5-átomos Multieletrônicos

• estado de 2 FERMIÓNS : ΨE (1;2) = - ΨE (2;1) 1 √2 [ ψα(1) ψβ(2) - ψβ(1) ψα(2) ] E = Eα +Eβ Note que para férmions não podemos usar 2 estados α=β para compor uma função antissimétrica. Esse é o príncipio da exclusão de Pauli: "2 férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico" Como escrever estados para mais de 2 partículas? • 3 BÓSONS: existem 3 possibilidades: i) α=β=δ : Ψ(1,2,3) = Ψα(1) Ψα(2) Ψα(3) Eα α - onde temos duas partículas de massa m movendo-se em um potencial externo V(x), e interagindo entre si por meio do potencial U(x). ii) Escreva a E. S. com a substituição \( p_j \rightarrow -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_j} \quad x_j \rightarrow \hat{x_j} \quad (j=1,2) \) Ao fazer isso, já estamos admitindo que o objeto de nosso estudo será: \( \Psi(x_1, x_2, t) = \) função de onda total do sistema de 2 corpos \( i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = [\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + V(x_1) + \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + V(x_2) + U(x_1-x_2)] \Psi \) é a E. S. dependente do tempo que fornece a evolução temporal do \( \Psi(x_1,x_2,t) \). iii) Como interpretar \( \Psi(x_1,x_2,t) \)? Por analogia: \( \int_a^b \int_c^d |\Psi(x_1,x_2,t)|^2 \) é a probabilidade de encontrar a partícula 1 em [a,b] e a partícula 2 em [c,d]. (iv) O fato da MQ usar função de onda, e de que as partículas só se manifestam no momento da medida(ção) impõe uma condição sobre: \( \rho(x_1,x_2,t) = |\Psi(x_1,x_2,t)|^2 \), veja: • A prob. de encontrar 1 entre \( x \) e \( x + dx \): \( P = \int_{-\infty}^{\infty} dx_2 \rho(x,x_2) dx \) • A prob. de encontrar 2 entre \( x \) e \( x + dx \): \( P = \int_{-\infty}^{\infty} dx_1 \rho(x_1,x) dx \) No entanto, ao detectarmos uma partícula não temos como saber se se trata de 1 ou 2. Se as partículas são indistinguíveis, não poderíamos estar rotulando-as de 1 ou 2. De nossa teoria, vamos continuar rotulando as partículas mas impor que \( \rho \) seja SIMÉTRICO \( |\rho(x_1,x_2,t) = \rho(x_2,x_1,t) | \) pela troca \( x_1 \leftrightarrow x_2 \) Esse requisito impõe também condições para que uma Ψ(x1, x2, t) descreva um sistema de 2 partículas. POSTULADO DA SIMETRIZACÃO: partículas com s=1/2 (elétrons, prótons, nêutrons) são FERMIONS: Ψ(x1, x2, t) = -Ψ(x2, x1, t) função ANTI-SIMÉTRICA partículas com s=0, 1, 2,... (α, He, fótons) são BOSONS Ψ(x1, x2, t) = +Ψ(x2, x1, t) função SIMÉTRICA E ambos casos resultam um ρ(x1, x2, t) simétrico! Vamos começar resolvendo o problema simples de duas partículas NÃO INTERAGENTES em uma caixa infinita entre [0, a]: A E. S.: iħ ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m (∂²/∂x1² + ∂²/∂x2²) Ψ, com Ψ=0 fora da caixa Os estados de energia bem definidos são autofunções da E. S. independente do tempo: -ħ²/2m (∂²/∂x1² + ∂²/∂x2²) ΨE(x1, x2) = E ΨE(x1, x2), com ΨE=0 fora da caixa. Problemas sem interação são simples de resolver pois as soluções são separáveis: ΨE(x1, x2) = ψn(x1) ψm(x2), onde Em ψm(x) = -ħ²/2m d²/dx² ψm(x) e ψm(x) = √(2/a) sen(nπx/a), n=1,2,3,... com energia En = (ħ²/2ma²) n² De fato, ao substituir ΨE = ψn(x1)ψm(x2) na E.S., obtemos uma solução: (En+Em) ψn(1) ψm(2) = -ħ²/2m (∂²/∂x1² + ∂²/∂x2²) ψn(1) ψm(2) Resolvemos o problema? ΨE (x1, x2) E ψ1(1) ψ1(2) E1+E1 ψ1(1) ψ2(2) E1+E2 ψ2(1) ψ1(2) E2+E1 . . . NÃO! Só podemos aceitar funções simétricas ou anti-simétricas! Dados 2 estados da caixa n e m diferentes podemos obter um estado de E = En + Em combinando Ym(1) Yn(2) e Yn(1) Ym(2). Note: YC(1,2) = 1/sqrt(2) [Yn(1) Ym(2) + Ym(1) Yn(2)] (SIMÉTRICO) YA(1,2) = 1/sqrt(2) [Yn(1) Ym(2) - Ym(1) Yn(2)] (ANTI-SIMÉTRICO) Obs.1: Com dois estados iguais só temos combinação simétrica! YC(1,2) = Ym(1) Ym(2) E = 2Em Obs.2: As autofunções da partícula na caixa obedecem uma relação de ortogonalidade: ∫(-∞ to ∞) Ym*(x) Yn(x) dx = ∫(0 to a) sqrt(2/a) sin(nπx/a) sqrt(2/a) sin(mπx/a) dx = = δm,n Obs.3: Note a diferença: 1) Y = Ym(1) Yn(2) e n m o-----o partícula 2 o partícula 1 2) Y = Ym(1) e m o-----o partícula 1 n o-----o partícula 2 3) Y = 1/sqrt(2) [Yn(1) Ym(2) + Ym(2) Yn(1)] e m o-----o partícula 1 ou 2 n o-----o partícula 1 ou 2 * PRINCÍPIO DE EXCLUSÃO DE PAULI * Então se seu sistema tem níveis discretos de energia "Ea(i)" com energia Ea caracterizados pelo conjunto de números quânticos α (ex.: α=n,l,ml,ms) em geral podemos representar tais estados em um diagrama de energias α E • • Ea • Ea- INTERAGE o hamiltoniano de N partículas pode ser separado na soma dos hamiltonianos de cada uma delas: EF HN = h(i) + h(2) + ... autoestados sua solução para YEN total pode ser separada: YEN(r1,v2,...) = Yα(1) Yβ(2) Yγ(3) ... Mas esta não é a resposta, dada restrição pela indistingüibilidade das partículas: * estado de 2 BOSONS: YE(1,2) = +YE(2,1) 1/sqrt(2) YE(1) YE(2) ou [YE(1) YE(2) + YE(1) YE(2)] E = 2Ea E = Ea + Eb