Estudo da Reta Sob o Ponto de Vista Vetorial - Engenharia Civil

G ACV ENGENHARIA CIVIL 2 º SEMESTRE DE 202 2 PROF ª BARBARA LUTAIF BIANCHINI ESTUDO DA RETA SOB O PONTO DE VISTA VETORIAL Neste tópico estudaremos do ponto de vista vetorial algumas noções relacionadas ao objeto geométrico reta 3 1 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Consideremos no espaço um sistema de coordenadas ortogonais O i j k a reta r que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor v 0 como mostra a figura 1 O vetor v é denominado vetor diretor da reta r Figura 1 Reta no es paço Para que um ponto X do espaço pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AX e v sejam linearmente dependentes Assim para cada X tomado na reta teremos um vetor AX Fi xando um desses pontos X podemos dizer que o vetor AX e o vetor v têm mesma direção logo existe λ R tal que AX λ v Dessa forma para cada ponto X da reta r temse um valor para λ e quando λ percorre o conjunto dos números reais o ponto X perc orre a reta r Como OX OA AX AX OX OA então da equação AX λ v vem que OX OA λ v com λ R é a equação da reta na forma vetorial Exemplo 1 A equação vetorial da reta que passa por A 1 1 1 e tem a direção do vetor v 2 3 4 é dada por OX 1 1 1 λ 2 3 4 com λ R Fazendo λ2 por exemplo teremos o vetor OX 3 5 7 com o ponto X 3 5 7 pertencente a reta r Se fizermos λ43 por exemplo obteremos o ponto X 96139182 que também pertence a reta r Já o ponto 7 9 10 não pertence à reta r porque não encontramos nenhum valor real para λ que satisfaça a equação 7 9 10 1 1 1 λ 2 3 4 pois 7 9 10 12λ 13λ 14λ conduz ao sistema 712λ 913λ 1014λ λ3 λ 10 3 λ 9 4 O que é absurdo porque λ é único para cada ponto da reta Se a reta r for determinada por dois pontos distintos A e B a direção de r será dada pela direção do vetor AB ou BA e a equação vetorial da reta r será OX OA λ AB ou ai nda por OX OA λ BA com λ R Os vetores AB v ou BA v são denominados vetores diretores da reta r Exemplo 2 A equação vetorial da reta que passa por A 1 2 3 e B 0 1 5 tem vetor diretor AB 1 3 2 ou BA 1 3 2 isto é OX 1 2 3 λ 1 3 2 ou OX 0 1 5 λ 1 32 ou OX 1 2 3 λ 1 3 2 ou ainda OX 0 1 5 λ 1 3 2 que são representações diferentes para a mesma reta r Os ângulos diretores de uma reta r são os ângulos diretores do vetor diretor dessa reta Assim os cossenos diretores de uma reta são os cossenos diretores do vetor diretor dessa reta já estudados anteriormente 3 2 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Sejam X x y z as coordenadas de um ponto genérico qualquer da reta r A x 0 y 0 z 0 um ponto dado da reta r e v a b c u m vetor não nulo de direção paralela à reta r Da equação vetorial de r OX OA λ v com λ R vem x y z x 0 y 0 z 0 λ a b c x y z x 0 y 0 z 0 λa λb λc x y z x 0 λa y 0 λb z 0 λc Logo r x x 0 λa y y 0 λb z z 0 λc com λ R e a b c não to dos nulos v o As equações assim definidas são chamadas equações paramétricas da reta r em relação ao sistema de coordenadas fixado e λ é chamado parâmetro Exemplo 3 D a equação vetorial da reta r OX 1 1 1 λ 2 3 4 do exemplo 1 temos x y z 12λ 13λ 14λ Logo r x12λ y13λ z1 4λ com λ R No caso da reta r ser definida por dois pontos A x 0 y 0 z 0 e B x 1 y 1 z 1 temos AB x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 e as equações paramétricas de r serão r x x 0 λ x 1 x 0 y y 0 λ y 1 y 0 z z 0 λ z 1 z 0 com λ R Não esquecendo que para determinar essa equação também poderia ser utilizado o ponto B e ainda o vetor BA Exemplo 4 retomando o exemplo 2 dado a nteriormente temos A 1 2 3 B 0 1 5 e AB 1 3 2 Portanto as equações paramétricas de r são r x1λ y23λ z3 2λ com λ R Cabe observar que tanto a equação vetorial quanto as equações paramétricas não são determinadas de modo único pois dependem da escolha de A de v e do sistema de coordenadas o que significa que podemos ter equações diferentes para a mesma reta Exemplo 5 as equações paramétricas da reta r do exercício 4 poderiam ser obtidas utilizando o ponto B 0 1 5 com o mesmo vetor ficando r xδ y13δ z5 2δ com δ R Apesar de aparentemente diferente do obtido anteriormente as equações paramétricas definem a mesma reta r As equações poderiam ainda ser obtidas com os pontos A ou B e o vetor BA 33 P OSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS Duas retas no espaço podem ser 1 r eversas quando nenhum plano as contém ou 2 coplanares quando estão contidas em um mesmo plano Neste caso podem ser a paralelas distintas ou coincidentes ou b concorrentes quando têm um ponto comum Fixado um sistema de coordenadas ortonormal do espaço e considerando uma reta r com vetor diretor r a b c r r uma reta s com vetor diretor s m n p s s Temos duas possibilidades para os vetores diretores ou r s LD ou r s LI i se r s LD e portanto r s 0 r e s são paralelas se e somente se existe λ R tal que r λ s Para saber se as retas são coincidentes ou não basta escolher um ponto P de r e verificar se P pertence a s se sim temos rs se não r e s são paralelas distintas isto é rs Figura 2 Retas paralelas no espaço ii Se r s LI e portanto r s 0 as retas podem ser reversas ou concorrentes r e s são reversas se e somente se r s AB é LI ou seja se e só se r s AB 0 para qualquer A x 1 y 1 z 1 r e B x 2 y 2 z 2 s Então se a b c m n p x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 0 as retas r e s são reversas Figura 3 Retas reversas r e s são concorrentes see somente se r s AB 0 Então se a b c m n p x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 0 as retas r e s são concorrentes Figura 4 Retas concorrentes A condição para que duas retas sejam ortogonais é que os vetores não nulos r e s paralelos a elas sejam ortogonais isto é r s 0 Se as duas retas são ortogonais e possuem um ponto comum denominamse perpendiculares Em resumo Retas paralelas Se Ps e Pr então as paralelas são coincidentes Se Ps e Pr então as paralelas são distintas Retas não paralelas Se rs P as retas são concorrentes Se r s 0 as retas são concorrentes perpendiculares Se r s 0 as retas são concorrentes não perp endiculares Se rs as retas são reversas Se r s 0 as retas são reversas ortogonais Se r s 0 as retas são reversas não ortogonais Exemplo 6 Verifique a relação de posição entre as retas r OX 1 2 3 λ 0 1 3 λ R e s xyz6 xyz4 Observando a equação da reta r vemos que ela passa pelo ponto A 1 2 3 e tem direção do vetor r 0 1 3 Da reta s precisamos tomar dois de seus pontos para obter a direção Assim se fizermos z0 obtemos o sist ema xy6 xy4 cuja solução é x1 e y5 Logo B 1 5 0 pertence a s Se fizermos z1 obtemos o sistema xy5 xy3 que tem solução x1 e y4 Logo C 1 4 1 pertence a s Assim a direção da reta s é dada por BC s 0 1 1 Podemos ver que r s é LI Tomando o vetor AB 0 3 3 com Ar e Bs podemos verificar se os vetores r s e AB são coplanares LD 0 1 3 0 1 1 0 3 3 0 o que significa que a terna de vetores é LD e consequentemente as retas r e s são concorrentes Como r s 0 as retas não são perpendiculares Exemplo 7 Verifique a relação de posição entre as retas r x12μ yμ z3μ e s x2 y1λ z2λ com λ R Temos r 2 1 3 e s 0 1 1 que não são paralelos logo as retas não são paralelas Vamos verificar se as retas são concorrentes Para isso igualamos as equações paramétricas de cada uma das retas 12μ2 μ1λ 3μ2λ μ05 λ05 1525 falso Logo as retas não são concorrentes e portanto são reversas Como r s 0 as retas não são ortogonais Exemplo 8 Verifique a relação de posição entre a reta r que é uma reta passando pelos pontos A 1 5 6 e B 2 1 3 e a reta s xλ y32λ z5λ λ R Do enunciado da questão temos que r AB 3 6 3 e s 1 2 1 que são paralelos Logo as retas são paralelas Considerando um ponto de r verifiquemos se ele pertence à reta s s 2λ 132λ 35λ 2λ 1322 352 Como as sentenças são verdadeiras concluímos que o ponto B pertence a reta s Assim as retas são paralelas coincidentes Exemplo 9 Verifique a relação de posição entre as retas r OX 2 1 3 λ 2 1 1 λ R e s OX 1 1 1 μ 1 1 1 μ R As equações nos dão r 2 1 1 e s 1 1 1 que não são paralelos Vejamos então se as retas se interceptam Como igualando as equações paramétricas dessas equações obtemos sentenças verdadeiras como pode ser visto abaixo as retas se interceptam 22λ1μ 1λ1μ 3λ 1μ μ1 λ1 3111 Substituindo λ1 nas equações de r temos que rs 0 0 2 Dess a forma temos que as retas r e s são concorrentes Como r s 0 as retas são concorrentes perpendiculares 34 ÂNGULO ENTRE RETAS Dadas as retas r e s não ortogonais u 0 e v 0 vetores paralelos a r e s respectivamente definimos o ângulo entre r e s como sendo o ângulo agudo entre elas Figura 5 Ângulo entre duas retas Observe na figura 5 que se é o ângulo entre u e v ele deve ter medida entre 0 e 90 ou seja é o menor dos dois ângulos determinados por duas retas e pode coincidir ou não com o ângulo Sabemos que sendo o ângulo entre dois vetores então cosα u v u v com 0απ Se u v 0 então cosα0 com 0α π 2 e θα figura da esquerda Se u v 0 então cosα0 com π 2 απ e θαπ ou θπα Logo cosθ cos πα cosα figura da direita O que nos leva a concluir que o ângulo θ entre duas retas é obtido por meio do cosseno do ângulo entre u e v da seguinte forma Se u v 0 então cosθcosα sendo cosα u v u v com 0α π 2 Se u v 0 então cosθcosα sendo cosα u v u v com 0α π 2 Exemplo 10 Determine o ângulo entre as retas r OX 4 1 5 m 1 0 1 m R e s OX 3 1 7 t 0 0 1 t R Sabemos que o vetor direção da reta r é r 1 0 1 e que r 2 Para a reta s o vetor direção é s 0 0 1 e s 1 Como r s 1 0 1 0 0 1 1 temos então que cosθcosα 1 2 2 2 Logo θarccos 2 2 que nos dá θ45 ou θ π 4 rad E xercício 1 Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A 1 3 0 e é paralela ao vetor v 3 4 1 Exercício 2 Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta determinada pelos pontos A 1 3 2 e B 5 2 2 Exercício 3 Determine o ponto da reta r dada por r x3t y1t z4t com t R que tem ordenada 5 Encontre também o vetor diretor de r Exercício 4 Determine a equação vetorial da reta determinada pelos pontos A 2 0 3 e B 6 8 4 Obtenha um ponto C diferente de A e B pertencente a essa reta Verifique ainda se o ponto P 1 2 0 pertence a reta Exercício 5 O ponto A 0 b c pertence à reta determinada pelos pontos P 1 2 0 e Q 2 3 1 Determine o ponto A Exercício 6 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A 1 5 4 e a é paralela à reta de equações paramétricas x1λ y202λ e zλ com λ R b é paralela à reta definida pelos pontos B e C sendo B 1 1 1 e C 0 1 1 Exercício 7 Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P 1 2 0 e tem a direção do vetor v 3 i j k Exercício 8 A reta r que passa pelos pontos A 3 4 2 e B 5 2 4 e a reta s que passa pelos pontos C 1 2 3 e D 5 5 4 são paralelas Exercício 9 Estude a posição relativa das retas nos seguintes casos a r passa por A010 e tem a direção de r 211 e s x24t y2t z2t1 b r passa por A205 e tem a direção de r 234 e s x5t y2t z72t c r passa por A030 e tem a direção de r 102 e s passa por B000 e tem a direção de s 111 d r OX 1 2 3 α 0 1 3 α R e s OX 0 1 0 β 1 1 1 β R e r OX 1 2 3 a 0 1 3 a R e s OX 1 3 6 b 0 2 6 b R Exercício 10 Verifique em cada caso se as retas são ortogonais e em particular se são perpendiculares a r OX 1 1 0 m 1 0 1 m R e s OX 1 2 3 h 2 1 4 h R b r OX 1 1 1 h 1 2 1 h R e s OX 2 3 4 t 1 1 3 t R c r OX 2 3 4 p 1 1 1 p R e s OX 2 0 4 q 1 2 1 q R Exercício 1 1 Determine a medida em radianos do ângulo entre as retas a r x3t yt z12t t R e 𝑎 reta s cujo vetor diretor é s 211 b r OX 1 1 9 λ 0 1 1 λ R e s x1t yt z4 t R Exerc ício 12 Determine os vértices B e C do triângulo equilátero ABC sabendo que A 1 1 0 e que o lado BC está contido na reta r de equação r OX 0 0 0 λ 0 1 1 λ R Material adaptado do material didático da disciplina Geometria Analítica Curso de Matemática Licenciatura modalidade a distância produzido em 2015 pelos professores Maria José Ferreira da Silva Saddo Ag Almouloud e Maria Inez Rodrigues Miguel e pelo professor Gabriel Loureiro de Lima em 2020