t)dt n—0 nT CO pT = >| e SYt"T) Fy + nT)du (u=t—nT) n=0 °9 oo T = S> eort | e “Ff(u)du (f(u+nT) = f(u)) n=0 0 oo T = (> oor) | e “F(u)du n=0 0 1 rT —SU = [T-eosT [ e f(u)du, s>0. Portanto, «<O> «<> «<B> «E> = DAQAQ