Álgebra Linear - Coordenadas

A coordenadas u e na lista β\ne satisfazem que:\n\n(μ, β) = {[ a_1, a_2, ..., a_m] ∈ β = { b_1, ..., b_m} }\n\n\n\nExemplos: \nμ = (2, 3) ; β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} ; As coordenadas de u em relação β são dadas por:\n\nu = (2, 3) = 2(1, 0, 1) + 3(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)\n\n=\n= (2, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 3)\n\n=(2, 3)\n\nμ = {[ u_β ]}\n= [2/3]\n\n [2/3] Se β é a base do R^3 e u ∈ R^3, então só existe uma combinação linear dos vetores de β que gera o vetor u\n\n2 vetores distintos NUNCA serão lineares na mesma linha\n\nExemplo:\nμ y = (4,1,3)\n\ny = {(2,0,1), (1,3,0), (9,4,1)}\n\nComo guardamos u ? (X,Y,Z)\n\n(X,Y,Z) = (4, 2, 0, 1) + (1, 3, 0) + 3(0, 1, 1)\n\n= (8, 0, 4) + (1, 3, 0) + (0, 3, 3)\n\n(X,Y,Z) = (0, 6, 7)\n\nExercício de Fixação\n\nNo espaço vetorial R^3 consideraremos a seguinte base:\nβ = {(4,0,0), (1,0,0), (1,-1,0)}. Se v ∈ R^4, determinar as coordenadas de v em relação à base β: \nv = (2,-3,4) → (2,-3,4) = 0(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,-1,1)\n\n0 = a + c ⇒ 2 = a + u\n0 = -2 ⇒ -3 = b - 4 ⇒ b = 1\n\nv_β = [2/1]\n= 2\n\n(3,5,6)\n(3,5,6) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,-1,1)\n\n3 = a + e ⇒ a = 3\n5 = -b - e ⇒ b = 11\n6 = c\n\nv_β = [-3/11/6] No espaço vetorial de R^3, consideraremos a seguinte base β = {(1,0,0), (0,1,0), (1,-1,1)}.\nDeterminar as coordenadas de v ∈ R^3 em relação à base β se:\n\na) v = (2,-3,4)\n\nb) v = (3,5,6)\n\nc) v = (1,-1,1) Passo 1\nLetra a)\nVamos fazer a CL com os vetores da base:\n(2,-3,4) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,-1,1) ⇒\n{ 2 = a + c → 2 = a + 4 → a = -2\n-3 = b - c → 3 = b - 4 → b = 1\n4 = c\n[v]β =\n[-2]\n[ 1]\n[ 4] Letra b)\n(3,5,6) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,-1,1) ⇒\n{ 3 = a + c → a = -3\n5 = b - c → b = 11\n6 = c\n[v]β =\n[-3]\n[11]\n[ 6]\nLetra c)\nComo (1,-1,1) é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base β serão:\n[v]β =\n[ 0]\n[ 0]\n[ 1] Resposta\na) [v]β =\n[-2]\n[ 1]\n[ 4]\nb) [v]β =\n[-3]\n[11]\n[ 6]\nc) [v]β =\n[ 0]\n[ 1] O conjunto β = {(2,−1), (−3,2)} é uma base do R². Escreva o vetor genérico do R² como combinação linear de β.\n\nResposta A\n\nPasso 1\n\nCaramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do R²??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor (x,y), x,y ∈ R. Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear\n\n(x,y) = a(2,−1) + b(−3,2) → Pô mas esses resultados deram em função de x, y! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que x, y seriam coordenadas de um vetor qualquer. Em um vetor qualquer teríamos que achar a, b em função de suas coordenadas, não é mesmo?\n\nAssim, as coordenadas do vetor genérico são:\n\n[(x,y)]_β = [2x + 3y]\n [x + 2y]\n\nResposta\n\n[(x,y)]_β = [2x + 3y]\n [x + 2y] d) Encontre uma base β da R² tal que [ (2,1) ]_β = 0. ?\n\ne) É possível encontrar uma segunda base β' ≠ β tal que [ (2,1) ]_β' = 0? ?\n\n@(1)\n(2,1) _β = 0 → \n\n(2,1) = 0.v₁ + 1(v₂)\nv₁ (0,a₁ + b₁)\nv₁ (2,1)\nv₂ = (3,1)\n\n(2,1) = 0(a₁,b₁) + (0,a₂,b₂)\n\n(2,1) = 0.2 → \n\nβ = {(1,0),(2,1)}\nb) V₁ dá para qualquer vetor\ntá? mutação do (2,1)\n\nv₁ = 3/(2,1) Seja \\( \\beta = \\{ u, v, w \\} \\) uma base do \\( \\mathbb{R}^3 \\). Mostre que se \\( u', v', w' \\in \\mathbb{R}^3 \\) são tais que\n\\[\n[u]_{\\beta} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad [v]_{\\beta} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad [w]_{\\beta} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix},\n\\]\nentão \\( \\{ u', v', w' \\} \\) é uma base de \\( \\mathbb{R}^3 \\).