Exercícios Resolvidos: Campos Conservativos em Cálculo Diferencial e Integral II

Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 3𝑥2𝑦2𝑖 2𝑥3𝑦 𝑗 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Solução Para que 𝐹𝑥 𝑦 seja um campo conservativo seu domínio deve ser simplesmente conexo e rot𝐹 0 rot𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 A partir da expressão do campo 𝐹𝑥 𝑦 temse 𝑃𝑥 𝑦 3𝑥2𝑦2 𝑃 𝑦 6𝑥2𝑦 𝑄𝑥 𝑦 2𝑥3𝑦 𝑄 𝑥 6𝑥2𝑦 Logo rot𝐹 0 O domínio do campo 𝐹𝑥 𝑦 é simplesmente conexo então 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo em todo seu domínio A função potencial é obtida a partir da definição 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 3𝑥2𝑦2 1 𝜑 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 2𝑥3𝑦 2 Resolvendo a Equação 1 𝜑𝑥 𝑦 𝑥3𝑦2 𝑔𝑦 3 Derivando a Equação 3 em relação a y 𝜑 𝑦 2𝑥3𝑦 𝑑𝑔 𝑑𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑑𝑔 𝑑𝑦 0 𝑔 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑥3𝑦2 𝐾 2 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 2𝑥𝑦𝑖 𝑥2 𝑦 𝑗 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Solução Para que 𝐹𝑥 𝑦 seja um campo conservativo seu domínio deve ser simplesmente conexo e rot𝐹 0 rot𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 A partir da expressão do campo 𝐹𝑥 𝑦 temse 𝑃𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑃 𝑦 2𝑥 𝑄𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑄 𝑥 2𝑥 Logo rot𝐹 0 O domínio do campo 𝐹𝑥 𝑦 é simplesmente conexo então 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo em todo seu domínio A função potencial é obtida a partir da definição 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 2𝑥𝑦 1 𝜑 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 𝑥2 𝑦 2 Resolvendo a Equação 1 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑔𝑦 3 Derivando a Equação 3 em relação a y 𝜑 𝑦 𝑥2 𝑑𝑔 𝑑𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑑𝑔 𝑑𝑦 𝑦 𝑔 𝑦2 2 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦2 2 𝐾 3 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑗 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Solução Para que 𝐹𝑥 𝑦 seja um campo conservativo seu domínio deve ser simplesmente conexo e rot𝐹 0 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II rot𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 A partir da expressão do campo 𝐹𝑥 𝑦 temse 𝑃𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑃 𝑦 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑄 𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 Logo rot𝐹 0 O domínio do campo 𝐹𝑥 𝑦 é simplesmente conexo então 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo em todo seu domínio A função potencial é obtida a partir da definição 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 1 𝜑 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 2 Resolvendo a Equação 1 𝜑𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑔𝑦 3 Derivando a Equação 3 em relação a y 𝜑 𝑦 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑔 𝑑𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑑𝑔 𝑑𝑦 0 𝑔 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝐾 4 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑖 𝑥 𝑦2 𝑗 determine uma função potencial 𝜑 para esse campo Solução A função potencial é obtida a partir da definição 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 1 𝑦 1 𝜑 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 𝑥 𝑦2 2 Resolvendo a Equação 1 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 𝜑𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑔𝑦 3 Derivando a Equação 3 em relação a y 𝜑 𝑦 𝑥 𝑦2 𝑑𝑔 𝑑𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑑𝑔 𝑑𝑦 0 𝑔 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 𝐾 Como Dom𝐹 𝑥 𝑦 ℝ2𝑦 0 Dom𝜑 o campo 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo em todo seu domínio Observação Ao calcular o rotacional temse 𝑃𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑃 𝑦 1 𝑦2 𝑄𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 1 𝑦2 rot𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 0 Porém o domínio do campo 𝐹𝑥 𝑦 não é simplesmente conexo visto que Dom𝐹 𝑥 𝑦 ℝ2𝑦 0 então nada se pode concluir sobre o campo ser conservativo Contudo existem subconjuntos onde 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo como em 𝐴 𝑥 𝑦 ℝ2𝑦 0 Dom𝐹 ou em 𝐵 𝑥 𝑦 ℝ2𝑦 0 Dom𝐹 mas é necessário garantir que a curva esteja nesses subconjuntos 5 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑦2 1𝑥2 𝑖 2𝑦 arctg𝑥 𝑗 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Solução Para que 𝐹𝑥 𝑦 seja um campo conservativo seu domínio deve ser simplesmente conexo e rot𝐹 0 rot𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II A partir da expressão do campo 𝐹𝑥 𝑦 temse 𝑃𝑥 𝑦 𝑦2 1 𝑥2 𝑃 𝑦 2𝑦 1 𝑥2 𝑄𝑥 𝑦 2𝑦 arctg𝑥 𝑄 𝑥 2𝑦 1 𝑥2 Logo rot𝐹 0 O domínio do campo 𝐹𝑥 𝑦 é simplesmente conexo então 𝐹𝑥 𝑦 é conservativo em todo seu domínio A função potencial é obtida a partir da definição 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑦2 1 𝑥2 1 𝜑 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝜑 𝑦 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 Resolvendo a Equação 1 𝜑𝑥 𝑦 𝑦2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑔𝑦 3 Derivando a Equação 3 em relação a y 𝜑 𝑦 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑔 𝑑𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑑𝑔 𝑑𝑦 0 𝑔 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑦2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝐾 6 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 2𝑥𝑧 𝑦2𝑖 2𝑥𝑦 𝑗 𝑥2 3𝑧2𝑘 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Solução A função potencial é obtida a partir da definição de campo gradiente 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝐹𝑥 𝜑 𝑥 2𝑥𝑧 𝑦2 1 𝜑 𝑦 𝐹𝑦 𝜑 𝑦 2𝑥𝑦 2 𝜑 𝑧 𝐹𝑧 𝜑 𝑧 𝑥2 3𝑧2 3 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Resolvendo a Equação 1 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑧 𝑥𝑦2 𝑓𝑦 𝑧 4 Derivando a Equação 4 em relação a y 𝜑 𝑦 2𝑥𝑦 𝑓 𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑓 𝑦 0 𝑓 𝑓𝑧 A função potencial é reescrita na forma 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑧 𝑥𝑦2 𝑓𝑧 5 Derivando a Equação 5 em relação a z 𝜑 𝑧 𝑥2 𝑑𝑓 𝑑𝑧 e comparando com a Equação 3 resulta 𝑑𝑓 𝑑𝑧 3𝑧2 𝑓𝑧 𝑧3 𝐾 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑧 𝑥𝑦2 𝑧3 𝐾 Como Dom𝐹 ℝ3 Dom𝜑 o campo 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 é conservativo em todo seu domínio 7 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑧2𝑥𝑒𝑥2𝑖 1 2 𝑒𝑥2 𝑗 𝑧 1𝑒𝑥2𝑘 determine a função potencial tal que 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Solução A função potencial é obtida a partir da definição do campo gradiente 𝐹𝑥 𝑦 𝜑 Então 𝜑 𝑥 𝐹𝑥 𝜑 𝑥 𝑦 𝑧2𝑥𝑒𝑥2 1 𝜑 𝑦 𝐹𝑦 𝜑 𝑦 1 2 𝑒𝑥2 2 𝜑 𝑧 𝐹𝑧 𝜑 𝑧 𝑧𝑒𝑥2 3 Resolvendo a Equação 1 Exercícios resolvidos Campos conservativos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 𝜑𝑥 𝑦 1 2 𝑦 𝑧2 𝑒𝑥2 𝑓𝑦 𝑧 4 Derivando a Equação 4 em relação a y 𝜑 𝑦 1 2 𝑒𝑥2 𝑓 𝑦 e comparando com a Equação 2 resulta 𝑓 𝑦 0 𝑓 𝑓𝑧 Reescrevendo a função potencial 𝜑𝑥 𝑦 1 2 𝑦 𝑧2 𝑒𝑥2 𝑓𝑧 5 Derivando a Equação 5 em relação a z 𝜑 𝑧 𝑧 𝑒𝑥2 𝑓 𝑧 e comparando com a Equação 3 resulta 𝑓 𝑧 0 𝑓𝑧 𝐶 Portanto a função potencial vale 𝜑𝑥 𝑦 1 2 𝑦 𝑧2 𝑒𝑥2 𝐶 Como Dom𝐹 ℝ3 Dom𝜑 o campo 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 é conservativo em todo seu domínio