Questões Álgebra Linear

1) Consideremos a transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y) \). Utilizar os vetores \( u = (1,2) \) e \( v = (3,-1) \) para mostrar que \( T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v) \). 2) Dada a transformação linear \( T:V \rightarrow W \), tal que \( T(u) = 3u \) e \( T(v) = u - v \), calcular em função de \( u \) e \( v \): a) \( T(u + v) \) b) \( T(3v) \) c) \( T(4u - 5v) \) 3) Dentre as transformações \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: a) \( T(x,y) = (x - 3y, 2x + 5y) \) b) \( T(x,y) = (y,x) \) c) \( T(x,y) = (x^2, y^2) \) d) \( T(x,y) = (x + 1, y) \) e) \( T(x,y) = (y - x, 0) \) f) \( T(x,y) = \| (x, 2y) \| \) g) \( T(x,y) = (\sin x, y) \) h) \( T(x,y) = (xy, x - y) \) i) \( T(x,y) = (3y, -2x) \) Questão 1. Seja \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \); \( u = (1,2) \) e \( v = (3,-1) \) \( T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y) \) \( T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v) \) Fazendo, \( 3u = 3(1,2) = (3,6) \)' e \( 4v = 4(3,-1) = (12,-4) \), Então, \( 3u + 4v = [(3,6) + (12,-4)] = [3+12, 6-4] = [15,2] \). Temos: \( T(3u + 4v) = (15,2) = (3.15 - 2.2, 15 + 2.4) = (41,23) \) \( T(u) = T(1,2) = (-1,9) \). Logo \( 3T(u) = 3(-1,9) = (-3,27) \) \( T(v) = T(3,-1) = (11,-1). \) Logo \( 4T(v) = 4(11,-1) = (44,-4) \) \((-3,27) + (44,-4) = (41,23) \) \( \therefore T(3u + 4v) = (41,23) = 3T(u) + 4T(v) \). Questão 2 Seja \( T: V \rightarrow W; T(u) = 3u \) e \( T(v) = u - v \), logo a) \( T(u+v) = T(u) + T(v) = 3u + u - v = 4u - v \) b) \( T(3v) = 3T(v) = 3(u - v) = 3u - 3v \) c) \( T(4u - 5v) = T(4u) - T(5v) = 4T(u) - 5T(v) = 4.3u - 5(u-v) = 12u - 5u + 5v = 7u + 5v \). Questão 3. Seja \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \). Considere \( u = (x_1, y_1) \) e \( v = (x_2, y_2) \) \in \mathbb{R}^2 \) a) \( T(x,y) = (x-3y,2x+5y) \) \( T(u+v) = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \) \( = (x_1+x_2 - 3(y_1+y_2), 2(x_1+x_2)+5(y_1+y_2)) \) \( = (x_1+x_2 - 3y_1 - 3y_2, 2x_1 + 2x_2 + 5y_1 + 5y_2) \) \( = (x_1-3y_1, 2x_1+5y_1) + (x_2-3y_2, 2x_2+5y_2) \) \( T(u+v) = T(u) + T(v) \) é uma transformação linear. b) \( T(x,y) = (y,x) \) \( T(u+v) = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \) \( = (y_1+y_2, x_1+x_2) \) \( = (y_1, x_1) + (y_2, x_2) \) \( T(u+v) = T(u) + T(v) \) é uma transformação linear. c) \( T(x,y) = (x^2, y^2) \) \( T(u+v) = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \) \( = ((x_1+x_2)^2, (y_1+y_2)^2) \) \( = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2, y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) \) Como os termos \( 2x_1x_2 \) e \( 2y_1y_2 \) ficarão dependentes, logo \( T \) não é transformação linear. d) Considere \( x=y=c \), temos: \( T(x,y) = (x+1,y) \) \( T(0,0) = (0+1,0)=(1,0) \neq (0,0) \) Logo a transformação não é linear. e) \( T(x,y) = (y-x, 0) \) \( T(u+v) = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \( = (y_1+y_2-(x_1+x_2), 0) \) \( = (y_1-x_1, 0) + (y_2-x_2, 0) \) \( T(u+v) = T(u) + T(v) \), é uma transformação linear. Questão 3. a) T(x,y) = (|x|,2y) T(u+v) = (x1,y1)+(x2,y2) = (|x1+x2|,2(y1+y2)) Pela propriedade modular temos: |x1+x2| ≤ |x1| + |x2| Não vale para toda igualdade. Logo T não é transformação linear. g) T(x,y) = (sen x,y) T(u+v) = (x1,y1)+(x2,y2) = (sen(x1+x2), y1+y2) Pelo fato de sen(x1+x2) ≠ sen x1 + sen x2, a transformação não é linear. h) T(x,y) = (xy ,x-y) = (x1,y1) + (x2,y2) = ((x1+x2)(y1+y2),(x1+x2) - (y1+y2)) = (x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2 , x1+x2-y1-y2) = (xy1 + 2xy2 + x2y2 , x1+x2-y1-y2) Por causa do termo 2x1y2, a transformação não é linear. i) T(x,y) = (3y,-2x) T(u+v) = (x1,y1)+(x2,y2) = (3(y1+y2),-2(x1+x2)) = (3y1+3y2,-2x1-2x2) = (3y1-2x1)+(3y2,-2x2) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear.