Equilíbrio e Campo Elétrico em Grânulos e Esfera com Carga Volumétrica

Dois grânulos idênticos cada um com massa m e carga elétrica q são colocados dentro de uma tigela de raio R Considera a superfície da tigela sem atrito e não carregada eletricamente Quando os grânulos são colocados na tigela eles se movimentam até chegar a uma situação de equilíbrio onde ficam separados uma distância R ver figura a 5 pontos Desenhar o diagrama de corpo livre do grânulo da esquerda indicando todas as forças que estão agindo sobre o grânulo b 3 pontos Escrever as equações de equilíbrio c 2 pontos Determinar a carga elétrica de cada grânulo Gabarito a Diagrama de corpo livre a superfície da tigela exerce uma força normal n Fe força elétrica mg peso ΣFx Fe cos60 0 1 ΣFy n sin60 mg 0 2 c Carga elétrica de grânulo Da equação 1 temos que Fe n cos60 Da equação 2 temos que n mgsin60 Substituindo na equação 3 temos k q²R² mgsin60tan60 Daí que a carga elétrica é q R mg312 Question 6 Uma esfera de raio R tem densidade volumétrica de carga ρ Br para r R onde B é uma constante e ρ 0 para r R AJUDA em problemas com simetria esférica podemos usar que dV 4πr² dr a 3 pontos Determine a carga total na esfera b 5 pontos Determine as expressões para o campo elétrico no interior e no exterior da distribuição de cargas c 2 pontos Represente graficamente a magnitude do campo elétrico como uma função da distância r ao centro da esfera a 3 pontos A carga total na esfera é Q ₀R 4πr²ρdr 4πB ₀R r dr 4πB R¹r₀R 4πB R²2 2πBR² 2 b 2 pontos O módulo do campo elétrico é E 14πε₀ Qr² 2πBR²4πε₀r² BR²2ε₀r² para r R campo de uma carga puntiforme Q localizada no centro da esfera Na esfera r R o módulo E do campo elétrico é dado pela lei de Gauss S EdS Qε₀ ₀S Er² dr ₀R 4πρ dr onde S é a área de uma superfície gaussiana também esférica Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica ρ só depende de r E também só depende de r Além disto a integral que dá a carga interna à superfície gaussiana é formalmente idêntica àquela calculada no item a Assim 4πE r² 1ε₀ 2πBr² E B2ε₀ Assim 5 c 2 pontos E como função de r onde o eixo vertical é EB2ε₀ e o eixo horizontal é Rr Um quadripolo elétrico pode ser formado por quatro cargas dispostas ao longo de um mesmo eixo duas positivas na origem e duas cargas negativas nas extremidades como ilustrado na figura ao lado O Modelo de Thomson do pudim de passas para o átomo de hélio consiste em considerar a carga positiva 2e uniformemente distribuída em uma esfera de raio R densidade de carga ρ 3e2πR³ Por outro lado as cargas negativas elétrons se encontrariam diametralmente opostas a uma mesma distância d do centro da esfera ver figura a 5 pontos Calcule o campo elétrico no ponto x d y 0 devido à esfera uniformemente carregada b 3 pontos Calcule a força total no elétron posicionado em x d c 2 pontos Qual o valor de d para que o sistema esteja em equilíbrio Gabarito a Aplicando a Lei Gauss para o campo elétrico de esfera uniformemente carregada a uma distância r do centro r R E 4πr²E3ε₀ 43ρr² 433e2πR³r² e2πR³r² No ponto xd y0 E ed2πε₀R² b A força total é igual à soma da força exercida pela esfera mais a força exercida pelo outro elétron Ftotal eE e²4πε₀ 12d² i e²2πR³ i e²16πε₀d² e c Para que o sistema esteja em equilíbrio a força total em cada elétron deve ser nula Ftotal e²16πε₀d²1 8d³R³ 0 a 6 pontos Calcule o campo elétrico para um ponto arbitrário do eixo y e positivo Escreva sua resposta em notação vetorial b 2 pontos Qual o valor do campo elétrico no eixo y e para d 0 c 2 pontos Qual o valor do campo elétrico em um ponto do eixo y muito distante do quadripolo lembre que 1 ε32 1 frac3ε2 para ε 1 Gabarito Vx QEL0 MVy Ps Note que não enunciado do exercício era pedido que as respostas fossem expressas em termos de Q M E L0 H e Vy 1 Do movimento vertical após a gota ter deixado as placas temos Vy H t t H Vy Assim após ter saído do selecionador encontramos Vx Dx t Dx QEL0 MVy Vy Dx QEL0H MVy2 a Campo elétrico total No vácuo duas partículas com carga Q são fixadas a uma distância 2a uma da outra sobre o eixo y veja figura a 3 pontos Determine o potencial elétrico devido a essas cargas ao longo do eixo x da figura b 4 pontos Uma terceira partícula com carga q e massa m é colocada sobre o eixo x a uma distância d das outras duas Em seguida essa partícula é solta e pode começar a se mover Determine a energia cinética dessa terceira partícula em função da distância a origem dos eixos coordenados c 3 pontos Usando a expressão encontrada no item a determine partícula de massa m vecE vecE1 vecE2 vecE3 fracq4pi epsilon0 leftfracy hatj dhatiy2 d232 fracyhatj dhatiy2 d232 2fracyhatjy3right Em um gerador de Van de Graaff similar ao usado no laboratório a cúpula esférica tem um raio de R e inicialmente não tem carga elétrica líquida Idealize modele a cúpula como uma esfera neutra de raio R Após ligarmos o motor a correia transporta cargas positivas até a cúpula Justifique sua resposta em todos os itens a 3 pontos Determine o campo elétrico E fora da cúpula em função da distância ao centro da cúpula b 3 pontos Calcule o potencial V fora da cúpula em função da distância ao centro da cúpula assuma que V 0 c 2 pontos Considere a cúpula como um capacitor esférico cuja casca esférica externa tem raio infinito e potencial zero Determine a capacitância d 2 pontos Qual o trabalho realizado pela correia para carregar a cúpula quando o campo elétrico próximo da superfície da esfera se aproxima do campo crítico Ec quando ocorre a descarga elétrica que você observou no laboratório Rightarrow vecE fracq2pi epsilon0 y2 left1 frac11 d2y232right hatj Question 8 Considero o circuito da figura ao lado O amperímetro considerado ideal mede uma corrente de 150 A no sentido mostrado na figura a 5 pontos Qual o valor da FEM A polarização mostrada na figura está correta b 5 pontos Qual a corrente no resistor de 150 Ω I1 I3 I2 I1 150 A Malha à esquerda 75 V 12 Ω I1 48 Ω I2 0 I2 75 12 I1 48 I2 11875 I3 I2 I1 11875 150 I3 03125 A O sinal indica que a corrente passa de cima p baixo no resistor de 150 Ω Malha à direita E 48 I2 15 I3 0 E 48 I1 11875 15 03125 E 523 V Como E 0 a polarização mostrada na figura está correta b Para d 0 Question 8 No circuito indicado na figura os capacitores estão inicialmente descarregados Considerando a resistência interna da bateria e do amperímetro desprezível em relação às demais resistências do circuito calcule a 4 pontos a corrente medida no amperímetro no instante em que a chave é fechada b 2 pontos a corrente medida no amperímetro depois que os capacitores estiverem completamente carregados c 4 pontos a carga acumulada no capacitor de 20 μF no tempo t LEMBRETE no instante t 0 a corrente que passa pelos capacitores é máxima enquanto que para t a corrente será zero vecE 0 como esperado pois todas as cargas se encontram na origem resultando em uma carga nula c a corrente que passa pelos resistores em t foi determinada no item b A diferença de potencial entre os pontos a e b é dada pela lei de Ohm Vab 50 I 50 100 165 Essa será também a diferença de potencial no capacitor pela lei das malhas 20 x 10⁶ Vab Q Q 2 x 10⁶ 5 x 10³ 165 Q 606 x 10⁴ C c Para d y Question 8 No circuito mostrado ao lado o resistor de 90Ω está consumindo energia a uma potência de 36 Js e a corrente que passa por ele tem sua direção indicada na figura a 5 pontos Qual a corrente no amperímetro considerando como ideal b 5 pontos Qual o valor da FEM ε E 2SV 90ΩI₁ 30ΩI₂ 0 E 2SV 9Ω20A 30530V E 7V 53V 46V vecE approx frac3q4pi epsilon0 fracd2y4 hatj Question 8 O capacitor indicado na figura está inicialmente descarregado a 4 pontos Qual a corrente que passa através de cada resistor imediatamente após a chave ser fechada b 2 pontos Qual a corrente que passa por cada resistor depois que o capacitor está completamente carregado c 4 pontos Qual a carga final do capacitor LEMBRETE no instante t 0 a corrente que passa pelo capacitor é máxima enquanto que para t a corrente será zero Question 7 b t I₃ 0 I₁ I₂ I E I₄ R₁I I ER₄ R₁ VC R₂I i Q C VC QC R₂ ER₁ R₂ i Q C R₂ ER₃ R₂ A figura mostra três partículas carregadas situadas sobre um eixo horizontal Question 9 Considere um capacitor de placas paralelas semelhante ao utilizado no experimento 2 Para um espaçamento entre as placas de 600 003mm a capacitância medida foi de 300 06pF A área de cada placa é de 2 10⁴mm² e você pode desprezar a incerteza dessa medida Você pode utilizar sem prova o fato de que o campo elétrico entre as placas é constante E σε onde σ é a densidade superficial de carga e ε é a permissividade do meio a 5 pontos Estime a permissividade do meio bem como sua incerteza Justifique sua resposta b 2 pontos Foi colocado entre as placas um saco plástico com água A nova capacitância medida foi de aproximadamente 2400pF Qual a constante dielétrica da água c 3 pontos Sabendo que a molécula de água tem um momento de dipolo elétrico permanente explique porque a constante dielétrica da água é 20 vezes maior que a do gelo a 5 pontos Calcule o potencial elétrico Vr para pontos como P sobre o eixo e com r d Inutiz σE² Σi Exi² σxi² ES CA EC σA E 1A Σσi²εi² Σσj²ci² ε σE 19 10¹³ Fm ou σE 2 10¹³ Fm Resp E 900 019 10¹² Fm ou E 970 02 10¹² Fm Consistente dielétrica K K εε0 CC0 capacitânciadielétrica 2400pF30pF K 80 Adimensional c A existência do momento de dipolo elétrico permanente das moléculas de água independe dos seus estados físicos sólido ou líquido No entanto no estado líquido essas moléculas são livres para se movimentar e consequentemente quando colocadas em um campo elétrico podem facilmente se alinhar paralelamente ao campo aplicado devido ao torque produzido pela força elétrica O resultado é o surgimento de um campo elétrico no dielétrico que afeta o campo aplicado e o campo elétrico que surge devido ao deslocamento das moléculas é muito mais intenso na água do que no gelo devido à mobilidade maior na água resultando em um constante dielétrica maior aí b 3 pontos Calcule o campo elétrico em P Question 9 O gerador de van de Graaff utilizado no experimento 1 tem uma cúpula de 1001 01 cm de raio Considera a cúpula como um capacitor esférico cuja casca esférica externa tem raio infinito o potencial zero Considera a permissividade do ar como 9pFm despreza a incerteza nesse valor a 6 pontos Qual a capacitância e sua incerteza Você pode usar sem demonstrar que para distâncias r ao centro da cúpula maiores que o raio da cúpula o campo elétrico será E 14πε₀r² b 4 pontos Quando aproximamos a esfera metálica aterrada e inicialmente neutra do eletroscopio percebemos uma força de atração entre os dois Explique porque isso acontece ΔV R EdI R Q4πε₀r² dr R Q4πε₀r² dr Q4πε₀R Assim C QΔV 4πε₀R Observações Como indicado no enunciado não é necessário encontrar o campo elétrico a partir da lei de Gauss podemos assumir como dado Quem fez a dedução não perdeu nenhum ponto mas também não ganhou Se você fizer ΔVEd e depois substituir d por R encontrará o mesmo resultado para C Todavia isto é conceitualmente errado e tal desenvolvimento não será considerado Outra alternativa mais esdrúxula ainda é partir da capacitância de um capacitor de placas paralelas C ε₀Ad e substituir A pela área da cúpula e d pelo raio R O resultado final dá o valor correto de C Esse desenvolvimento estapafúrdico também não será considerado anulando completamente a nota do item Incerteza na capacitância Fazendo a propagação de erros σC CR² σR² Numericamente teremos C 4π9pF m¹10010110² m 113 01pF b O eletroscopio estando conectado à cúpula está carregado negativamente Quando aproximamos a esfera do mesmo os elétrons da esfera são repelidos pelo eletroscopio Como a esfera não está isolada vários elétrons migram para a terra deixando a esfera com carga líquida positiva Isso faz com que haja uma grande força de atração entre o eletroscopio carregado negativamente e a esfera agora carregada positivamente por indução pela aproximação osciloscópico c 2 pontos Esboce o gráfico do potencial elétrico ao longo do eixo que liga as 3 cargas assuma que V 0 Encontremos um capacitor de placas paralelas em que uma das placas está ligada à terra e a outra está ligada a um eletroscópio de folha como na figura ao lado O eletroscópio foi carregado inicialmente com uma carga Q Cada folha do eletroscópio mede 6 cm e tem massa 200mg desprezase a incerteza nesses dados Considere k 9x109Nm2C2 e g 10ms2 a 7 pontos Foram efetuadas três medidas do ângulo entre as folhas 86 89 e 92 Baseado nesses dados determine a carga em cada uma das folhas do eletroscópio bem como sua incerteza b 3 pontos Se você diminuiu a distância das placas do capacitor o ângulo entre as folhas do eletroscópio aumentou ou diminuiu Justifique suas respostas O potencial no ponto P é dado por Na tabela estão apresentados os dados medidos no laboratório para a distância das placas do capacitor de placas paralelas e a capacitância medida A incerteza das distâncias é o erro da régua usada 05mm e a incerteza da capacitância é dada na tabela A área de cada placa é de 2 x 104mm² e você pode desprezar a incerteza dessa medida Finalmente você pode utilizar sem prova o fato de que o campo elétrico entre as placas é constante E σε onde σ é a densidade superficial de carga e ε é a permissividade do meio a 4 pontos De que forma o capacitor do experimento não pode ser considerado ideal Qual deveria ser o efeito dessas imperfeições na relação entre capacidade e distância Justifique suas respostas b 3 pontos Usando o papel milimetrado na próxima página faça o gráfico da capacitância pelo inverso das distâncias medidas c 3 pontos Usando o gráfico feito no item anterior estime a permissividade do meio bem como sua incerteza Justifique sua resposta VP sum Vir fraclr d frackr d Continuação do espaço para a questão 9 C pF σC pF w 1d nm¹ σw mm¹ 56 9 050 013 38 8 029 004 34 8 022 002 18 018 002 c como a tabela trata do valor médio C Cmedium εAd A melhoria da meta da reta é igual a εA limitando os lados de ver σmax 55pF² 180pFkmm σmin 25pFmm¹ 50pFmm A mm E αA 4045pFm Na situação em que r d temos Vr approx fraclr frackr fraclr fraclr b O campo elétrico em P pode ser encontrado por vecEr k sum fracqir2 hatj khatj leftfracqr d2 fracqr2 fracqr d2right vecEr kqhatj leftfrac1r d2 frac1r2 frac1r d2right Question 7 Um selecionador eletrostático de células biológicas produz a partir da extremidade de um funil um jato de gotas com velocidade V0 constante Despreze a aceleração da gravidade As gotas contendo as células que se quer separar são eletizadas As células selecionadas do tipo K em gotas de massa M e eletrizadas com carga Q são desviadas por um campo elétrico uniforme E criado por duas placas paralelas carregadas de comprimento L0 Essas células são recolhidas no recipiente colocado em PK como na figura Para as gotas contendo células do tipo K utilizando em suas respostas apenas Q M E L0 H e V0 determine a 4 pontos A aceleração horizontal Ax dessas gotas quando elas estão entre as placas b 4 pontos A componente horizontal Vx da velocidade com que essas gotas saem no ponto A da região entre as placas c 2 pontos A distância Dk indicada no esquema que caracteriza a posição em que essas gotas devem ser recolhidas