Hidrologia Estatística: Noções e Aplicações em Engenharia Civil

FUMEP FUNDAÇÃO MUNICIPAL DE ENSINO DE PIRACICABA EEP ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA Disciplina Hidrologia Básica Engª Civil Noturno Junho23 Prof Dr Oswaldo Buzolin Júnior Hidrologia Estatística Noções de Estatísticas Aplicada a Hidrologia Hidrologia Estatística Séries de variáveis hidrológicas como precipitações vazões evaporação e outras quando observadas ao longo do tempo apresentam variações sazonais São denominadas variáveis estocásticas Estas variações não são regulares principalmente as séries de dados hidrológicos longas revelam as ocorrências de extremos máximos e mínimos e diferentes sequências de valores que caracterizam as variáveis hidrológicas como aleatórias Hidrologia Estatística Como essas variáveis são aleatórias estão sempre associadas a uma probabilidade de ocorrência Consequentemente as obras hidráulicas que envolvem hidrologia devem sempre serem dimensionadas para um determinado risco de falha O objetivo da estatística é o de extrair informações significativas de uma dada massa de dados As técnicas utilizadas em estatística aplicadas à hidrologia permitem avaliar a probabilidade de ocorrência de um fenômeno hidrológico com determinada magnitude Período de Retorno É o tempo médio em anos que um dado evento com exemplos intensidade de precipitação altura pluviométrica vazão pode ser igualado ou superado O Período de Retorno está diretamente relacionada a segurança que se impõem a obra T 1 𝑃 onde T Período de Retorno em anos P Probabilidade de ocorrer decimal Período de Retorno Exemplos Chuvas com TR50 num período de 200 anos 1800 1850 1900 1950 2000 1800 1850 1900 1950 2000 1800 1850 1900 1950 2000 1800 1850 1900 1950 2000 Período de Retorno T 1 𝑃 onde T Período de Retorno em anos P Probabilidade de ocorrer decimal Custo da Obra Período de Retorno Risco de Colapso Segurança da Obra Probabilidade de Não Ocorrer Determinado Evento q 𝑞 1 𝑃 Risco Calculado Para que não aconteça em N anos 𝑞 1 𝑃 𝑁 Risco de Ocorrer determinado evento em N anos 𝑅 1 1 1 𝑇 𝑁 Risco Calculado Isolando T 𝑹 𝟏 𝟏 𝟏 𝑻 𝒏 1 𝑅 1 1 𝑇 𝑛 1 𝑅 1 𝑛 1 1 𝑇 1 𝑇 1 1 𝑅 1 𝑛 𝑻 𝟏 𝟏 𝟏 𝑹 𝟏 𝒏 Risco Calculado Isolando n 𝑹 𝟏 𝟏 𝟏 𝑻 𝒏 1 𝑅 1 1 𝑇 𝑛 𝑙𝑜𝑔 1 𝑅 log 1 1 𝑇 𝑛 𝑙𝑜𝑔 1 𝑅 𝑛 𝑙𝑜𝑔 1 1 𝑇 𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝑹 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟏 𝑻 Isolando T obtémse a seguinte equação 𝑇 1 1 1 𝑅 1 𝑁 Período de Retorno 𝑁 𝑙𝑜𝑔 1 𝑅 𝑙𝑜𝑔 1 1 𝑇 Vida Esperada da Obra Isolando N obtémse a seguinte equação Exercício 1 Calcular o período de retorno de determinado evento considerando que a probabilidade de ocorrer esse evento é de 20 Exercício 2 Qual a probabilidade de ocorrer determinado evento cujo período de retorno de projeto é de 1000 anos Exercício 3 Qual o risco de um vertedor receber uma vazão igual ou superior a sua capacidade em vinte anos seguidos considerando que o vertedor foi projetado com um período de retorno de 1000 anos Exercício 4 E se esse mesmo vertedor for observado durante 50 anos Exercício 5 E ainda se esse mesmo vertedor tivesse sido projetado para um período de retorno de 10000 anos Exercício 6 Assumindo um risco de 5 com uma observação de 20 anos consecutivos vida esperada qual é o período de retorno dessa obra Exercício 7 Considerando o exposto no exercício anterior porém com uma observação de 100 anos qual é o novo valor do período de retorno dessa obra Exercício 8 Qual o tempo de observação em anos consecutivos vida esperada de uma obra projetada para um período de retorno de 10000 anos e um risco de falha de 2 Exercício 9 E se aumentar o risco de falha para 5 Qual o tempo de observação em anos consecutivos vida esperada Hidrologia Estatística Papel de Probabilidades A partir de um série histórica é possível com o auxílio do Papel de Probabilidades determinar a projeção de eventos máximos com um período de retorno superior ao tempo de observação da série Num papel com escala logarítmica no eixo x e escala decimal no eixo y criase um gráfico onde cada ponto será plotado adotando o eixo x como tempo e eixo y como o valor do evento vazão Hidrologia Estatística Hidrologia Estatística Papel de Probabilidades Para a plotagem no papel de probabilidades é necessário colocar a série em ordem decrescente Determinar a probabilidade de ocorrência sendo o maior valor da série com a probabilidade de 1n e o menor valor igual a nn 1 ou 100 de probabilidade Considerando que o período de Retorno é o inverso da probabilidade calculase o mesmo para o eixo x em escala logarítmica no eixo y admitese o valor do evento ex vazão com essas coordenadas plotase um ponto no gráfico Hidrologia Estatística Papel de Probabilidades Repetese esse mesmo procedimento para todos os pontos após plotar todos determinase uma reta entre os pontos que represente a projeção da série Com a referida reta é possível determinar o valor do evento vazão com o período de retorno desejado o qual pode ser de 1000 ou 10000 anos Hidrologia Estatística Papel de Probabilidades Exemplo A partir da série dada com o auxílio do papel de probabilidades determinar a altura pluviométrica para períodos de retorno superior a 1000 anos Hidrologia Estatística Eixo Y Eixo Y Eixo X Eixo X Hidrologia Estatística ESCALA DOS y 1 cm PAPEL DE PROBABILIDADE T PERÍODO DE RETORNO ANOS Hidrologia Estatística Papel de Probabilidade Precipitação em mm T Período de Retorno em Anos 43 Pontos Hidrologia Estatística Gráfico excluindo o primeiro o segundo e o último ponto Hidrologia Estatística Método dos Mínimos Quadrados 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝟏º 𝑮𝒓𝒂𝒖 𝒀 𝑨 𝑩𝒙 Digite a equação aqui 𝑷𝒂𝒑𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝑿 𝒍𝒐𝒈𝑻 𝑳𝒐𝒈𝒐 𝒀 𝑨 𝑩 𝒍𝒐𝒈𝑻 𝑨 σ 𝒀 σ 𝑿𝟐 σ 𝑿 σ 𝑿𝒀 𝒏 σ 𝑿𝟐 σ 𝑿 𝟐 𝑩 𝒏 σ 𝑿𝒀 σ 𝑿 σ 𝒀 𝒏 σ 𝑿𝟐 σ 𝑿 𝟐 Hidrologia Estatística Método dos Mínimos Quadrados Exercício A partir da série dada através do Método dos Mínimos Quadrados determinar a equação que representa a projeção da altura pluviométrica com o período de retorno Eixo X Eixo Y n T P Y XlogT X² XY 1 4300 216520 16335 26682 353679 2 2150 173000 13324 17754 230512 3 1433 170020 11563 13371 196602 4 1075 168330 10314 10638 173617 5 860 164880 09345 08733 154080 6 717 163210 08553 07316 139596 7 614 162980 07884 06215 128489 8 538 162310 07304 05335 118548 9 478 160880 06792 04613 109274 10 430 160820 06335 04013 101874 11 391 153250 05921 03506 90736 12 358 151340 05543 03072 83886 13 331 149320 05195 02699 77575 14 307 146990 04873 02375 71634 15 287 146200 04574 02092 66869 16 269 143370 04293 01843 61556 17 253 143190 04030 01624 57708 18 239 142330 03782 01430 53829 19 226 141390 03547 01258 50153 20 215 141350 03324 01105 46990 21 205 140790 03112 00969 43821 22 195 140600 02910 00847 40921 23 187 138640 02717 00738 37674 24 179 136650 02533 00641 34608 25 172 134640 02355 00555 31712 26 165 134450 02185 00477 29377 27 159 134110 02021 00408 27104 28 154 131810 01863 00347 24558 29 148 130230 01711 00293 22279 30 143 127450 01563 00244 19926 31 139 126650 01421 00202 17998 32 134 123390 01283 00165 15833 33 130 122760 01150 00132 14112 34 126 120450 01020 00104 12285 35 123 120430 00894 00080 10766 36 119 119650 00772 00060 9233 37 116 119020 00653 00043 7768 38 113 117700 00537 00029 6319 39 110 116710 00424 00018 4949 40 108 113930 00314 00010 3578 41 105 113130 00207 00004 2340 42 102 79700 00102 00001 814 43 100 60240 00000 43 5964810 1746 1320 2785180 n ƩY ΣX ƩX² ƩXY A 114590 B 59426 Y A B log T Y11459059426logT X Y T P 4300 211660 2150 193771 1433 183307 1075 175882 860 170123 717 165418 614 161439 538 157993 478 154953 430 152234 391 149774 358 147529 Calculado 331 145463 307 143550 287 141770 269 140104 253 138539 239 137064 226 135669 215 134345 205 133086 195 131885 187 130738 179 129640 172 128586 165 127574 159 126600 154 125661 148 124756 143 123881 139 123034 134 122215 130 121421 126 120650 123 119902 119 119175 116 118468 113 117780 110 117110 108 116456 105 115819 102 115197 100 114590 Valores Calculados a partir da Equação FIM