Lista-2 pdf

Lista 2 1. Esboçe as seguintes curvas e determine as suas equações cartesianas: (a) ⃗σ(t) = (−1 + t2, 2 − t2), t ∈ R; (b) ⃗σ(t) = (cos2 t, sin2), t ∈ R; (c) ⃗σ(t) = (3 cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2π]; (d) ⃗σ(t) = (sec t, 2 tan t), t ∈ (−π/2, π/2). 2. Dê uma parametrização para as seguintes curvas: (a) a reta x−1 2 = y+1 3 = z−1 2 . (b) o ramo da hiperbole x2 a2 − y2 b2 = 1, x ≥ a. 3. Mostre que, se ⃗σ(t), t ∈ I, é a parametrição de uma reta, então ⃗σ′′(t) é paralelo a ⃗σ(t) para todo t ∈ I. 4. Seja ⃗σ(t) uma função vetorial diferenciável num intervalo aberto I. Prove que, se ∥⃗σ′(t)∥ é constante, então ⃗σ(t) e ⃗σ′(t) são ortogonais, para todo t ∈ I. 5. Seja C a curva plana parametrizada por ˜σ(t) = (2 cos t, 1+2 sin t). Determine a equação da reta tangente à curva no ponto ( √ 3, 2). 6. Considere a hélice denida por ⃗σ(θ) = (a cos θ, a sin θ, bθ), θ ∈ R. Determine a reta tangente à hélice no ponto P = ⃗σ(π/2). Mostre que o ângulo que o vetor tangente faz com o eixo z é constante, isto é, é o mesmo para todo θ. Determine este ângulo. 7. Nos itens abaixo, considere ⃗σ(t) como sendo a posição de uma partícula no instante t. Determine em cada caso o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar no instante t0 indicado: (a) ⃗σ(t) = (1, t − 1, t2 + 1), t0 = 2; (b) ⃗σ(t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t), t0 = π/8. 8. (Lançamento oblíquo) Descreva a posição ⃗σ(t) = x(t) i + y(t) j de um projétil após um lançamento obliquo, onde o ângulo com a horizotal é de 60◦ e a velocidade inicial é de v0 metros por segundo. Apresente a equação cartesiana da trajetória dessa partícula até ela atingir o solo. 1 9. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, sendo que suas posições são determinadas respectivamente por ⃗σ1(t) = (10t, 50t2) e ⃗σ2(t) = (7t, 70t−50), t ≥ 0. Sabemos que as estradas se cruzam em um ponto P e que neste ponto existe um posto de scalização de velocidades. Determine as coordenadas deste ponto P. Qual dos dois carros chega primeiro a este ponto? Se o limite de velocidade é 80 km/h, algum dos carros será multado? 10. Uma curva tem equação cartesiana y2 = x3. Encontre o comprimento da curva do ponto (1, −1) ao ponto (1, 1). 11. Nos casos abaixo, considere ⃗σ(t) a posição de uma partícula. Calcule a distância percor- rida pela partícula no intervalo de tempo indicado: (a) ⃗σ(t) = (t, 3t2, 6t3), 0 ≤ t ≤ 2; (b) ⃗σ(t) = (sin t, t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π. 12. Considere uma partícula se movendo ao longo da curva denida por ⃗σ(t) = (t−sin t, 1− cos t), t ∈ [0, 2π]. Determine a velocidade (escalar) máxima atingida pela partícula e o instante em que ela ocorre. Calcule a distância percorrida pela partícula. 13. Suponha que ⃗σ : I ⊂ R → R3 é uma função vetorial diferenciável que descreve a posição de uma partícula num intervalo de tempo. Suponha que ⃗σ′′(t) é paralelo a ⃗σ′(t), para todo t ∈ I. Podemos armar que esse movimento é retilíneo? Justique. 14. Suponha que ⃗σ(t) = R cos(θ(t)) i + R sen(θ(t)) j, t ∈ I, é a posição de uma partícula que realiza um movimento circular, sendo ⃗σ′(t) ̸= ⃗0, para todo t ∈ I. Descreva o vetor tangente unitário e o vetor normal principal à curva. Descreva as componentes tangencial e normal do vetor aceleração, em função da velocidade escalar v(t) = ∥⃗σ′(t)∥. 15. Nos itens abaixo, ⃗σ(t) representa a função posição de uma partícula. Determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração. (a) ⃗σ(t) = cos t i + sent j + t k. (b) ⃗σ(t) = t i + t2 j + 3t k 16. Considere 2