Exercícios Resolvidos: Teorema de Green - Cálculo Diferencial e Integral II

Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑥3 𝑥𝑦2𝑖 𝑥2𝑦 𝑦3 3𝑥 𝑗 aplique o teorema de Green para calcular a integral 𝐶 𝐹𝑥 𝑦 𝑑𝑟 na fronteira da região 𝑥2 9 𝑦2 4 1 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥3 𝑥𝑦2 𝑃 𝑦 2𝑥𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦3 3𝑥 𝑄 𝑥 2𝑥𝑦 3 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷 O valor da última integral é igual ao valor da área da região de integração D ou seja a área da elipse de raios a 3 e b 2 Assim 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 3𝜋32 18 𝜋 2 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑒3𝑦𝑖 3 2 𝑥2𝑒3𝑦 2𝑥𝑗 aplique o teorema de Green para calcular a integral 𝐶 𝐹𝑥 𝑦 𝑑𝑟 na fronteira da região 𝑥 𝑦4 1 e 𝑥 2 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥𝑒3𝑦 𝑃 𝑦 3𝑥𝑒3𝑦 𝑄𝑥 𝑦 3 2 𝑥2𝑒3𝑦 2𝑥 𝑄 𝑥 3𝑥𝑒3𝑦 2 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 O valor da última integral é igual ao valor da área da região de integração D para a qual os limites de integração valem 𝑦4 1 𝑥 2 e 1 𝑦 1 Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Integrando 𝐹 𝑑𝑟 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 16 5 2 𝑦41 1 1 𝐶 3 Utilizando o teorema de Green calcule a integral de linha sen𝑥cos𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦 cos𝑥sen𝑦 𝑑𝑦 𝐶 na fronteira da região 𝑦 𝑥 e 𝑦 𝑥 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑃 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷 A região de integração D define os seguintes limites de integração 0 𝑥 1 e 𝑥 𝑦 𝑥 Então 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 1 12 𝑥 𝑥 1 0 4 Utilizando o teorema de Green calcule o trabalho da força 𝐹𝑥 𝑦 𝑥32 3𝑦2 𝑖 6𝑥 5𝑦 𝑗 sobre uma partícula deslocandose num caminho fechado C definido pela fronteira do triângulo de vértices 00 05 e 50 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥32 3𝑦2 𝑃 𝑦 6𝑦 Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 𝑄𝑥 𝑦 6𝑥 5𝑦 𝑄 𝑥 6 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 6 6𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷 A região de integração D define os seguintes limites de integração 0 𝑥 5 e 0 𝑦 𝑥 5 Então 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 𝑑𝑥 6𝑦 6 𝑑𝑦 200 𝑥5 0 5 0 5 Utilizando o teorema de Green calcule a integral de linha 2𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 𝑥 𝑦2 𝑑𝑦 𝐶 na fronteira da região do triângulo de vértices 𝐴 11 𝐵 22 e 𝐶 13 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 2𝑥2 𝑦2 𝑃 𝑦 4𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 2 𝑥 𝑦 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 A região de integração define os seguintes limites 1 𝑥 2 e 𝑥 𝑦 𝑥 4 Então 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑥 2 1 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑥 𝑥4 𝑥 2 1 𝑑𝑥 Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 2 𝑥𝑥 4 𝑥 1 2 𝑥 42 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 2 2𝑥2 8𝑥 8𝑑𝑥 2 1 Resolvendo 2𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 𝑥 𝑦2 𝑑𝑦 4 3 𝐶 6 Utilizando o teorema de Green calcule a integral de linha 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝐶 sendo C uma circunferência de raio a Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑃 𝑦 𝑥2 𝑄𝑥 𝑦 𝑥𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦2 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷 Em coordenadas polares temse 0 𝑟 𝑎 e 0 𝜃 2𝜋 Então 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 𝑑𝜃 𝑟3 𝑑𝑟 𝑎 0 2𝜋 0 𝜋𝑎4 2 7 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑖 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑗 aplique o teorema de Green para calcular a integral 𝐶 𝐹𝑥 𝑦 𝑑𝑟 na fronteira da região 𝑥2 4 𝑦2 16 1 limitado ao primeiro quadrante Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑃 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥2 𝑦22 𝑄𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑄 𝑥 2𝑥𝑦 𝑥2 𝑦22 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0 Na verdade ao calcularmos a integral de linha sobre a fronteira da elipse o resultado é igual ao do Exercício 9 da lista de Exercícios Resolvidos Integrais de linha e campos vetoriais 𝐹𝑥 𝑦 𝑑𝑟 𝛾 4cos2𝑡 16sen2𝑡 0 𝜋 2 2 O teorema de Green então falhou A resposta é não Observe que nesse caso o Teorema não pode ser aplicado pois o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 não está definido para a origem e ela pertence a região limitada pela curva Portanto é muito importante verificar se o campo vetorial está totalmente definido na região antes de aplicar o Teorema de Green 8 Dado o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑦 𝑖 𝑥𝑦2 𝑗 aplique o teorema de Green para calcular a integral 𝐶 𝐹𝑥 𝑦 𝑑𝑟 na fronteira da região limitada pelo triângulo de vértices 00 10 e 01 Solução Identificando as componentes do campo 𝐹𝑥 𝑦 temos 𝑃𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑦 𝑃 𝑦 𝑥 𝑄𝑥 𝑦 𝑥𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦2 A partir do Teorema de Green 𝐹 𝑑𝑟 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦2 𝑥 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 A região de integração define os seguintes limites Exercícios resolvidos Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 0 𝑥 1 e 0 𝑦 𝑥 1 Então 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 𝑑𝑥 𝑦2 𝑥 𝑑𝑦 𝑥1 0 1 0 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑥1 0 𝑥1 0 1 0 𝑑𝑥 1 3 𝑥 13 𝑥2 𝑥 1 0 1 12