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Engenharia Química ·
Eletromagnetismo
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Uma esfera sólida não condutora possui carga -Q uniformemente distribuída. Supõe-se que ela tem raio \"A\" e V=0 no infinito, calcule o potencial elétrico em toda as pontos do espaço.\n\n• Campo Elétrico por cada ponto no espaço:\na) Para r > R\n∮ E . ds = Q_int / _{0}\nE_a = 1 / (4π _{0}) * q / r²\ng = -Q\nE_a = -1 / (4π _{0}) * Q * e_r/r²\n\nb) Para r < R \"Gaussiana Interna\"\n∮ E . ds = Q_int\nE_b = 4 \u200b(1 / 4π _{0}) * g / R³\nQ = -Q e R = A\nE_b = -1 / (4π _{0}) * g / R³ * e_r\n\n• Cálculo do potencial:\na) V(r) = -∫ E(r) . dl = ∫ 1 / (4π _{0}) * q / r² dr = -1 / (4πε₀) * q / r\n\nR = A -> V(a) = (r = A -> q = -Q)\n\nb) V(b)(r) = -∫ E(r) . dl = \n= - ∫_{0}^{R} \n∫[1 / (4\pi _{0}) * g / R²] dr\n= -V(b) = -∫\n= 1 / (4πε₀)\n Ok: Para um ponto na superfície da esfera (r = R)\n\nc) V(R) = 1 / (4πε₀) * q / r -> R = A -> V_c = -1 / (4πε) * Q / A\n\nDessa forma, os potenciais em todos os pontos do espaço são:\na) r > R (Fora da esfera)\nV_a = -1 / (4π _{0}) * Q / r\n\nb) r < R (Dentro da esfera)\nV_b = -3 / 2 * (1 / (4πε₀)) * Q / A + 1 / (8 _{0}) * Q * (r² / A³)\n\nc) r = R (Na superfície da esfera)\nV_c = - 1 / (4πε₀) * Q / A Uma esfera sólida condutora possui carga total +Q. Supõe-se que ela tem raio 5 cm e V=10 volts no infinito, calcule o potencial elétrico em todos os pontos da superfície.\n\n* Q com toda a força elétrica de uma esfera condutora eletricamente insiro em um regime dos equilíbrio eletrostático. Assim todos os pontos na interior da esfera têm a mesma potencial elétrica. Por isso, se o potencial em um ponto externo da esfera é igual ao potencial na superfície da esfera.\n\n* Campo Elétrico:\na) Portanto, para r < R\nE_r = 0\n\nb) Para r > R\n∮ E \u200b\u200b. ds = q / _{0}\nE_r = 1 / (4π _{0}) * q / r²\nq = +Q\n\n• Potencial Elétrico:\na) V_a = V_s = V_na superfície da esfera = Vc\nV_a = 1 / (4π _{0}) * q / R\nR = 5 cm\n\nb) V_b = -∫E(r) . dl = -∫(1 / 4π _{0}) * q / r² dr\nV_b = 1 / (4π _{0}) * q / r + C\npara r -> ∞ : V = 10V\nV_∞ = 1 / (4π _{0}) * q / R + 10\nq = +Q\nR = 5 cm\n\nV_c = 1 / (20π _{0}) * Q Uma gota esférica de mercúrio de raio \"α\" tem uma capacitância C = 4πE₀α. Se cinco outras gotas se combinam para formar uma única gota maior, qual será sua capacitância?\nC = 4πE₀α → 1 gota\nr = α\n\nVₐgota = 4/3 πr³ = 4/3 πα³\nVₛgota = 5 (4/3 πα³) = -20/3 πα³\n\nVₛgota = 4/3 πR³ = -20/3 πα³\n\n(4/7) R³ = -20/3 α³\nR³ = 5α³\n\nR = 3/5 α\n\nNova gota. A única gota terá:\nC = 4πE₀R\nC = 4πE₀(3/5)α\n\nCapacitância da gota maior Por razões técnicas, um engenheiro precisa calcular a exponencial da capacitância de um capacitor cilíndrico. Supondo que se tem a altura L (1/β) onde L é o raio externo e β o raio interno, calcule e-C.\nE ∫dA = Qint/E₀\nE.2πE₀R.H = Q/E₀\nE = Q/(2πE₀RH)\n\nV = ∫[-Vₗ - Vb] = ∫(L/(2πE₀H))\n\nV = Q/(2πE₀H)\nC = Q/V = α/(2πE₀H)\n\nC = 2πE₀H ln(L/β)\n\n e-C = e^(-2πE₀)\nL = 2πE₀
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Uma esfera sólida não condutora possui carga -Q uniformemente distribuída. Supõe-se que ela tem raio \"A\" e V=0 no infinito, calcule o potencial elétrico em toda as pontos do espaço.\n\n• Campo Elétrico por cada ponto no espaço:\na) Para r > R\n∮ E . ds = Q_int / _{0}\nE_a = 1 / (4π _{0}) * q / r²\ng = -Q\nE_a = -1 / (4π _{0}) * Q * e_r/r²\n\nb) Para r < R \"Gaussiana Interna\"\n∮ E . ds = Q_int\nE_b = 4 \u200b(1 / 4π _{0}) * g / R³\nQ = -Q e R = A\nE_b = -1 / (4π _{0}) * g / R³ * e_r\n\n• Cálculo do potencial:\na) V(r) = -∫ E(r) . dl = ∫ 1 / (4π _{0}) * q / r² dr = -1 / (4πε₀) * q / r\n\nR = A -> V(a) = (r = A -> q = -Q)\n\nb) V(b)(r) = -∫ E(r) . dl = \n= - ∫_{0}^{R} \n∫[1 / (4\pi _{0}) * g / R²] dr\n= -V(b) = -∫\n= 1 / (4πε₀)\n Ok: Para um ponto na superfície da esfera (r = R)\n\nc) V(R) = 1 / (4πε₀) * q / r -> R = A -> V_c = -1 / (4πε) * Q / A\n\nDessa forma, os potenciais em todos os pontos do espaço são:\na) r > R (Fora da esfera)\nV_a = -1 / (4π _{0}) * Q / r\n\nb) r < R (Dentro da esfera)\nV_b = -3 / 2 * (1 / (4πε₀)) * Q / A + 1 / (8 _{0}) * Q * (r² / A³)\n\nc) r = R (Na superfície da esfera)\nV_c = - 1 / (4πε₀) * Q / A Uma esfera sólida condutora possui carga total +Q. Supõe-se que ela tem raio 5 cm e V=10 volts no infinito, calcule o potencial elétrico em todos os pontos da superfície.\n\n* Q com toda a força elétrica de uma esfera condutora eletricamente insiro em um regime dos equilíbrio eletrostático. Assim todos os pontos na interior da esfera têm a mesma potencial elétrica. Por isso, se o potencial em um ponto externo da esfera é igual ao potencial na superfície da esfera.\n\n* Campo Elétrico:\na) Portanto, para r < R\nE_r = 0\n\nb) Para r > R\n∮ E \u200b\u200b. ds = q / _{0}\nE_r = 1 / (4π _{0}) * q / r²\nq = +Q\n\n• Potencial Elétrico:\na) V_a = V_s = V_na superfície da esfera = Vc\nV_a = 1 / (4π _{0}) * q / R\nR = 5 cm\n\nb) V_b = -∫E(r) . dl = -∫(1 / 4π _{0}) * q / r² dr\nV_b = 1 / (4π _{0}) * q / r + C\npara r -> ∞ : V = 10V\nV_∞ = 1 / (4π _{0}) * q / R + 10\nq = +Q\nR = 5 cm\n\nV_c = 1 / (20π _{0}) * Q Uma gota esférica de mercúrio de raio \"α\" tem uma capacitância C = 4πE₀α. Se cinco outras gotas se combinam para formar uma única gota maior, qual será sua capacitância?\nC = 4πE₀α → 1 gota\nr = α\n\nVₐgota = 4/3 πr³ = 4/3 πα³\nVₛgota = 5 (4/3 πα³) = -20/3 πα³\n\nVₛgota = 4/3 πR³ = -20/3 πα³\n\n(4/7) R³ = -20/3 α³\nR³ = 5α³\n\nR = 3/5 α\n\nNova gota. A única gota terá:\nC = 4πE₀R\nC = 4πE₀(3/5)α\n\nCapacitância da gota maior Por razões técnicas, um engenheiro precisa calcular a exponencial da capacitância de um capacitor cilíndrico. Supondo que se tem a altura L (1/β) onde L é o raio externo e β o raio interno, calcule e-C.\nE ∫dA = Qint/E₀\nE.2πE₀R.H = Q/E₀\nE = Q/(2πE₀RH)\n\nV = ∫[-Vₗ - Vb] = ∫(L/(2πE₀H))\n\nV = Q/(2πE₀H)\nC = Q/V = α/(2πE₀H)\n\nC = 2πE₀H ln(L/β)\n\n e-C = e^(-2πE₀)\nL = 2πE₀