P2 - Cálculo 2 2021 2

b) a) E_m = 7,499 m^-0,34 - \frac{2,625 \, m^-0,25}{v} - E_m(100,8) = 0,220011592 \cdot 0,003330094 + 0,30145 E_v = \frac{2,625 m^0,75}{v^2} - \frac{3,5 m^0,75}{v^2} E_v(400,8) = -41,09139 b) \frac{\partial^2 E}{\partial m^2} = -0,59466 m^{-1,34} - \frac{0,65625 \, m^{-1,25}}{v} \frac{\partial^2 E}{\partial m \partial v} = -\frac{2,625 \, m^{-0,25}}{v^2} - \frac{\partial^2 E}{\partial m^2} - \frac{\partial^2 E}{\partial m \partial v} = -0,59466 m^{-1,34} - \frac{0,55625 \, m^{-1,25}}{v} + \frac{2,625 \, m^{-0,25}}{v^2} a) os cortes paralelos ao plano xy são circunferências b) \int \!\int_{0}^{1}[2 - x^2 - y^2]dxdy = \int_{0}^{1}[2x - \frac{x^3}{3} - 0] dx 1) a) \vec{AB} = (-4, 2, 4) \vec{BC} = (2, 1, -2) \rightarrow P = S(-4, 2, 4) + t(2, 1, -2) \mid (0, 4, 2) \quad tg \ \, se \ t \in \mathbb{R}. b) \vec{2\vec{AB} - 3\vec{AC}}; \quad 2(-4, 2, 4) - 3(2, 1, -2) = (-14, 1, 14) \vec{BA} + 5\vec{CA} = (-4, 2, 4) + 5(-2, 1, 2) = (-6, -7, 6) (-2\vec{AB} - 3\vec{BC}) \times (\vec{BA} + 5\vec{CA}) \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -14 & 1 & 14 \\ -6 & -7 & 6 \end{vmatrix} = [104, 0, 104] - \{0\} + k[104] = (104, 0, 104) n: = \frac{\vec{AD}}{|ad|} = (-3, 4, 1) \frac{\vec{w}.n}{|n|^2} \cdot \hat{n} = \frac{104, 0, 104, -3, 4, 1)}{2, 126} \mathbf{w \/ unit} \mathbf{proj}_{\vec{w}, n} = \frac{1}{k}\begin{vmatrix}-3, 4, 1 \end{vmatrix} - \frac{-200}{126}(\frac{-3, 4, 1)}{|126\}) = 81(-3, 4, 1) \mathbf{(21, -32, -8)} 2) a) \int |a|dt = \vec{v}(1) - \vec{V}(0) = \int {t} \int [(-cos(t)(i) - \sin(t)(j) = (|-\sin(t)| * |d(|)\cos(t)|] j) - \int{|\vec{V}(t) - \vec{r}(0)} \rightarrow \vec{V}(t) = -\sin (t)i + (\cos(t)|j - 1|)j \int \vec{V}(t)dt = r(1) - \vec{r}(0)\rightarrow (-\cos(t)\cdot d[\sin(t))]||, j) - \mathbf{|V(0)| = \cos(t)(i) + \sin(t)|j + tK}\quad j\n b) \mathbf{|r|{t}\left(\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)\right)=1/j} DMAT/CCE/UFES - EARTE 2021/2 Segunda Avaliação - MAT05999 - T01/031L - Cálculo II Início: às 08:00 do dia 24/3/2022 - Término: às 23:59 do dia 26/3/22 Obs: Todas as respostas devem ser justificadas. 1. Sejam A(3, 0, 1), B(−1, 2, 5), C(5, 1, −1) e D(0, 4, 2) quatro pontos do espaço. Determine: (a) [1,5p] uma equação para o plano que passa pelo ponto D e é paralelo ao plano que passa pelos pontos A, B e C; (b) [1p] o vetor projeção de w = (2\vec{AB} - 3\vec{AC}) \times (\vec{BA} + 5\vec{CA}) sobre o vetor unitário n que tem a direção do vetor \vec{AD}. 2. Uma partícula se move no espaço com aceleração a(t) = -\cos(t)i - \sen(t)j \quad (t \geq 0) (a) [1,5p] Sabendo-se que sua velocidade inicial é v(0) = j + k e sua posição inicial é r(0) = i, determine os seus vetores velocidade e posição em qualquer instante t > 0. (b) [1p] Mostre que o ponto final do vetor posição r(t) dessa partícula está na superfície x^2 + y^2 = 1, para cada t \ge 0. Identifique e esboce essa superfície. 3. A energia média (em kcal) necessária para um lagarto andar ou correr a distância de 1 km foi modelada pela função E(m, v) = 2, 65 m^{0,66} + \frac{3, 5 m^{0,75}}{v} sendo m a massa do corpo do lagarto (em gramas) e v sua velocidade (em km/h). (a) [1p] Calcule as derivadas parciais E_m(400, 8) e E_v(400, 8) e interprete suas respostas. (b) [1p] Determine a expressão \frac{\partial^2 E}{\partial m^2} - \frac{\partial^2 E}{\partial m\partial v}. 4. Considere a função f(x, y) = 2 - x^2 - y^2 definida em todo (x, y) \in \mathbb{R}^2. (a) [1,5p] Utilize cortes para esboçar e identificar a superfície do gráfico de f. (b) [1,5p] Determine o volume do sólido que está acima do retângulo R = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 1\} e abaixo da superfície do gráfico de f. ∫ (2 - 1/3 - y² ) dy - [5/3 y - y³ /3 ] |0, = 5/3 - 1/3 = \boxed{\frac{4}{3} u.v