Teoria dos Erros: Introdução e Interferência na Medição

TEORIA DOS ERROS I INTRODUÇÃO Uma afirmação inicial que podemos fazer é que nada é exato em uma ciência experimental O ato de se medir é um ato de se interferir de alguma maneira no fenômeno e esta interferência faz com que não possamos ver o fenômeno como ele realmente acontece Um exemplo simples pode esclarecer melhor esta questão Quando vamos medir a corrente que atravessa um circuito colocamos em serie com o mesmo um amperímetro e como este medidor tem uma certa resistência interna Ra que embora normalmente pequena comparada às outras resistências do circuito modifica as características do mesmo Vários outros exemplos poderiam ser citados alguns não tão simples e fáceis de se ver como este mas sempre há o aparecimento da interferência do medidor na medida No passado chegouse a acreditar que toda a teoria da Física estava formulada e que era necessário apenas fazer aparelhos de medida cada vez mais precisos para se obter valores exatos que obrigatoriamente deveriam concordar com a formulação teórica Esta é uma afirmação errônea por duas razões Todo o desenvolvimento posterior da Física mostra quanto os físicos da época estavam errados Hoje sabemos que o entendimento completo de uma área do conhecimento é impossível Com o surgimento da Física Moderna principalmente da Física das partículas elementares podese mostrar claramente que nunca se obteve nem nunca se obterá uma medida exata de um fenômeno qualquer Por estas razões a medida de uma grandeza tem obrigatoriamente uma incerteza que será chamada aqui de faixa de desvio erro ou simplesmente desvio Uma medida de uma grandeza deve ser sempre expressa com este desvio Usamos de dois modos para escrever o valor da medida 1 Dizemos que o valor da medida é Χ Χ Neste caso o desvio Χ tem a mesma unidade da medida Χ e é chamado de desvio absoluto 2 Dizemos que o valor da medida é Χ com 5 de desvio Neste caso temos um desvio relativo que dá a razão entre o desvio absoluto e o valor da medida e é consequentemente adimensional II DESVIO SOBRE UMA ÚNICA MEDIDA II1 Desvio absoluto relativo e absoluto avaliado Como já dissemos todos os aparelhos de medida possuem limitações que acarretam desvios na medida efetuada Estas limitações são inerentes aos aparelhos e resultaram da sua fabricação e de sua escala faixa de medida Algumas vezes o fabricante indica a faixa de desvio como sendo metade da menor divisão do aparelho Deste modo podemos definir o desvio avaliado Desvio avaliado é uma medida da limitação do aparelho Ele pode er expresso de duas maneiras já indicadas anteriormente 1 Quando o fabricante não indica a faixa de desvio do aparelho usamos para expressar o desvio a metade da menor divisão da escala do medidor Um medidor exclua os medidores multiescalas dá sempre o mesmo desvio avaliado independente do valor da medida O desvio absoluto avaliado deve ser sempre expresso na mesma unidade da grandeza da medida efetuada 2 O fabricante indica a faixa de desvio do aparelho Isto é feito sempre por porcentagem ou seja o fabricante dá a razão percentual entre o desvio absoluto e o valor da medida Χ Χ Por isso este tipo de desvio é chamado Desvio Relativo Corno o desvio relativo é a razão entre dois valores expressos na mesma unidade então ele é adimensional Exemplo As indústrias de resistores costumam indicar o desvio no valor das resistências em porcentagem O valor da resistência de um resistor é normalmente indicado por anéis coloridos O último destes anéis indica a faixa de desvio ouro 5 prata 10 Vamos recapitular aqui o que vimos anteriormente Desvio Absoluto Tem sempre a mesma unidade que a grandeza Desvio Relativo É a razão entre o desvio absoluto e o valor da medida e por isso é um número Muitas vezes é usado em percentagem Desvio Absoluto Avaliado Tem a mesma unidade que a grandeza e vale metade da menor divisão da escala do medidor II2 Algarismos Significativos Suponhamos que queremos medir o comprimento de uma barra e dispomos de uma régua graduada de 1 em 1 cm Aproximamos a régua da barra veja figura abaixo e fazemos a medida Como devemos expressar o resultado da medida A nossa régua nos dá precisamente o valor da medida em centímetros mas a casa dos milímetros pode ser apenas estimada já que a régua não tem graduação em milímetros Da casa seguinte a casa de décimos de milímetros não temos a menor ideia e não faz nenhum sentido a avaliação dela O nosso resultado deve ser expresso com todos os algarismos precisos mais o algarismo avaliado O comprimento da barra será expresso como 75 cm Se a nossa régua fosse graduada em milímetros nossa medida deveria ser igual a 750 cm Por quê Seria certo expressar como 749 cm Os algarismos que compõem o resultado de uma medida são chamados algarismos significativos Toda medida se expressa por n algarismos precisos mais um e somente um algarismo duvidoso Observação 1 Os zeros a esquerda do primeiro algarismo não nulo não são significativos pois o número de significativos não dependem da unidade em que expressamos o resultado da medida Assim 75 cm 0075 m 0000075 km 75x103 um 75x106 nm 75x109 pm Em todos os casos temos apenas 2 algarismos significativos sendo um preciso e outro duvidoso Observação2 Os zeros a direita do último algarismo não nulo são significativos pois indicam um valor medido Assim 00750 m tem três significativos 75000 cm tem cinco significativos Você pode dizer qual a menor divisão dos medidores que fizeram estas medidas II3 Operação com algarismos significativos II31 Quando queremos fazer operações com algarismos significativos como veremos adiante muitas vezes é necessário tirar um ou vários algarismos significativos Daremos abaixo essas regras chamadas de Regras de Arredondamento Quando o algarismo a ser retirado for 1 Menor que cinco o anterior não muda 2 Maior que cinco adicionase uma unidade ao anterior 3 O número cinco temos dois casos a quando o anterior for par anterior não muda b quando o anterior for impar adicionase uma unidade ao anterior II32 Na adição e subtração o resultado deve ser expresso com número de casas decimais da parcela mais pobre O arredondamento pode ser feito antes ou depois da operação pois como veremos abaixo o erro na operação encontrase sempre na casa duvidosa Exemplo 2023 m 17853 m 2378 m 26 m Arredondando 2023 17853 2378 26 64463 645 m 154987 11012 Arredondando 154987 11012 44867 4487 15499 11012 4487 II33 Na multiplicação e na divisão o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator mais pobre Em alguns casos a multiplicação pode ter n1 significativos onde n é o número de significativos do fator mais pobre e consequentemente a divisão pode ter n1 algarismos significativos Os casos de potenciação e radiciação podem ser extrapolados da multiplicação e da divisão A maneira que julgamos mais simples para encontrar o número de significativos de um produto ou quociente de grandezas medidas é a seguinte Sabendose o desvio relativo de um produto ou quociente podemos multiplica 10 pelo valor encontrado para o produto ou quociente e teremos o desvio absoluto O último algarismo significativo do produto ou quociente deve estar na mesma casa do desvio absoluto encontrado Devese então usar as regras de arredondamento citadas anteriormente para expressar o valor do produto ou quociente corretamente II4 Majoração de desvios Na seção anterior vimos que as medidas têm um certo número de algarismos precisos e um algarismo duvidoso É sobre este algarismo duvidoso que incide o desvio Por esta razão o desvio avaliado absoluto é definido como sendo metade da menor divisão da escala ou seja incide na casa duvidosa Isto faz com que o desvio absoluto só deva ter um único algarismo significativo Quando queremos operar com medidas algumas questões devem ser vistas Veja o exemplo Ache o semiperímetro de uma mesa estreita e comprida cujas dimensões são 5005 001 cm e 2000 04 cm Devemos calcular o valor máximo e o valor mínimo da soma o que significa que devemos considerar os desvios ou ambos positivos ou ambos negativos Operando temos 25005 041 cm Pelo que já vimos ao estudar algarismos significativos o resultado da soma deve ser 2500 cm Mas qual deve ser a faixa de desvio Vimos anteriormente que um desvio absoluto só pode ter um algarismo significativo Mas se usamos as mesmas regras de arredondamento iremos limitar a faixa de desvio e perder a certeza de que o nosso valor corresponde realmente a soma das duas medidas Então devemos majorar o desvio ou seja tomar um valor maior para conservar a nossa certeza Nosso resultado deve ser expresso como 2500 05 cm Observe que o resultado é coerente o desvio absoluto apresenta um único algarismo significativo que incide sobre o algarismo duvidoso da medida Poderíamos ao invés de arredondar o valor da medida usando as regras de algarismos significativos como fizemos achar o desvio absoluto por majoração e então deduzir a posição do algarismos duvidoso do resultado da soma Sintetizando o processo descrito acima temos Desvio calculado 041 cm Desvio majorado 05 cm Soma calculada 25005 cm Arredondamento da soma 2500 cm Resultado final 2500 05 cm II5 Precisão e Certeza A precisão de medida é definida a partir do desvio relativo Temos uma precisão maior quanto menor for o desvio relativo É sempre desejável obtermos uma precisão maior possível Isto nos leva a uma outra questão Suponha que fizemos uma medida com um determinado medidor e achando que o desvio relativo da medida deu um valor muito grande diminuímos arbitrariamente este desvio O que deve acontecer Se diminuímos arbitrariamente a faixa de desvio já não temos certeza que o valor da medida que fizemos se encontra dentro na faixa de valores pois esta faixa se tornou estreita Vemos então que precisão e certeza são duas coisas relacionadas e não podemos a nossa vontade modificar uma sem que a outra se modifique II6 Propagação de desvios Todas as equações que descrevem fenômenos físicos são relações entre grandezas medidas Estas grandezas têm desvios e quando definimos uma função cujos parâmetros são valores medidos devemos esperar que exista um desvio na determinação da função Interessanos saber como os desvios sobre as variáveis se propagam na função Considere uma função FXYZ Os parâmetros X Y Z são valores medidos em laboratório com desvios absolutos X Y e Z Devemos esperar que a função F sofra um desvio F Este valor F deve estar relacionado com os desvios dos parâmetros e com a própria função Vamos supor agora que estes desvios são pequenos em relação a medida Podemos então fazer uma aproximação e substituir a diferencial da função e de seus parâmetros pelos desvios F X Y e Z Ainda devemos fazer uma observação Uma derivada dá a variação da função em relação a variável no nosso caso a derivada dá a variação da função quando temos uma pequena incerteza na variável Então ela está relacionada com o desvio e como não podemos subtrair desvios devemos considerar estas derivadas em módulos Assim obtemos finalmente F F F F X Y Z X Y Z Esta relação dá desvio absoluto na determinação da função F em relação aos desvios absolutos dos parâmetros Se quisermos obter o desvio relativo da função F basta dividir o desvio absoluto pela função F F X F Y F Z F X F Y F Z F Vejamos um exemplo simples Qual o desvio relativo que se comete na determinação do cosθ quando θ 60 com um desvio absoluto de 01 Devemos antes de tudo expressar θ em radianos pois é a unidade de ângulo que tem sentido matemático 180 01 o o π θ 01 180 π θ Vamos resolver então no nosso exemplo cos cos cos sen θ θ θ θ θ θ θ Como queremos o desvio relativo cos sen 3 01 tan cos cos 180 θ θ π θ θ θ θ θ Operando achamos cos 000302 cos θ θ Em percentagem cos 0302 cos θ θ Vejamos agora o caso de funções simples representado por quatro operações fundamentais 1 2 3 4 F x y x y F x y x y F x y x y F x y x y Usando a relação de propagação de desvios para a função 1 F x y 1 1 1F F F x y x y Obtemos 1F x y Repetindo o mesmo procedimento para a função 2 F x y encontramos o mesmo valor para o desvio isto é F2 x y Podemos estabelecer a seguinte regra prática Consideremos agora as funções que envolvem multiplicação e divisão 3 3 3F F F x y x y F3 y x x y Dividindo pelo valor da função 3 3 3 3 F F y x x y x y F x y x y F x y Repetindo o mesmo procedimento para a função 4 F x y obtemos O desvio absoluto da soma ou diferença de grandezas é igual a soma dos desvios absolutos destas grandezas 2 4 4 4 4 1 x y y F F x y x y F F x y x x y y Podemos estabelecer a seguinte regra pratica II7 Observação para o uso das regras práticas As regras práticas estabelecidas na secção precedente podem ser usadas em muitos casos Entretanto devemos considerar alguns aspectos antes de aplicálas Vejamos um exemplo Considere a função 1 x F x x Utilizando as regras práticas podemos obter diretamente o desvio relativo da função ou seja 2 1 1 F x x x x x F x x x x Vamos resolver agora a mesma questão aplicando a relação F F F F x y z x y z Note que 2 1 1 1 F x x x x 2 1 x F x O desvio relativo será então 2 1 1 1 F x x x F x x x x Comparando agora os dois resultados 2 1 1 1 2 1 F x x F x x x F x F x x Vemos que o resultado obtido usando as regras práticas é maior O desvio relativo do produto ou quociente de grandezas é igual a soma dos desvios relativos destas grandezas Por que isto acontece A questão pode ser respondida se consideramos que o desvio x da variável x foi levado em conta mais de uma vez Quando aplicamos as regras práticas calculamos o desvio do numerador da função que é o desvio x da variável x Desta maneira consideramos o desvio da variável x duas vezes fazendo com que o erro F da função Fx ficasse muito grande Isto acontece sempre quando trabalhamos com uma função que é o quociente de duas funções de mesmas variáveis ou seja uma função que tem a forma G x y F x y H x y Nestes casos nós não podemos aplicar as regras práticas para determinar o erro da função pois deste modo estaremos considerando os erros das variáveis mais de uma vez Quando trabalhamos com esse tipo de função devemos sempre usar a relação F F F F x y z x y z x y z II8 Exercícios 01 Para determinar o perímetro e a área de uma mesa duas pessoas mediram as suas dimensões lineares O comprimento da mesa foi medido com uma régua graduada em centímetros A largura foi medida por uma régua com graduações em milímetros Os resultados são dados abaixo Comprimento 1595 m Largura 05900 m a Os resultados foram expressos corretamente Justifique b Qual é o desvio absoluto i na medida da largura ii na medida do comprimento iii na determinação do perímetro c Qual é o desvio relativo i na medida da largura ii na medida do comprimento iii na determinação do perímetro iv na determinação da área 02 O diâmetro de uma esfera pequena foi medido utilizandose de um paquímetro graduado em décimos de milímetros O resultado da medida foi d 200 mm a Qual é o desvio absoluto i na medida do diâmetro ii na determinação do diâmetro iii na determinação do raio iv na determinação do volume b Qual é o desvio relativo i na medida do diâmetro ii na determinação do raio iii na determinação do área iv na determinação do volume 03 Em um experimento para determinar o valor de g aceleração da gravidade com um pêndulo simples mediuse T com um desvio relativo de 2 e o comprimento de pêndulo ℓ com 3 O valor de g é dado pela relação 2 2 4 g T π ℓ Com que desvio relativo g pode ser determinado 04 Em um circuito elementar composto de uma bateria um resistor ohmico R e um amperímetro queremos determinar a diferença de potencial V fornecida pela fonte A medida da corrente que atravessa o resistor foi feita por amperímetro graduado de 2 em 2 mA e vale 100 mA O valor da resistência do resistor é fornecido pelo fabricante como sendo igual a 250 kΩ com um desvio relativo de 5 A resistência interna do amperímetro é desprezível em relação a do resistor Determine a a diferença do potencial V b o desvio absoluto cometido na determinação de V c o desvio absoluto 05 A força entre cargas fixas é dada pela relação 1 2 2 q q F K r Sabendose que as duas cargas 1q e 2q são do mesmo valor igual a 3 10 10 C e foram determinadas com um desvio de 10 A distância r entre elas foi medida achandose um valor de 100 005 m A constante K é suposta precisa e igual a 9 2 2 9 10 Nm C Determine a o desvio relativo na determinação da força F b o desvio absoluto 06 Considere uma barra metálica retilínea de forma de paralelepípedo O seu comprimento C foi medido com uma fita métrica graduada de um em um milímetro e vale C 13325 m A sua largura L foi medida com um paquímetro e vale L 2000 001 cm A sua espessura foi medida com um micrômetro e vale 2000 002 mm a Qual é o perímetro da seção reta da barra b O desvio absoluto na determinação do perímetro c O desvio relativo na determinação do perímetro d O volume da barra e O desvio absoluto na determinação do volume f O desvio relativo na determinação do volume Sabendo que a massa M da barra vale M 371 08 kg determine g A massa especifica do metal da barra sistema MKS hO desvio absoluto na determinação da massa especifica i O desvio relativo na determinação da massa especifica 07 Para determinar a altura H de uma torre vertical de televisão um observador se coloca no ponto P a uma distancia O da base da torre com um teodolito ele mede o angulo α mostrado na figura a seguir O teodolito é graduado de 002 em 002 radianos e o resultado da medida vale 4 rad α π A medida da distância D foi feita com uma fita hectométrica graduada de metro em metro e vale D 943 m a Determine a altura H da torre b Mostre que o desvio absoluto cometido na determinação da altura H é dado por 2 tan cos D H D α α α c Calcule o desvio H Como deve ser expresso H levando em conta os algarismos significativos d Calcule o desvio relativo sobre H e Para uma distância D fixa mostre que o desvio relativo sobre H é mínimo quando 4 α π Este resultado é o esperado Justifique 8 Queremos determinar a distância entre Salvador e Feira de Santana e estamos de posse dos dados seguintes Salvador Simões Filho Simões Filho Amélia Rodrigues Amélia Rodrigues Feira 283 01 km 6026 003 km 12 1 km Dos três dados acima a Qual é o dado que apresenta o menor desvio absoluto b Qual é o dado que apresenta o maior desvio relativo c Calcule a distância Salvador Feira d Determine os desvios absoluto e relativo cometidos neste cálculo e Escreva a distância com os algarismos significativos certos f Assumindo que a largura média da estrada vale 152 01 m calcule a área da superfície da estrada g Determine os desvios relativo e absoluto cometidos na determinação desta área h Expresse a área em metros quadrados com os algarismos significativos certos i Como foi determinada a largura média da estrada 09 Um dos vários métodos de medida da constante de permissividade elétrica ε de um meio consiste em usar um par de placas paralelas de área A submetidas a uma diferença de potencial e separadas pelo meio considerado Um experimentador mediu a carga liquida em umas destas placas e encontrou 80 10 12 Q C com um erro relativo de 2 As placas são iguais e quadradas com dimensões lineares 1 2 100 005 cm ℓ ℓ e estão separadas por uma lâmina de acrílico de espessura 202 002 d cm A diferença de potencial entre elas foi medida em um voltímetro graduado de 05 V em 05 V e marcou em sua escala V 80 V Calcule o valor de ε para o acrílico e avalie seu desvio relativo e absoluto sabendo que Qd ε V A 10 A resistência R de uma associação em paralelo de dois resistores R1 e R2 é dada por 1 2 1 2 R R R R R onde 1 54 01 R Ω e 2 140 005 R Ω Calcule o desvio cometido em R segundo as regras praticas de propagação de erros no produto soma e quociente Resolva o mesmo problema usando a equação F F F F x y z x y z Compare os resultados III TABELAS As tabelas são de dois tipos Horizontal e Vertical Geralmente quando a experiência envolve muitas variáveis costumase construir uma tabela Vertical isto é costumase dispor os valores obtidos na vertical exemplo V Volts I Ampère T oC Cµ R Ω etc Quando poucas variáveis são utilizadas e o número de medida é pequeno podemse usar as tabelas Horizontais por exemplo V Volts I Ampères É de fundamental importância que se especifique nas tabelas as unidades das grandezas envolvidas Às vezes uma grandeza está expressa em uma unidade no sistema SI Volt por exemplo e a outra grandeza está expressa em unidades de outro sistema comprimento em polegadas por exemplo É necessário portanto fazer a conversão para um mesmo sistema para evitar erros As tabelas devem aparecer geralmente com as grandezas expressas no mesmo sistema de unidades IV GRÁFICOS Na construção de gráficos devem ser levados em conta os seguintes itens 1 Escala Vertical e Horizontal 2 Unidade das grandezas representadas em cada eixo 3 Quando possível lançar em gráfico o ponto após cada medida Isto possibilitará depois de uma serie de medida descobrir qual ponto contém um erro muito grande Tal medida deve ser tomada novamente 4 Além disso é fácil notar as regiões onde a curva apresenta picos e depressões Então é necessário tomar muitos pontos nessas regiões para que se incorra num erro mínimo Por exemplo suponhamos que no eixo das abscissas foram tomamos pontos de 2 em 2 duas unidades Na região de pico ou depressão devemos tomar pontos de meia em meia unidade ou em intervalos menores 5 Costumase as vezes colocar segmentos verticais e horizontais ou pequenos círculos em cada ponto com as dimensões do desvio cometido V LINEARIZAÇÃO DE CURVAS Os gráficos são usados em física para representar dados experimentais de um fenômeno físico A partir deles nós podemos obter uma visão mais global do fenômeno estudado e nos casos mais simples encontrar uma solução matemática Para que seja bem entendido um gráfico deve ser bem claro 1 Os nomes ou iniciais convencionais das grandezas representadas nos respectivos eixos 2 Especificar as unidades usadas também nos eixos e usar uma escala coerente com dados notar que as escalas horizontal e vertical são independentes 3 Com os dados representados devemos unilos por uma curva suave sem cotovelos pois a existência destas daria duas inclinações em um mesmo ponto do gráfico 4 O gráfico de mais fácil identificação e maior precisão é o da reta É de interesse então sempre que possível transformar os gráficos de curvas em gráficos lineares para mais facilmente analisálos e traçáIos Três funções aparecem frequentemente em Física Função Linear y Ax B 1 Função Exponencial mx y C e 2 Função não linear do tipo n y D x 3 onde A B C D m e n são constantes V1 Função linear O gráfico desta função é uma linha reta Logo se os dados obtidos de um experimento quando colocados em papel milimetrado dão uma reta o fenômeno estudado pode ser descrito por uma relação do tipo 1 onde 2 1 2 1 y y A x x e 0 B y ou seja a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y V2 Função Exponencial Traçando em um papel milímetro o gráfico da função exponencial é do tipo Agora tomando o logaritmo decimal da expressão 2 teremos log log log log mx y C e C mx e log log log y C m e x Fazendo log log log y Y C c m e f obtemos a expressão Y f x c que é uma relação linear Então se nós temos uma tabela de dados experimentais onde o gráfico do logaritmo de uma das variáveis contra a outra variável dá uma reta então o fenômeno físico atende a uma relação do tipo 2 onde 2 1 2 1 log log 0 log y y f x x c y x f m e Uma maneira equivalente de tratar o problema é usar um papel semiIog Escolhendo nas ordenadas uma escala logarítmica evitaremos o calculo dos logaritmos decimais de todos os valores de y o que se torna tarefa mais simples Obs Notar que em um papel logIog base 10 cada unidade de variação na escala logarítmica corresponde a dez unidades de variações na escala linear V3 Função não Linear do Tipo n y D x O gráfico desta função é da forma Aplicando ao mesmo raciocínio anterior temos log log log y D n x Fazendo log log e log y Y D d x X Obtemos Y n X d Por outro lado se nós temos um conjunto de dados tal que o gráfico de seus logaritmos dá uma reta então o fenômeno físico pode ser descrito por uma reta do tipo 3 onde 2 1 2 1 2 1 2 1 1 log log log log D y x y y Y Y n x x X X Para não ser necessário o calculo dos logaritmos podemos fazer o gráfico em papel loglog V4 Interpolação e Extrapolação Gráfica Frequentemente é necessário obter a partir de um gráfico de dados experimentais um ponto intermediário as medidas obtidas A isto se chama Interpolação Por outro lado quando queremos obter pontos fora do nosso intervalo de medida devemos fazer uma extrapolação Interpolar e Extrapolar subentendem obter uma estimativa da variável em um ponto não tabelado e isto então implica em se cometer erros Quando estamos trabalhando com grandezas que variam suavemente a interpolação gráfica pode ser bastante aplicada e a faixa de erro não seria então muito superior à faixa de erros das próprias medidas experimentais Mas quando nada sabemos do modo como variam as variáveis a interpolação se orna algo muito duvidoso e a faixa de erro se eleva bastante O caso da extrapolação já é mais difícil e a possibilidade de se incorrer em grandes erros se torna muito maior Podemos ver o exemplo da água O volume das substancias aumenta sempre com a temperatura No caso da água no entanto entre 0C e 4 C ela aume nta de volume Se tivéssemos uma tabela de dados experimentais que não inclusive o intervalo 0 4 C estimar um valor neste intervalo incorreríamos em erros muito grandes Os casos de interpolação e extrapolação gráfica devem ser usados principalmente quando temos conhecimento do comportamento físico das variaveis A interpolação pode ser linear ou não linear Os chamados Métodos Numéricos procuram basicamente achar um polinômio que mais se aproxima da curva em questão e assim determinar os pontos a serem interpolados Os erros introduzidos por estes métodos tornamse pequenos quando encontramos um polinômio que case perfeitamente com a curva estudada