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Engenharia Civil ·
Geometria Analítica
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Centro Universitario Unifacex Coordenacao De Engenharia Civil Algebra Linear & Geometria Analitica Unidade 2 Prof. Felipe H. A. Magalhaes Def. (Mudanca De Coordenadas). Considere as bases {e1, e2, e3} e α={a1, a2, a3}. Dessa forma (x, y, z) = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (x1, x2, x3)α. Def. (Funcao Quadratica). Ψ: R^3 → R; Ψ(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J. Def. (Quadrica) Sao as superficies geradas de Ψ(x, y, z) = 0 da Def. i. Elipsoide (x-xc)^2/a^2 + (y-yc)^2/b^2 + (z-zc)^2/c^2 = 1 ii. Hiperboloide de uma folha: (x-xc)^2/a^2 + (y-yc)^2/b^2 - (z-zc)^2/c^2 = 1 de duas folhas: -(x-xc)^2/a^2 - (y-yc)^2/b^2 + (z-zc)^2/c^2 = 1 iii. Paraboloide Elliptico: z-z0 = a.(x-x0)^2 + b.(y-y0)^2 Hiperbolico: z-z0 = -a.(x-x0)^2 + b.(y-y0)^2 Def. (Matrizes E Formas Quadraticas). Considerando a forma quadratica da seguinte forma Φ: R^3 → R; Ψ(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy +2Exz, Assim ela pode ser escrita da seguinte forma: [ x y z ] [ A D E ][ x ] Φ(x, y, z) = [ D B F ][ y ] [ E F C ][ z ] Ex_1: x^2 + y^2 + 2xy + x + y - 4 = 0. Ex_2: 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 81. Def. (Matrizes Semelhantes). A e B sao semelhantes se ∃ Q; Q^A = BQ Def. (Autovalores E Autovetores De Matrizes). Considere uma matriz qua- drada M de mudanca de base. Assim Mv = λv para v um vetor de uma base e λ é o autovalor associado ao vetor v. Ex_3: 2x^2 + 2y^2 - z^2 + 8xy - 4xz - 4yz = 2 Def. (Transformacoes Lineares). É dado por M: R^n → R^m, v ∈ R^m → Mv ∈ R^m. Além disso, M.(u + k.v) = M.u + k.M.v, onde u,v∈R^n e k∈R. Ex_4: (Soma E Produto Por Escalar). M,N sao transformacoes lineares. Assim M+N e k.M tambem sao transformacoes lineares. Ex_5: M=0, M=I. Ex_6. (Projecao Sobre Uma Reta). Considere uma reta r(t) = ut e v∈R^3. Assim: Proj_v u = u(u1.v); Proj_v u = u/|u| Obs_1. (Projecao Sobre Um Plano). Considere um plano de equacao Π: (x-x0). n=0. Para um vetor v tem-se Π_proj = ((v1-v.(v.x0)).v)/2 Obs_2. (Vetor Projecao Sobre O Plano). É dado por v - (u.v/|u|^2)n/|v|. Ex_7. (Matriz De Rotacao). M: R^2 → R^2 é dada por M = [ cosθ -senθ ] [ senθ cosθ ] Ex_8. (Matriz De Rotacao em R^3). M: R^3 → R^3 é dada por M = [ cosθ -senθ 0 ] [ senθ cosθ 0 ] [ 0 0 1 ]
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Centro Universitario Unifacex Coordenacao De Engenharia Civil Algebra Linear & Geometria Analitica Unidade 2 Prof. Felipe H. A. Magalhaes Def. (Mudanca De Coordenadas). Considere as bases {e1, e2, e3} e α={a1, a2, a3}. Dessa forma (x, y, z) = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (x1, x2, x3)α. Def. (Funcao Quadratica). Ψ: R^3 → R; Ψ(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J. Def. (Quadrica) Sao as superficies geradas de Ψ(x, y, z) = 0 da Def. i. Elipsoide (x-xc)^2/a^2 + (y-yc)^2/b^2 + (z-zc)^2/c^2 = 1 ii. Hiperboloide de uma folha: (x-xc)^2/a^2 + (y-yc)^2/b^2 - (z-zc)^2/c^2 = 1 de duas folhas: -(x-xc)^2/a^2 - (y-yc)^2/b^2 + (z-zc)^2/c^2 = 1 iii. Paraboloide Elliptico: z-z0 = a.(x-x0)^2 + b.(y-y0)^2 Hiperbolico: z-z0 = -a.(x-x0)^2 + b.(y-y0)^2 Def. (Matrizes E Formas Quadraticas). Considerando a forma quadratica da seguinte forma Φ: R^3 → R; Ψ(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy +2Exz, Assim ela pode ser escrita da seguinte forma: [ x y z ] [ A D E ][ x ] Φ(x, y, z) = [ D B F ][ y ] [ E F C ][ z ] Ex_1: x^2 + y^2 + 2xy + x + y - 4 = 0. Ex_2: 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 81. Def. (Matrizes Semelhantes). A e B sao semelhantes se ∃ Q; Q^A = BQ Def. (Autovalores E Autovetores De Matrizes). Considere uma matriz qua- drada M de mudanca de base. Assim Mv = λv para v um vetor de uma base e λ é o autovalor associado ao vetor v. Ex_3: 2x^2 + 2y^2 - z^2 + 8xy - 4xz - 4yz = 2 Def. (Transformacoes Lineares). É dado por M: R^n → R^m, v ∈ R^m → Mv ∈ R^m. Além disso, M.(u + k.v) = M.u + k.M.v, onde u,v∈R^n e k∈R. Ex_4: (Soma E Produto Por Escalar). M,N sao transformacoes lineares. Assim M+N e k.M tambem sao transformacoes lineares. Ex_5: M=0, M=I. Ex_6. (Projecao Sobre Uma Reta). Considere uma reta r(t) = ut e v∈R^3. Assim: Proj_v u = u(u1.v); Proj_v u = u/|u| Obs_1. (Projecao Sobre Um Plano). Considere um plano de equacao Π: (x-x0). n=0. Para um vetor v tem-se Π_proj = ((v1-v.(v.x0)).v)/2 Obs_2. (Vetor Projecao Sobre O Plano). É dado por v - (u.v/|u|^2)n/|v|. Ex_7. (Matriz De Rotacao). M: R^2 → R^2 é dada por M = [ cosθ -senθ ] [ senθ cosθ ] Ex_8. (Matriz De Rotacao em R^3). M: R^3 → R^3 é dada por M = [ cosθ -senθ 0 ] [ senθ cosθ 0 ] [ 0 0 1 ]