Séries de Fourier - Puc-minas

INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES DE FOURIER\n\nFABIANO J. SANTOS\n\nJULHO DE 2004\n Sumário\n\nLista de Figuras\n\n1 Funções Periódicas e Séries de Fourier\n1.1 Funções Periódicas ............................. 1\n1.1.1 Problemas Propostos .......................... 5\n1.2 Relações de Ortogonalidade ...................... 6\n1.2.1 Problemas Propostos .......................... 7\n1.3 Séries de Fourier ................................. 7\n1.3.1 Determinação dos Coeficientes de Fourier .... 8\n1.3.2 Exemplos de Séries de Fourier ............... 10\n1.3.3 Problemas Propostos .......................... 14\n1.4 O Teorema de Fourier* .......................... 16\n1.5 Simetria ondulatória ............................ 18\n1.5.1 Propriedades das funções pares e ímpares .... 19\n1.5.2 Séries de Fourier de funções pares e ímpares . 22\n1.5.3 Problemas Propostos .......................... 25\n1.6 Expansões periódicas ............................. 26\n1.6.1 Expansões em meio período ..................... 28\n1.6.2 Problemas Propostos .......................... 30\n\n2 Séries de Fourier Complexa e Espectros Discretos\n2.1 Série de Fourier Complexa ........................ 33\n2.1.1 Interpretação Matemática da Série de Fourier . 36\n2.1.2 Interpretação Conceitual da Série de Fourier .. 36\n2.1.3 Problemas Propostos .......................... 39\n2.2 Números Complexos - Formas de Representação ... 41\n2.2.1 Problemas Propostos .......................... 44\n2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase ............. 45\n2.3.1 Comentários sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases ...... 46\n 2.3.2 Problemas Propostos .......................... 51\n\nFormulário .......................................... 53\n\nReferências Bibliográficas ......................... 54\n Lista de Figuras\n\n1.1 Uma função periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1\n1.2 Período e período fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2\n1.3 Senóides: e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3\n1.4 Onda Quadrada - Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11\n1.5 Onda Triangular - Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13\n1.6 O conceito de função seccionalmente contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17\n1.7 Uma função par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18\n1.8 Uma função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19\n1.9 Função par e função ímpar no intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21\n1.10 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23\n1.11 Onda Dente de Serra - Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25\n1.12 Função sobre o intervalo e sua expansão periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27\n1.13 A função no intervalo e sua expansão periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28\n1.14 Expansões par e ímpar de uma função definida sobre o intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . 31\n1.15 Expansão da função definida no intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32\n\n2.1 Representação do número complexo no plano complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41\n2.2 Alguns números complexos e suas respectivas fases (argumentos). . . . . . . . . . . . . . . . 43\n2.3 Alguns números complexos - forma cartesiana e forma fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . 44\n2.4 Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . 47\n2.5 Espectro de fases do onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49\n2.6 Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50\n2.7 Espectro de fases do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51\n2.8 Espectros do Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52\n2.9 Espectros do Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Capítulo 1\n\nFunções Periódicas e Séries de Fourier\n\n1.1 Funções Periódicas\n\nUma função é dita periódica se existe um número real positivo T, chamado período de f, tal que\n\nf(t) = f(t + T) (1.1)\npara todo t no domínio de f. O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento T (Figura 1.1).\n\nFigura 1.1: Uma função periódica.\n\nObservações:\n\nO período T é o comprimento do intervalo em que a imagem da função se repete.\n\nSegue da equação (1.1) que se f é periódica de período T então para qualquer inteiro n temos\n\nf(t) = f(t + nT) (1.2)\n\n1\n positivo temos\n\nou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo n de T também é um período de f. O menor valor de T que satisfaz a equação (1.1) é chamado período fundamental de f e será denotado por T0. Qualquer outro período de f será um múltiplo inteiro do período fundamental. A Figura 1.2 ilustra tal conceito.\n\nFigura 1.2: Período e período fundamental.\n\na frequência f de uma função periódica é definida como o inverso de seu período\n\nf = 1/T (1.3)\ne nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em T. Se T é medido em segundos então a frequência f é o número de ciclos por segundo (Hertz).\n\nUm outro tipo de frequência, a qual utilizaremos no estudo das Séries de Fourier, é a frequência angular, denotada por ω, e definida como\n\nω = 2πf (1.4)\n\nSe T é o período fundamental de f, então sua frequência (angular) fundamental, denotada por ω0, é dada por\n\nω0 = 2π/T0 (1.5)\n\nExemplo 1.1 A função\n\nf(t) = 4t, onde T0 = 2 (Figura 1.3)\n\né periódica com período fundamental T0 e frequência fundamental f = 1/T0.\n\n2\n Exemplo 1.2 A função é periódica com período fundamental e frequência fundamental — (Figura 1.3)\n\nExemplo 1.3 A função constante tem como período qualquer número real e não possui período fundamental.\n\nFigura 1.3: Senóides: e\n\nAs duas propostas a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas.\n\nProposição 1.1 : Seja uma função periódica de período , então:\n\n(i) , é periódica de período –;\n\n(ii) , é periódica de período –.\n\n(iii) Suponha que é o período de , de modo que .\nFazendo , obtemos . Logo pela hipótese de que é periódica de período , concluímos que onde .\n\n(ii) Suponha que é o período de , de modo que – – – .\nFazendo , obtemos . Logo pela hipótese de que é periódica de período de , concluímos que onde .\n\nProposição 1.2 : Sejam e duas funções periódicas de mesmo período ; e duas constantes reais quaisquer. A função definida por\n\ntambém é periódica de período (isto é, a combinação linear de funções periódicas de mesmo período também é periódica, com mesmo período das funções que foram combinadas). Exemplo 1.4 Como as funções e possuem ambas período , pela Proposição 1.1 observamos que:\n\n(i) e possuem período –;\n\n(ii) – possuem período .\n\n(iii) e possuem período –;\n\n(iv) e possuem período –.\n\nAlém disto, as funções -- e possuem período --\n\nMas como qualquer múltiplo inteiro do período também é período, concluímos que ambas também possuem período . Finalmente, pela proposição 1.2, observamos que a função\n\ntambém é periódica de período .\n\nProposição 1.3 : Sejam funções periódicas de período . Então a função dada pela combinação linear de também é periódica de período . A prova é análoga à da proposição 1.2 e pode ser obtida pelo princípio da indução.\n\nExtrapolando a proposição 1.3, sejam funções periódicas de mesmo período , a série infinita dada por\n\ndefine, para os valores de nos quais converge, uma função periódica de período . Assim podemos definir a função tal que . Esta última afirmação é de fundamental importância, uma vez que trabalharemos com séries infinitas trigonométricas da forma\n\nObserve que cada termo desta série possui período . Desta forma, para os valores de nos quais a série converge ela define uma função periódica de período .\n\n1.1.1 Problemas Propostos\n\n(1) Determine se cada uma das funções a seguir é ou não periódica. Caso seja determine seu período fundamental e sua frequência fundamental.\n\n(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)\n\n(2) Para cada função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de . Observando este gráfico determine se a função é ou não periódica. Caso seja determine seu período fundamental.\n\n(b)\n\n(3) Sejam funções periódicas de mesmo período . Mostre que\n\n(a) é periódica de período (isto é, a soma de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica);\n\n(b) é periódica de período (isto é, a diferença de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica);\n\n(c) é periódica de período (isto é, o produto de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica); (4) Seja uma função periódica de período e integrável em toda a reta. Mostre que\n(ou seja, independente do intervalo de integração o valor da integral será sempre o mesmo desde que o tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)\n\n1.2 Relações de Ortogonalidade\nAntes de examinarmos com mais detalhes séries trigonométricas da forma (1.2) investigaremos algumas propriedades importantes das funções que a definem. Comecemos relembrando, da trigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:\n\nseno da soma: (1.3a)\ncoseno da soma: (1.3b)\nseno da diferença: (1.3c)\ncoseno da diferença: (1.3d)\n\nA partir destas fórmulas obtemos três identidades que utilizaremos adiante no cálculo de algumas integrais:\n\n(1.3b) obtemos: (1.4a)\n(1.3d) obtemos: (1.4b)\n(1.3a) obtemos: (1.4c)\n\nOs resultados do Teorema 1.4 dado a seguir também será importante para nosso trabalho futuro.\n\nTeorema 1.4 (Relações de Ortogonalidade) : se (inteiros positivos), então:\n\n——— se (1.5a)\n——— se \n——— se (1.5b)\n——— se \n\n(1.5c)\n\nAs relações (1.5a), (1.5b) e (1.5c) são chamadas relações de ortogonalidade. Provaremos a equação (1.5a) e deixamos as provas das relações (1.5b) e (1.5c) como exercício para o leitor nos Problemas 1 (página 7) e 2 (página 7) respectivamente.\n\n6 Prova de (1.5a)\nCaso . Utilizando a identidade (1.4a) podemos escrever:\n\n∫ (—) (—) − [ (—) (—) ]\n− ∫ [ (—) (—) ]\n− [ (—) (—) ]\n− [ ( ) ( ) ]\n——— [ ( ) ( ) ]\n\numa vez que , e o seno de múltiplos inteiros de é zero.\n\nCaso . Neste caso temos:\n\n∫ (—) (—) ∫ [ (—)]\n− ∫ [ (—)]\n− [— (—)]\n− [— ]\n− [— ]\n\numa vez que e o seno de múltiplos inteiros de é zero.\n\n1.2.1 Problemas Propostos\n(1) Segundo o mesmo raciocínio do texto, utilize a identidade (1.4b) para provar a relação de ortogonalidade (1.5b).\n(2) Segundo o mesmo raciocínio do texto, utilize a identidade (1.4c) para provar a relação de ortogonalidade (1.5c).\n\n1.3 Séries de Fourier\nVoltamos agora às séries trigonométricas da forma\n\n(1.6)\n\n7 na qual observamos que todas as infinitas parcelas são periódicas de período . No conjunto de valores de para os quais a série (1.6) converge ela define uma função periódica de período . Dizemos então que a série (1.6) é a Série de Fourier para escrevemos\n\n(1.7)\n\nonde os coeficientes e ( ) são chamados Coeficientes de Fourier. Como a função definida por (1.7) possui período fundamental T, sua frequência fundamental é —. Assim reescrevemos a série (1.7) na forma mais conveniente\n\n———\n\n(1.8)\n\nRaciocinando no sentido inverso, seja uma função periódica de período fundamental T e frequência fundamental —. Surgem duas questões:\n(i) como determinar os coeficientes de Fourier , e para que possamos representar por uma série da forma (1.8)?\n(ii) quais as condições que devemos impor sobre para que tal representação seja possível?\n\nAbordaremos agora a primeira questão para a determinação dos coeficientes de Fourier. A segunda, por se tratar de um assunto mais sutil, será comentada mais adiante (seção 1.4) quando já estivermos familiarizados com as Séries de Fourier.\n\n1.3.1 Determinação dos Coeficientes de Fourier\nDada uma função periódica de período nosso objetivo é determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras, determinar os coeficientes de Fourier da representação em Série de Fourier para a dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de ortogonalidade anteriormente discutidas.\n\n1Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês ( ). Fourier utilizou séries da forma (1.6) em seu famoso trabalho Théorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenômenos de condução de calor. Determinação de : integramos ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo :\n\n∫ [− Σ( ) ]\n\n− Σ[ ( ) ] ∫ ( )\n\n[−] Σ[− ( )] −[ ( ) ]\n\n[−] Σ[− ( )] −[ ( ) ( )]\n\numa vez que e . Assim o coeficiente é dado por\n\n— (1.9a)\n\nDeterminação de : multiplicamos ambos os membros de (1.8) por e integramos sobre o intervalo :\n\n∫ [ ( ) ]\n\n[− Σ( ) ]\n\n− Σ[ ( )]\n\n[−] Σ[ ( ) ]\n\n—\n\n—\n\nPela equação (1.5c) a segunda integral do somatório é nula. Pela equação (1.5a) a segunda integral do somatório é nula para e vale — para . Assim temos\n\n∫ ( ) −[ ( ) ]\n\n−[ ( ) ] −\n\n[ ( ) ( )] −\n\numa vez que . Assim o coeficiente é dado por\n\n— (1.9b)\n\nUma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente convergente. Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos e da referência [3]. Determinação de : multiplicamos ambos os membros de (1.8) por e integramos sobre o intervalo . Fica a cargo do leitor, Problema 7 da página 16, verificar que\n\n— (1.9c)\n\nAs equações (1.9a), (1.9b) e (1.9c) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier e se destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (1.8) para uma dada função periódica de período . Na dedução destas Fórmulas integramos sobre o intervalo , mas como\n\ne\n\nonde — , são todas periódicas de mesmo período , os resultados dos Problemas 3 (página 5) e 4 (página 6) nos mostram que tal integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de comprimento . Assim, para o cálculo dos coeficientes , e podemos integrar sobre qualquer intervalo de comprimento ; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente.\n\n1.3.2 Exemplos de Séries de Fourier\n\nResumindo nossos resultados até o momento: se é uma função periódica de período , então pode ser representada por uma Série de Fourier da forma\n\n— (1.10)\n\nonde é a frequência fundamental de (e também da Série de Fourier), dada por . Os coeficientes , e são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier3\n\n—\n\n—\n\n— (1.11a)\n\n— (1.11b)\n\n— (1.11c)\n\nExemplo 1.5 Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada na Figura 1.4.\n3A simbologia f significa integração sobre um período de . Figura 1.4: Onda Quadrada - Período .\n\nO período desta onda quadrada é e sua frequência fundamental —. Sua forma analítica pode ser dada por4\n\nPassaremos então aos cálculos dos coeficientes de Fourier.\n\nCálculo de : usando a equação (1.11a) temos\n\n−\n\n−[ −]\n\n−[ −] − [−] − [−]\n\n−[−] − [−]\n\n−[−]\n\nCálculo de : usando a equação (1.11b), com , temos\n\n−\n\n−[ −]\n\n−[ −] − [−] \n\n−[ −] − [−]\n\n−[−] − [−] − [−] \n\npois o seno de múltiplos inteiros de é zero.\n\n4Uma vez que a função é periódica, devemos expressá-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu período e a seguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo é arbitrária e em muitos casos a mais conveniente é o intervalo centrado na origem. Cálculo de : usando a equação (1.11c), com , temos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\npois sendo o cosseno par, .\nSubstituindo , e na equação (1.10), a representação em Série de Fourier desta onda quadrada tem a forma\nisto é, a Série só possui termos em senos5. Substituindo o valor encontrado para podemos escrever\n\nque é uma forma bastante desajeitada. Utilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever como\n\nse é par\n\se é ímpar\nisto é, temos apenas termos para valores ímpares de . Assim, utilizando os valores de dados pela equação (1.12b) a expansão da Série (1.12a) fica\n\nou, reescrevendo-a na forma de somatório (observe que temos apenas termos ímpares)\n\n(1.12c)\n\n Figura 1.5: Onda Triangular - Período .\n\nExemplo 1.6 Determine a representação em Série de Fourier da onda triangular mostrada na Figura 1.5.\nO período desta onda triangular é e sua frequência fundamental - . Sua forma analítica pode ser dada por\n\nPasssemos então aos cálculos dos coeficientes de Fourier.\nCálculo de : usando a equação (1.11a) temos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\nCálculo de : usando a equação (1.11b), com , temos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\nPela equação (4) (Formulário - página 53), com , obtemos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n5 Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência.\n Cálculo de : usando a equação (1.11c), com , temos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\nPela equação (3) (Formulário - página 53), com , obtemos\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\n\uf0e7\nSubstituindo e na equação (1.10), a representação em Série de Fourier desta onda triangular tem a forma\n\nisto é, a Série possui o termo constante - e termos em cossenos6. Substituindo os valores encontrados para e podemos escrever\n\uf0e7\n\nUtilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever como\nse é par\nse é ímpar\nisto é, temos apenas termos para valores ímpares de . Assim, utilizando os valores de dados pela equação (1.13b) a expansão da Série (1.13a) fica\n\uf0e7\n\uf0e7\nou reescrevendo-a na forma de somatório\n\uf0e7\n(1.13c)\n\n1.3.3 Problemas Propostos\n(1) Refça os cálculos do Exemplo 1.5 (página 10) integrando sobre o intervalo\n\n6 Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência. (a) (2) Refaça os cálculos do Exemplo 1.6 (página 13) integrando sobre o intervalo\n\n(a) (b) (c)\n\n(3) Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica.\n\n(4) Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica.\n\n(5) Para cada função periódica a seguir esboce seu gráfico em um intervalo de três períodos e encontre sua representação em Série de Fourier.\n\n(a)\n(b)\n(c)\n\n(d) (retificador de meia onda)\n(e) (retificador de onda completa)\n\n15 (6) Use a representação em Série de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pela equação (1.13c), para mostrar que\n\n(7) Verifique a validade da equação (1.9c).\n\n1.4 O Teorema de Fourier*\n\nNesta seção discutiremos brevemente as funções representáveis por Séries de Fourier. Iniciamos definindo a seguinte notação para os limites laterais de uma função:\n\nlimite lateral à esquerda:\n\nlimite lateral à direita:\n\nTambém de fundamental importância é o conceito de função seccionalmente contínua (ou função continua por partes).\n\nDefinição 1.5 (Função seccionalmente contínua) Uma função é seccionalmente contínua em um intervalo se pudermos subdividir o intervalo em um número finito de pontos de modo que seja contínua em cada subintervalo aberto , (Figura 1.6(a)).\n\nEm outras palavras, é seccionalmente contínua no intervalo se ela é contínua em todo o intervalo, exceto em um número finito de pontos deste intervalo. É importante observar que, pela continuidade em cada subintervalo, os limites laterais e\n\nexistem (são finitos).\n\nObviamente toda função contínua é seccionalmente contínua. Um exemplo simples de função que não é seccionalmente contínua é a função - , uma vez que os limites laterais em são infinitos (Figura 1.6(b)).\n\n16 (a) Uma função seccionalmente contínua. \n(b) Uma função não seccionalmente contínua.\n\nFigura 1.6: O conceito de função seccionalmente contínua.\n\nDefinição 1.6 (Função seccionalmente diferenciável) Uma função é dita seccionalmente diferenciável em um intervalo se e sua derivada são seccionalmente contínuas em .\n\nTeorema 1.7 (Teorema de Fourier) Seja uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período . Então a representação em Série de Fourier de , dada pela equação (1.10), converge em cada para - ; isto é\n\n(1.14)\n\nA demonstração do Teorema de Fourier está além do escopo deste texto introdutório. Vamos simplesmente comentar sobre dois aspectos importantes do Teorema.\n\nPara ser representável por uma Série de Fourier uma função deve ser periódica e seccionalmente diferenciável. A condição de ser seccionalmente diferenciável é uma condição suficiente, mas não necessária, para que possa ser expandida em Série de Fourier. Em outras palavras, toda função periódica e seccionalmente contínua é representável por Série de Fourier, mas existem funções representáveis por Série de Fourier que não são seccionalmente contínuas. Isto implica que poderíamos enfraquecer as hipóteses do Teorema de modo a cobrir um número mais amplo de funções.\n\nEm termos de convergência o Teorema afirma que a representação em Série de Fourier de uma função converge para o ponto médio dos limites laterais de para todo .\n\n17 Obviamente isto implica que, nos pontos onde \\( f \\) continua a Série de Fourier converge para a própria imagem de \\( f \\); onde \\( f \\) é descontínua, por exemplo onde apresenta um salto, a Série de Fourier converge para a média das imagens nos extremos do salto.\nExemplo 1.7 Considere a representação em Série de Fourier da onda quadrada, mostrada na Figura 1.4 (página 11), obtida no Exemplo 1.5 (página 10). Pelo Teorema de Fourier temos que:\n(a) em \\( f \\) – a função \\( f \\) continua e tem imagem – logo sua representação em Série de Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para;\n(b) em \\( f \\) a função \\( f \\) descontínua (apresenta um salto), logo sua representação em Série de Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para a média dos limites laterais em \\( x \\) onde ocorre \\( f \\).\nObserve na Figura 1.4 que o mesmo comportamento de convergência ocorre em\n1.5 Simetria ondulatória\nDefinição 1.8 (Função par): uma função \\( f \\) é dita par se\nno domínio de \\( f \\)\nGeometricamente, \\( f \\) é par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y (Figura 1.7). Observe etc.\nFigura 1.7: Uma função par.\nAlguns exemplos de funções pares são (função modular), \\( f(x) = |x| \\), (função constante), \\( f(x) = c \\) para par. Um outro exemplo importante de função par é (Figura 1.3).\nDefinição 1.9 (Função ímpar): uma função \\( f \\) é dita ímpar se\nno domínio de \\( f \\) Geometricamente, se \\( f \\) é ímpar seu gráfico é simétrico em relação à origem (Figura 1.8). Observe etc.\nFigura 1.8: Uma função ímpar.\nAlguns exemplos de funções ímpares são (função seno), \\( f(x) = \\sin(x) \\), (função cúbica), \\( f(x) = x^3 \\), para ímpar. Um outro exemplo importante de função par é (Figura 1.3).\nObservações\n(i) A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função identicamente nula \\( f(x) = 0 \\), ou seja, a função cuja imagem é zero para todo o domínio;\n(ii) se \\( f \\) é uma função ímpar que contenha 0 (zero) no domínio, então obrigatoriamente teremos \\( f(0) = 0 \\);\n(iii) a grande maioria das funções que ocorrem não são nem pares nem ímpares. Estamos particularmente interessados nas funções pares e ímpares pois suas representações em séries de Fourier aparecem na resolução de equações diferenciais parciais importantes da Física-Matemática e Engenharia.\n1.5.1 Propriedades das funções pares e ímpares.\nA soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais listaremos a seguir. Tais propriedades simplificarão bastante nosso trabalho na representação em Séries de Fourier de funções pares e ímpares.\n(S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par;\n(S2) a soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar;\n(S3) a soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. (P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par.\n(P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.\n(P3) O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar.\nAs provas são bastante simples. Provaremos P2 e deixaremos as demais como exercício para o leitor no Problema 4 (página 26).\nProva de P4\nSejam duas funções ímpares, isto é \\( f \\) e \\( g \\).\nDefina o produto \\( f \\cdot g \\); logo temos:\nisto é, com a hipótese que \\( f \\) e \\( g \\) são ímpares, mostramos que o produto \\( f \\cdot g \\), logo este produto é par.\nDefina o quociente; logo temos:\nisto é, com a hipótese que \\( f \\) e \\( g \\) são ímpares, mostramos que o quociente \\( \\frac{f}{g} \\) é ímpar.\nProposição 1.10: Se \\( f \\) é uma função par integrável no intervalo \\( [a,b] \\) então\nGeometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo \\( f \\) par a área sob a curva no intervalo \\( [a,b] \\) é igual à área sob a curva no intervalo \\( [-b,-a] \\) (Figura 1.9(a)). Formalmente temos:\nfazendo na primeira integral do membro direito, temos; logo (a) Função par: áreas nos intervalos [-T/2, 0] e [0, T/2] iguais com mesmo sinal.\n\n(b) Função ímpar: áreas nos intervalos [-T/2, 0] e [0, T/2] iguais com sinais contrários.\nFigura 1.9: Função par e função ímpar no intervalo [-T/2, T/2].\n\nProposição 1.11: Se f é uma função ímpar integrável no intervalo [-T/2, T/2] então\n\nGeometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f ímpar a área sob a curva no intervalo [-T/2, T/2] é igual à área sob a curva no intervalo [0, T/2], porém como tais áreas têm sinais contrários a soma se cancela, Figura 1.9(b). Formalmente temos:\n\nfazendo a_0 na primeira integral do membro direito, temos; logo 1.5.2 Séries de Fourier de funções pares e ímpares\nProposição 1.12 (Série de Fourier de uma função par) a Série de Fourier de uma função par, periódica de período T e frequência fundamental f_0, é uma série de cossenos, isto é\n\nPara a verificação desta proposição suponhamos que f é par e periódica de período T, onde T é o meio período.\n\nCalculando f(0), equação (1.11a), obtemos:\n\numa vez que o integrando f é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir o integral no intervalo [-T/2, T/2] por duas vezes o integral no intervalo [0, T/2].\n\nCalculando, equação (1.11b), obtemos:\n\numa vez que pela a propriedade P1 o integrando f é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir o integral no intervalo [-T/2, 0] por duas vezes o integral no intervalo [0, T/2].\n\nCalculando, equação (1.11c), obtemos:\n\numa vez que pela a propriedade P3 o integrando f é ímpar e pela Proposição 1.11 a integral se anula.\n\nLogo, se f é par e periódica de período T, sua expansão em Série de Fourier é da forma (1.15a) (veja a representação em Série de Fourier da onda triangular do Exemplo 1.6 na página 13).\n\nExemplo 1.8 Determine a expansão em Série de Fourier da função periódica mostrada na Figura 1.10.\nO período da onda é T e sua frequência fundamental f_0 = 1/T. Neste caso, como a onda apresenta simetria para tempos t < 0 e devemos determinar apenas a_0 e a_n. Figura 1.10: Função periódica f(t), Período T.\n\nCálculo de a_0: substituindo a_n e na equação (1.15b) obtemos\n\nCálculo de a_n: substituindo a_n e na equação (1.15c) obtemos\n\nUsando a equação (7) (Formulário - página 53), com A obtemos\n\nAssim, pela equação (1.15a) com H = T/2, a representação em Série de Fourier da função fica\n\n\n(1.16)\n\nou, usando a equação (1) (Formulário - página 53), H = 0. Proposição 1.13 (Série de Fourier de uma função ímpar) a Série de Fourier de uma função ímpar, periódica de período e frequência fundamental, é uma série de senos, isto é (1.17a)\n\nPara a verificação desta proposição suponhamos que é ímpar e periódica de período onde é o meio período.\n\nCalculando, equação (1.11a), obtemos:\n\numa vez que o integrando é ímpar e pela Proposição 1.11 a integral se anula.\n\nCalculando, equação (1.11b), obtemos:\n\numa vez pela propriedade P3 o integrando é ímpar e pela Proposição 1.10 a integral se anula.\n\nCalculando, equação (1.11c), obtemos:\n\n(1.17b)\n\numa vez que pela propriedade P2 o integrando é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir a integral no intervalo por duas vezes a integral no intervalo.\n\nLogo, se é ímpar e periódica de período, sua expansão em Série de Fourier é da forma (1.17a) (veja o a representação em Série de Fourier da onda quadrada do Exemplo 1.5 na página 10.)\n\nExemplo 1.9 Determine a representação em Série de Fourier da onda dente de serra mostrada na Figura 1.11.\n\nO período da onda é e sua frequência fundamental Sua forma analítica pode ser dada por se e Figura 1.11: Onda Dente de Serra - Periodo \n\nNeste caso, como a onda apresenta simetria ímpar temos apenas . Substituindo e na equação (1.17b) obtemos\n\ne pela equação (3) (Formulário - página 53)\n\nUsando a equação (1) (Formulário - página 53) pode ser reescrito como\n\nAssim, pela equação (1.17a) com , a representação em Série de Fourier da onda dente de serra fica\n\nou na forma expandida\n\n1.5.3 Problemas Propostos\n\n(1) Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhum dos dois (explique). (2) Usando as propriedades das funções pares e ímpares calcule as integrais dadas.\n\n(a) \n(b) \n(c) \n(d) \n(e) \n(f) \n\n(3) Nos problemas a seguir determine a representação em Série de Fourier pedida para a função dada. Esquematize o gráfico desta representação utilizando 3 períodos.\n\n(a) série de cossenos\n(b) série de senos\n(c) série de cossenos\n(d) série de senos\n(e) série de cossenos (Compare com o Exemplo 1.6 na página 13.)\n(f) série de senos (Compare com o Exemplo 1.9 na página 24.)\n\n(4) Prove as propriedades S1, S2, S3, P1 e P3 da soma (diferença) e produto (quociente) de funções pares e ímpares da página 19 do texto. (Sugestão: veja a prova de P2 na página 20.)\n\n1.6 Expansões periódicas\n\nMuitas vezes surge a necessidade de representarmos por uma Série de Fourier uma função isto é, uma função definida apenas no intervalo, Figura 1.12(a). Obviamente tal representação não é possível, uma vez que não é periódica. Para contornar tal situação expandimos periodicamente a Série de Fourier desta expansão (observe que a expansão tem período T). A Série de Fourier assim obtida, restrita ao intervalo [0, L], é a representação procurada para f(x).\n\n(a) definida no intervalo (b) Expansão periódica de f(x).\n\nFigura 1.12: Função sobre o intervalo [0, L] e sua expansão periódica.\n\nExemplo 1.10 Determine a representação em Série de Fourier da função mostrada na Figura 1.13(a).\n\nNeste caso vamos determinar a Série de Fourier da expansão periódica f(x), mostrada na Figura 1.13(b), para o intervalo [0, L].\n\nCálculo de a_0: usando a equação (1.11a) temos\n\n−∫(f(x)dx + b_n: usando a equação (1.11b), com N= , temos\n\n−∫(f(x)dx\n\nCálculo de b_n: usando a equação (1.11c), com N= , temos\n\n−∫(f(x)dx\n\nÉ evidente que a Série de Fourier da expansão periódica define uma outra função que não é igual a f(x) no intervalo de interesse, essa função é idêntica a f(x). Assim, pela equação (1.10) com f(x) = f(x), a representação em Série de Fourier da expansão periódica de f(x) é:\n\n(a) no intervalo [0, L] (b) Expansão periódica de f(x).\n\nFigura 1.13: A função f(x) no intervalo [0, L] e sua expansão periódica.\n\n1.6.1 Expansões em meio período\n\nNas seções 1.5 e 1.5.2 estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar e suas representações em Série de Fourier. Vimos que:\n\nse f(x) é par e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de cossenos;\n\nse f(x) é ímpar e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de senos;\n\nVimos também que nestes casos as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os coeficientes da Série de Fourier, equações (1.15b) e (1.15c) na série de cossenos, equação (1.17b) na série de senos, empregam a integração em apenas meio período.\n\nEstes fatos nos sugerem outras abordagens, conhecidas como expansões em meio período, para a representação em Série de Fourier de uma função definida apenas no intervalo [0, L]:\n\nexpansão par: a partir de um f(x) par definimos uma nova função com simetria par sobre o intervalo [0, L]. Estendemos esta nova função periodicamente, Figura 1.14(b), e a seguir determinamos a Série de Fourier desta expansão periódica (observe que a expansão tem período T). Uma vez que tal expansão periódica tem simetria par sua Série de Fourier será uma série de cossenos da forma (1.15a). expansão ímpar: a partir de um f(x) ímpar definimos uma nova função com simetria ímpar sobre o intervalo [0, L]. Estendemos esta nova função periodicamente, Figura 1.14(c), e a seguir determinamos a Série de Fourier desta expansão periódica (observe que a expansão tem período T). Uma vez que tal expansão periódica tem simetria ímpar sua Série de Fourier será uma série de senos da forma (1.17a).\n\nExemplo 1.11 Determine a expansão par em meio período da função mostrada na Figura 1.13(a).\n\nA expansão par de f(x) é mostrada na Figura 1.15. Observamos que para esta expansão temos:\n\nCálculo de a_0: usando a equação (1.15b) temos\n\n−(integral) ...\n\nCálculo de b_n: usando a equação (1.15c), com (argumentos), temos\n\n... \n\nUtilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever f(x) como:\n\nse f(x) é par;\n\nse f(x) é ímpar.\n\nAssim, pela equação (1.15a) com f(x) = f(x), a representação em Série de Fourier da expansão par de f(x) é:\n\n... Exemplo 1.12 Determine a expansão ímpar em meio período da função mostrada na Figura 1.13(a).\nA expansão ímpar de é exatamente a onda dente de serra mostrada na Figura 1.11 da página 25. Logo sua Série de Fourier é dada pela equação (1.18) da página 25.\n\n1.6.2 Problemas Propostos\n\n(1) Dada a função\n\n(a) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier;\n(b) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier;\n(c) esboce o gráfico de sua expansão periódica ímpar (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier.\n\n(2) Dada a função\n\n(a) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier;\n(b) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier;\n(c) esboce o gráfico de sua expansão periódica ímpar (período ) no intervalo e encontre sua representação em Série de Fourier. (a) Função definida apenas no intervalo .\n(b) Expansão par de .\n(c) Expansão ímpar de .\n\nFigura 1.14: Expansões par e ímpar de uma função definida sobre o intervalo