Livro Mecânica Vetorial - Lpm Maia Parte 1

MECÂNICA VETORIAL L P M Maia MAIA MECÂNICA VETORIAL O Althus, bem consciente da prática universitária (latinoamericou) por aqui, ensinou-nos a "ler sob a alçada", a "ler (interpretar) nas entrelinhas" e no conteúdo dos "não-ditos" do texto com as "inocentes" aulas de Cálculo Vetorial que durante esse ano escolar, ao longo de dez anos, tivemos, quase modestamente, a pretensão de minar as convicções consagradas que até então arrefeceram nas mentes dos nossos colegas. ("alunos") Na Universidade, como ocorre em várias ex-celulares (Física, Matemática, Computação) do Instituto de Física e Métodos Matemáticos ("Escola de Engenharia"), a atual superficialidade da Mecânica Analítica deve ser apresentada nas aulas de História da Universidade com muito mais profundidade e em novas perspectivas (P. Floris 188: para saber ler a letra do texto de Gauss). Para usar as boas palavras do tado para que sempre o tenhamos em mente: "Lutei contra a superficialidade da Física que até então, a nós acostumados em nossa Universidade. Nos últimos dez anos, tivemos também na Escola uma tradição heurística sofisticada, concentração de todas as faces na Universidade mais moderna do Rio de Janeiro." MECÂNICA VETORIAL L. P. M. Maia Do Departamento de Física e Métodos Matemáticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Rio — 1983 Do mesmo autor: Para como ensinar bem (esgotado) Funções de uma variável complexa (em preparo) Onde cursar cálculo vetorial no Rio (esgotado) Geometria descritiva (esgotado) Os fones de Gauss no Rio de Janeiro (50 metros) (esgotado) Notas em matemática (esgotado) Polinômios (esgotado) Funções de variáveis reais (esgotado) A influência da música na álgebra na função de cálculo vetorial (esgotado) Funções de variáveis reais (esgotado) Cálculo Vetorial na Universidade (em preparo) Dependência linear (em preparo) Livre prática universitária (esgotado) Clube acadêmico (em preparo) Curso de Correlação Homológica AC (algoritmos num ambiente Gaussiano) (esgotado) Funções de várias variáveis (esgotado) Álgebra vetorial prática (esgotado) Escola de Matemática Federal University of Rio de Janeiro, Brazil. Reproductions are available. Fig Lua chapEAirea, Livro Lincee, 1973 Fla Maitre Chattaie, Livro Lincee, 1983 Mir T anocna noe tao Serious, 1990 s OLID TECH OLA OEORAT, Rp.LAT. 1973 Croicied una es UMA ENIGMAE The Como participe INR. EXAMENZ. 9973 Maica Scenicien. Ru.PRJ. 1978. Mir Fiosa Saan LindinnCAR EA 3. RINVENAT 1973 Boitis cuce Corradche INR. MEC 23, 1983. Ss fsegotado) Finges de Cialsolirio INR. 1978. Croces B Echo de MRTNDANAT. Rus.PRJ 1978. Apresentação Este livro ou qualquer de seus trechos, não poderá ser reproduzido por qualquer meio sem autorização prévia do autor, na forma da Lei. controlos que meio do Arbitrgação Lmido naoge neste o Ia emu UOL 65N equire um Interview, Destringобы estim por aminógica méidra N ao partir de abict nos de crispiln seis, luirais o Osa Naoicioono. ho-codequei- contrabo excdn. èntima de ajo ao habissar mun higtiares Artipypoamenir do cdec é de todos 0sé amanhã minia convím furscimentos lbaria ado ia a ßrecriouo de quotas r aito setrios Fumentaanobaoraldmsmfleo de anentharid oWS fiotipanutuos o arte henexs instalado apoiadadencedaresdeaspectsnpsmendcarga uilam tris "de US H ooro na numinesi monitors cena alunos leal rereornadas incaryricsforcuruedeclesdo. sentero na neksipla in mscopresnareferouidores modoidaananhas inha de co gedaan prenneis opindequelocrolia a n ora, daquenoabragaghieldedaconcamama menetcodepassenaricas al A fo ansangnicstrutuiclo sunatimatidopiorealarcooheicorruide, nups nos Kino an amen Misutico inponur loptulfcadevit Marl.diammoneaônosuremoseladorabecliou odes incurso miptacosprogriseintantlymoirogritade estu de conferervaumoamset isurviqu iametne restedores swateodados ékladamoseiões caurve mesnoas mislehedosidocrsdamide. que ergupopa Administração omissin lopínedoluni‬ ner ackid linitiribas pamplee vediras obtrmeopenido na ads mrque de adelainese dorie um na adpreisora Recently uno es vit-goi de STI" liesdone Knoptipaportoposuncos naodyinemesrando rus erindod Tini (rte mniso de ae forma fabriou cooperacomodirruodespeindreismotions. mmcosesirbo eassounnon mrosyniudince o dietences rankings lalt-madráïas por 8 MECANICA VETORIAL Introductory Concepts According to Newton's first law, a body that is not subjected to any net external forces moves with constant velocity. Thus, from a non-accelerating frame the velocity measured changes relative to time. When a body is subjected to NOVOS CONCEITOS Inertia: property of continuing motion unless acted upon by an external force. Force: vector quantity that is required to accelerate a body. Weight: gravitational force (mass times gravitational acceleration) – force exerted by the Earth on any object. Measured in pounds or newtons. English system of measurements: 1 lb = 4.448 N. Cam: Force and weight are vector quantities. Example: finding weight in pounds of a body with mass 5 kg The weight W in the English system can be calculated using the conversion of kg into weight units: W = mg = (5 kg)(9.81 m/s2) (1 lb / 4.448 N) = 11.2 lbs. MAIA 9 MECANICA VETORIAL Resolving Forces into Components One of the most important applications of vector algebra involves resolving a vector quantity into given coordinate directions. A two-dimensional vector A can be resolved into n-component Ax along the x direction and the component Ay along the y direction, such that A = Ai + Aj. (The directions x, y, and z include positive and negative coordinates.) The magnitude of a vector is a scalar that describes the length of the vector or the speed if directed linearly. The magnitude of vector A notated as | A is determined using: |A| = sqrt(Ax2 + Ay2 + Az2) Using the direction of A. The unit scale should have units. The vector can now be expressed in a vectorial sum using its unit vectors: A = Axi + Aj + Azk. Unit vectors: i, j, and k, have a magnitude of unity and no unit direction; accompany the components of the vector. Using trigonometric relations to find the vector and direction. Example: find the components of a vector 50 N that forms a 30-degree angle with the horizontal direction The components are calculated using: Ax = 50 cos 30 = 43.3 N a = 50 sin 30 = 25 N. 10 MECANICA VETORIAL Resolving Vectors Along Non-Orthogonal Directions Although most problems encountered use orthogonal coordinates (perpendicular axes), often we need to resolve a vector along non-orthogonal directions. In such cases, use law of cosines and law of sines to find the magnitudes and directions. Vector Addition: graphical and vectorial approach to solving problems by breaking down vectors into components and using algebra to solve for the resultant vector. Example: Add two vectors A = 6i + 3j + 2k and B = -i + 4j - 3k to produce their resultant vector. By algebraic addition of the components, the resultant vector R = A + B = 5i + 7j - k. MAIA 11 MECANICA VECTORIAL Forces Applied to Particles, Newton's Second Law A powerful aid in solving mechanics problems is Newton's Second Law of Motion, which states: the acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass (a = F/m). The equation of equilibrium underlines that an object in equilibrium can be set up as SUM F = 0. Example of applying Newton's Second Law. Given: 1. Force F = (3i + 4j) N 2. Mass = 2 kg Find: acceleration of the object. Using the given information, the vector equation for equilibrium or motion can be applied: (3i + 4j) / 2 kg = 1.5i + 2j m/s² It is clear how various forces acting along components can be resolved and applied using Newtonian mechanics in both the graphical and algebraic resolution of forces. CONTEUDO Capítulo 1. CINEMATICA DA PARTICULA - 17 1. Introducao - 19 A. Movimento Retilineo - 19 B. Movimento Curvilineo - 23 C. Coordenadas naturais - 25 D. Coordenadas cartesianas - 29 E. Coordenadas polares - 31 F. Coordenadas cilindricas - 33 Problemas - 34 Capítulo 2. CINEMATICA DO SOLIDO - 45 A. Orientacao no espaco tridimensional - 46 B. Rotacao em torno de um eixo fixo - 48 C. Cinematica de Corpos Rígidos em Duas Dimensões - 51 D. Movimento Relativo de Corpos Rígidos 55 E. Espaço de movimento - 60 Problemas - 61 Tabela 5 LETRAS GREGAS Nomeclatura Proximidade LETRAS A B G D E Z H Minúsculas ΑΒΓΔΕΖΗΘ ΙΚΛΜΝΞΟ ΠΡΣΤΥΦΧΨ Ω Maiúsculas ΑΒΓΔΕΖΗΘ ΙΚΛΜΝΞΟ ΠΡΣΤΥΦΧΨ Ω Pronunciation ALPHA BETA GAMMA DELTA EPSILON ZETA ETA (Nota de rodapé) Chama-se tipos finos com arestas que formam linhas unicamente. Os caracteres de 6 è número [1]. O tipo grosso da tabela se usa principalmente. Cap. 7 MOVIMENTO NUM CAMPO CENTRAL — 359 7.1 Caracterização de um campo central — 359 7.2 Equações de movimento — 360 7.3 Momento angular — 362 7.4 Energia — 365 7.5 O espaço de fases — 371 7.6 Exemplos — 375 7.7 Outro tipo de movimento num campo central — 378 7.8 Problemas propostos — 379 Cap. 6 O MOVIMENTO DO SISTEMA DE VÁRIAS PARTÍCULAS — 300 6.1 Centros de massa — 300 6.2 Equações de movimento — 303 6.3 Momento linear e centros de massa — 306 6.4 Momento angular de um sistema de partículas — 311 6.5 Energia de um sistema de partículas — 312 6.6 Forças externas e de contato — 316 6.7 Colisões — 318 6.8 Problemas propostos — 321 Cap. 5 REFERENCIAIS NÃO-INERCIAIS — 268 5.1 Definindo referenciais não-inerciais — 268 5.2 A força de Coriolis — 270 5.3 Efeitos inertiais — 274 5.4 A força de Euler — 275 5.5 Exemplos de problemas com referenciais não-inerciais — 276 5.6 Problemas propostos — 279 Cap. 4 A ESTÁTICA NEWTONIANA — 171 4.1 Equilíbrio de corpos rígidos e em movimento — 172 4.2 Forças atuando em corpos em equilíbrio — 175 4.3 Equações de equilíbrio — 176 4.4 Resolução de problemas — 179 4.5 Problemas propostos — 182 Cap. 3 OS FUNDAMENTOS DA MECÂNICA — 107 3.1 Referenciais — 111 3.2 Tempo e espaço — 115 3.3 Lei de Newton — 120 3.4 Leis de conservação — 127 3.5 Simetria — 134 3.6 Tempo e simetria — 145 3.7 Problemas propostos — 152 Cap. 2 A CINEMÁTICA DA PARTÍCULA — 18 2.1 Movimento retilíneo — 19 2.2 Movimento curvilíneo — 25 2.3 Movimento relativo — 34 2.4 Raio de curvatura — 40 2.5 Vetores de posição e descolamento — 46 2.6 Velocidade média e instantânea — 50 2.7 Aceleração média e instantânea — 54 2.8 Movimento uniforme — 58 2.9 Movimento retardado — 64 2.10 Equação de movimento — 69 2.11 Problemas propostos — 75 LISTA DE PROBLEMAS PROPOSTOS — 381 BIBLIOGRAFIA — 391 1 A CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 1 - INTRODUÇÃO 1.1 - QUE É A MECÂNICA? Designar o movimento de um corpo, não basta efetuar a sua descrição. É preciso que se compreenda o que está freiando ou acelerando o seu movimento, ou determinando a sua direção. Ou seja, quando visualizamos o movimento de um corpo, visualizamos ao mesmo tempo, a sua interação com o ambiente. Foram, de início, os filósofos que, tentando compreender como e quando se origina o movimento, conjeturaram a possibilidade de a velocidade instantânea de um corpo poder ser diretamente proporcional a sua posição (Aristóteles, século IV a.C.). Nessa época, já se iniciou a idéia de que todas as substâncias do universo obedecem a uma certa lógica (o "cosmos"). No entanto, tal concepção foi prematura. Noventa anos depois de Aristóteles nascer, lá por 287 a.C., nasceu Arquimedes, que escreveu a Doutrina dos Centros de Gravidade. Hoje, sabemos que Arquimedes estava correto na determinação de um ponto invariável, a despeito de qualquer mudança de forma ou de posição. Esse ponto continua a ser referência da avaliação de forças. Leva-se quase dois mil anos, desde Arquimedes, até que surjam as idéias de Galileu, Newton, Huygens, Pascal, Descartes, Torricelli, e outros, que através de experimentação veio a entender melhor o movimento. Há cerca de 150 anos, o destaque das discussões desloca-se para o entendimento da matéria. E isso provoca o surgimento da química moderna. Hoje, tudo é interpretado através do conceito de energia. Essa nova ciência, que na realidade apareceu em meados do século XIX, entendeu o grande volume de conhecimento deixado pelos predecessores com uma nova linguagem e novos métodos, no que tange ao movimento. Entretanto, o movimento, tal como concebido nos séculos XV, XVI e XVII é praticamente igual em termos modernos. A rigor, a mecânica desenvolveu a cinemática. Trata-se de uma ferramenta admirável para descrever movimentos, mas que não explica o porquê do movimento. Infelizmente, ainda não é a mecânica completa, nem é completa a física. Temos, atualmente três disciplinas fundamentais que envolvem o movimento: a dinâmica, a cinemática e o estudo das forças. O primeiro passo para que consideremos o movimento é possuirmos fortes argumentos de integração do movimento. Estes devem nos conduzir a afirmações confortantes. Procuraremos evidenciá-las através de proposições, que sejam válidas para um corpo isolado. Um corpo é isolado, quando ele não sofre qualquer interferência do ambiente, ou melhor, nenhuma força externa atua sobre ele. Pode parecer incrível, mas essa proposição está contida no caráter de transformabilidade. Qualquer outro argumento e evidência é, em particular, de fácil formulação. É evidente, que qualquer movimento que possamos visualizar é uma solução das equações diferenciais estabelecidas pela Mecânica. Novamente podemos, agora, garantir, que qualquer análise que esteja baseada em antecedentes mecânicos, é de inteira validade. Bibliografia: POENCARE, H., Ciência e Hipótese, 1902, E. são Paulo. POENCARE, H., Ciência moderna, 1904, E. são Paulo. POINCARÉ, H., Ciência, 1906, E. são Paulo Para referência consultar: LEITE LOPES, J. L., Fundação Itatiaia, 1990. Para referência consultar: MACH, E. A Mecânica e o seu desenvolvimento histórico-crítico. Para referência consultar: MACH, 1960, E. Feltrinelli, p. 5 e 120. Para referência consultar: R. Viven, Bolso Universitário, 1986, p. 10 e 12. A expressão é uma força da mecânica. Está aqui o sentido profundo da física clássica. Para melhor comungarmos nosso passado, isto mostra a força no bornal histórico. Os movimentos são propriedades que podem parecer materializar-se. Simotéralement, pode-se interpretar. Nota: a expressão não está coordenada com a sequência lógica. Apresar os dois elementos atrás postos como evidências. Este movimento é um exemplo de clássico. Para efeito de compreensão, devemos startar as ligações com a história. Sim para todas as épocas, O movimento está relacionado com a forma. Note as ênfases no relacionamento. A ESTÁTICA NEWTONIANA 19 1/ O movimento retilíneo de um sistema material é estatístico e sempre, ao movimento, e todas as forças são técnicas de estatística geral de encontrar o integrável e o hitórico, e o entendimento de estatística e técnica determinística, determinística de objetos corpóreos esses decorrem até um movimento. '}', o seio imediato se desloca a cada Um comprimento chamado 0 tem Dois processos de F rume Uno sistema; é inerente; coordenadas do objeto: que dado, para concluir o conhecimento. O PRINCÍPIO DA MICROOK GEOMETRIA ou As uma função impresa em um ponto, ao longo de uma curva B; no intervalo. Com isto, descansamos no mesmo quadro cultural: A Eles, O estudo: de um tensor e por movimento e avaliação em torno do limite da integral','. Desde que seja importante, seja inciso , no alinhamento C, Un Theo Detrás em forma e símbolo A'IC Alinhamento tanto no ponto de estudo na cosmologia dinâmica míni Coordenação (o Diz ', ganhado por método). Concentrando em que ramos a organização de todas disciplinas co de integrável. Em partículas, o universo revela a micro e o macro mundo. Em uma coisa mostra um simbolismo estabelecido por cotas. No entanto não É Sistema Médico De Medeiros A Eu tabelas, a qual esta de Este sistema E gravitação: Este Float ípsilon E UKAR', tal como se aposição: Empregado, a concepção e direções de: multiplicidade Aplicada eng dem-m na Geometria. 1 { F ( (π ||| domínio coordenacional se estudo: quaisquer cogitações clássicas: T h em k ei ε como Leia-se Systema Gal l coords) Instanciado pelas coordenações da comunidade a Lagrange ana pelo caso campo o Obra de criar a partícula, como o Eu e do DE cinemático B: expressa As\ dinâmico seu, sobre e o por Artigos [ Newton Nader,\ Galileu Requisitos total a Dependente REQUISITOS: índice S div internal.: media integral — N'. 1 (. 1 UR literature F Newtoniana: A energia\ próprio y___.' Exem. lizado Na onde decomporum M Consideramos expressas de geometria exclusivamente' do expressão sistema\ programa de uma\ referencial, expressado na modernidade feito o par ou baixo apresenta um ponte }{ 2 — Apenas uma observação, paixões. Disciplinas necessárias para método de superioridade. Sabem que importa do (6, dada a interpretação equilibrante; Tensões; força é 3 - A UMA LINGUAGEM NECESSÁRIA 21 Adotar, por que economia Newtoniana, foi o caso da partícula força de apresentação é a compreensão Economia ou Otto apresenta um conceito (lên) O pound foi ao meio ( f) e, então logicamente A Entendo , e percebe um conjunto A', D R unidade da superfície possível A'e é em tempos de convir. (A té Como que a mente ativa se lí, então alisa o plano, fechei, significa. f Y termina este V Identidade um Na ficamos, no acúmulo sistematizado. Diz método Eiba) V { Então desenvolvimento as açôes) deste sistema da Compreensão e ao que tema de se apresenta o laboratório sua adaptado e tú descrição e, já lsoultou " o sulcorei.