Estudo da Reta: Equações Simétricas e Normais

ESTUDO DA RETA CONTINUAÇÃO EQUAÇÕES SIMÉTRICA OU NORMAL Continuando o estudo das equações de uma reta temos outras formas de representação uma delas é a equação na forma simétrica ou normal Conforme obtido anteriormente nas equações paramétricas de uma reta temos r x x 0 λa y y 0 λb z z 0 λc em que A x 0 y 0 z 0 v a b c e X x y z com λ R e a b c reais nem todos nulos Isolando λ em cada uma das equações teremos λ x x 0 a y y 0 b z z 0 c que são denominadas equações da reta r na forma simétrica ou normal Observe que as igualdades x x 0 a y y 0 b z z 0 c representam duas equações que devem valer simultaneamente ou seja são equivalentes por exemplo ao sistema r x x 0 a y y 0 b y y 0 b z z 0 c Exemplo 6 Observ e que a partir dos exemplos 3 e 4 podemos obter as seguintes equações na forma simétrica No exemplo 3 x1 2 y1 3 z1 4 λ No exemplo 4 1x 2y 3 z3 2 λ Casos particulares para a equação simétrica a Se um dos números a b ou c é zero por exemplo a0 e bc0 as equações devem ser representadas por r x x 0 y y 0 b z z 0 c λ com λ R Se b ou c for igual a zero procedese analogamente Exemplo 7 Se as equações simétricas de uma reta forem r x2 y1 2 z3λ com λ R então temos r x2 y12λ z3λ e a equação vetorial dessa reta será OX 2 1 3 λ 0 2 1 com λ R b Se dois dos números a b c são nulos por exemplo ab0 e c0 as equações serão r x x 0 y y 0 z z 0 c λ com λ R Exemplo 8 Se as equações simétricas de uma reta forem r x2 y3 z2 4 λ com λ R então temos r x2 y3 z24λ e a equação vetorial dessa reta será OX 2 3 2 λ 0 0 4 com λ R 6 4 E QUAÇÃO REDUZIDA Considerando uma reta r de equações paramétricas x x 0 λa y y 0 λb z z 0 λc com λ R e supondo c0 podemos por exemplo calcular λ em função de z e substituir nas duas primeiras equações Assim teremos λ z z 0 c e substituindose esse valor nas duas primeiras equações obteremos x x 0 z z 0 c a y y 0 z z 0 c b x x 0 a z 0 c az c y y 0 b z 0 c bz c x x 0 a z 0 c a c z y y 0 b z 0 c b c z Podemos escrever então xpqz ymnz com p q m n R denominadas equações reduzidas da reta r Observe que nessa forma de representação da reta duas das variáveis neste caso x e y são dadas em função de z Assim n as equações reduzidas de uma reta duas das variáveis podem ser dadas em função da terceira isto é podemos ter x e y em função de z ou x e z em função de y supondo b0 ou ainda y e z em função de x supondo a0 Exemplo 9 Observe que a partir da equação vetorial de uma reta podemos obter as quatro formas de representação correspondentes já estudadas equação vetorial equações paramétricas equações simétricas e equação na forma reduzida Equação vetorial da reta r OX 1 1 1 λ 2 3 4 com λ R Equaç ão paramétrica da reta r r x12λ y13λ z14λ com λ R Equações simétricas da reta r x1 2 y1 3 z1 4 λ com λ R Equação reduzida da reta r considerando λ z1 4 teremos r x12 z1 4 y13 z1 4 e portanto a forma reduzida será x 1 2 z 2 y 1 4 3z 2 Equação vetorial da reta s OX 1 2 3 λ 1 3 2 com λ R Equação paramétrica da reta s s x1λ y23λ z32λ com λ R Equações simétricas da reta s x1 1 y2 3 z3 2 λ com λ R Equação reduzida da reta s considerando λ z3 2 teremos s x11 z3 2 y13 z3 2 e portanto a forma reduzida será x 5 2 z 2 y 13 2 3z 2 Exemplo 10 Verifique se P 1 1 2 r sendo r x23y z1 1 2 y Para o ponto P pertencer a reta a expressão x231 z1 1 2 1 deve ser verdadeira Mas como 15 2 1 2 podemos concluir que Pr EXERCÍCIOS DE FAMILIARIZAÇÃO Exercício 1 Determine as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P 0 4 5 e Q 1 2 2 Exercício 2 Dadas as equações paramétricas de r x12t y23t z5t com t R determine as equações simétricas de r Exercício 3 Verifique se os pontos P 4 2 0 Q 1 0 1 e R 2 1 3 pertencem a reta r x1 3 y 2 z1 Exercício 4 Determine as equações normais da reta r que passa pelo ponto P 3 1 2 e é paralela à reta s dada pelos pontos M 1 4 1 1 e M 2 5 2 1 Exercício 5 Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P 2 0 4 e é paralela à reta s x1 5 y2 3 z1 1 7 E STUDO DO PLANO 71 EQUAÇÃO VETORIAL Sejam um sistema de coordenadas ortonormal no espaç o X um ponto qualquer do plano π R 3 e u v linearmente independentes LI paralelos ao plano π como mostra a figura 29 Figura 29 Plano no espaço Nestas condições os três vetores AX u v são sempre linearmente dependentes porque são coplanares e portanto existe um único par de números reais λ e µ tais que AX λ u μ v e como OX OA AX isto é AX OX OA vem que OX OA λ u μ v Assim quando λ e µ percorrem o conjunto dos números reais o ponto X percorre o plano π A igualdade OX OA λ u μ v é chamada equação vetorial do plano π Exemplo 1 Dados o ponto A 1 0 1 e os vetores u 1 1 2 e v 0 1 1 a equação vetorial do plano π que passa por A e é paralelo aos vetores u e v é π OX 1 0 1 λ 1 1 2 μ 0 1 1 Reciprocamente o conjunto dos pontos X do espaço que satisfazem a equação OX OA λ u μ v com λ μ R e u v LI é um plano que passa pelo ponto A e é paralelo às direções dos vetores u e v No caso de o plano π ser determinado por três pontos distintos A B e C não colineares a direção do plano π será dada pelo par de vetores u AB OB OA e v AC OC OA LI porque os pontos não são colineares e a equação vetorial do plano é dada por OX OA λ AB μ AC com λ μ R Os vetores u e v são chamados vetores diretores do plano π Exemplo 2 Dados três pontos distintos e não colineares A211 B311 e C411 que nos dão os vetores diretores u AB OB OA 1 2 0 e v AC OC OA 2 0 2 então a equação vetorial do plano é dada por OX OA λ AB μ AC ou seja OX 2 1 1 λ 2 0 2 μ 1 2 0 com λ μ R Observe que outras equações equivalentes podem ser determinadas 72 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Sejam π um plano que passa pelo ponto A x 0 y 0 z 0 e tem vetores diretores u v LI de coordenadas u a b c e v m n p e um ponto genérico do plano X x y z Sabendo que OX OA λ u μ v com λ μ R em relação ao sistema fixado temos x yz x 0 y 0 z 0 λ a b c μ m n p x yz x 0 λaμm y 0 λbμn z 0 λcμp Dessa forma obtemos x x 0 λaμm y y 0 λbμn z z 0 λcμp com λ μ R que que são denominadas equações paramétricas do plano π Reciprocamente dado o sistema de equações lineares nas condições do sistema acima ele representa o plano do espaço que contém o ponto A x 0 y 0 z 0 e tem a direção dos vetores u a b c e v m n p em relação ao sistema de coordenadas fixado Para outro sistema as mesmas equações podem representar outro plano Exemplo 3 Dada a equação vetorial do plano do exemplo 1 π OX 1 0 1 λ 1 1 2 μ 0 1 1 com λ μ R temos x yz 1 0 1 λ 1 1 2 μ 0 1 1 com λ μ R Logo x1λ yλμ z12 λμ Analogamente no caso do plano ser determinado por três pontos A B e C distintos não colineares de coordenadas A x 1 y 1 z 1 B x 2 y 2 z 2 e C x 3 y 3 z 3 temos OX OA λ AC μ AB OA λ OC OA μ OB OA e assim x x 1 λ x 3 x 1 μ x 2 x 1 y y 1 λ y 3 y 1 μ y 2 y 1 z z 1 λ z 3 z 1 μ z 2 z 1 com λ μ R são equações paramétricas de π Exemplo 4 Dados A 211 B311 e C411 três pontos distintos e não colineares do exemplo 2 A equação vetorial do plano é tal como determinamos OX 2 1 1 λ 2 0 2 μ 1 2 0 As equações paramétricas portanto são x22λμ y12μ z12 λ 73 EQUAÇÃO GERAL Sejam um sistema de coordenadas ortonormal do espaço e um plano que passa pelo ponto A x 0 y 0 z 0 e tem a direção dos vetores u r s t e v m n p LI Para que um ponto X x y z pertença ao plano é necessário e suficiente que a sequência de vetores AX u v seja LD coplanares e portanto que o produto misto deles seja nulo Isto é AX u v 0 Logo o determinante das coordenadas dos vetores deve ser igual a zero ou seja x x 0 y y 0 z z 0 r s t m n p 0 Daí vem que x x 0 s t n p y y 0 r t m p z z 0 r s m n 0 s t n p x r t m p y r s m n z x 0 s t n p y 0 r t m p z 0 r s m n 0 Fazendo a s t n p b r t m p c r s m n e d x 0 s t n p y 0 r t m p z 0 r s m n vem axbyczd0 que é chamada equação geral do plano com a b c e d reais nem todos nulos pois u v é LI Reciprocamente o conjunto dos pontos X x y z do espaço cujas coordenadas em relação ao sistema fixado satisfazem a equação axbyczd0 com a b c e d reais nem todos nulos representam um plano Exemplo 5 Dados u 1 1 2 v 0 1 1 e A 1 0 1 determin e a equação geral do plano que passa por A e é paralelo a esses vetores x1 y z1 1 1 2 0 1 1 03xyz40 No caso do plano ser definido por três pontos A x 1 y 1 z 1 B x 2 y 2 z 2 e C x 3 y 3 z 3 não colineares a direção do plano será dada pelos vetores AB OB OA x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 e AC OC OA x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 LI e para um ponto X x y z pertencer ao plano os vetores AX AB AC devem ser LD Assim a equação geral do plano ficaria x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 0 aplicandose algumas propriedades de determinantes obtémse o equivalente a x y x 1 y 1 z 1 z 1 1 x 2 y 2 x 3 y 3 z 2 1 z 3 1 0 que é uma fórmula para se obter a equação de um plano conhecendose três de seus pontos não colineares em relação ao sistema de coordenadas fixado Exemplo 6 Dados A 2 1 1 B 3 1 1 e C 4 1 1 três pontos distintos e não colineares encontre a equação geral do plano determinado por estes pontos x2 y1 z1 1 2 0 2 0 2 04x2y4z140 74 EQUAÇÕES GERAIS ESPECIAIS 1 Análise da equação axbyczd0 quando abcd0 1º caso a0 b0 c0 plano byczd0 d0 d0 O plano é paralelo ao eixo x Intercepta os eixos y e z não interceptando o eixo x Um plano com uma equação sem termo em x é perpendicular ao plano yz O plano conterá o eixo x e tem equação bycz0 2º caso a0 b0 c0 plano axczd0 d0 d0 O plano é paralelo ao eixo y Intercepta os eixos x e z não interceptando o eixo y Esse plano é perpendicular ao plano xz O plano conterá o eixo y e tem equação axcz0 3º caso a0 b0 c0 plano axbyd0 d0 d0 O plano é paralelo ao eixo z Intercepta os eixos x e y não interceptando o eixo z Esse plano é perpendicular ao plano xy O plano conterá o eixo z e tem equação axby0 4 º caso a0 b0 c0 plano axd0 d0 O plano intercepta o eixo x não interceptando os eixos y e z Se d0 isto é ax0 ou simplesmente x0 é a equação do plano yz 5 º caso a0 b0 c0 plano byd0 d0 O plano intercepta o eixo y não interceptando os eixos x e z Se d0 isto é by0 ou simplesmente y0 é a equação do plano xz 6 º caso a0 b0 c0 plano czd0 d0 O plano intercepta o eixo z não interceptando os eixos x e y Se d0 isto é cz0 ou simplesmente z0 é a equação do plano xy 7 º caso a0 b0 c0 plano axbyczd0 com d0 O plano intercepta os três eixos Se d0 o plano axbycz0 passa pela origem não contendo e nem interceptando nenhum dos eixos Exemplo 1 Observe a representação do ponto F 2 3 4 e identifique as equações dos planos que contém as faces do prisma representado e as equações das retas r e s Plano DCE x2 Plano GBC y3 Plano HEG z4 Plano HAB OX 0 0 0 λ 0 1 0 μ 0 0 1 com λ μ R Plano HAD OX 0 0 0 a 1 0 0 b 0 0 1 com a b R Plano ADC OX 0 0 2 m 1 0 0 n 0 1 0 com m n R r OX 0 0 0 α 2 3 0 com α R s OX 0 0 0 β 2 3 0 com β R 7 5 V ETOR NORMAL A UM PLANO Chamase vetor normal a um plano π qualquer vetor não nulo ortogonal a π como mostra afigura 3 0 Figura 30 Vetor normal a um plano Assim n 0 é um vetor normal ao plano π se e somente se n é ortogonal a qualquer vetor paralelo a π Então dado um plano π por sua equação vetorial OX OA λ u μ v com λ μ R um vetor normal a esse plano é dado por n u v Vejamos como obter uma equação geral do plano π conhecendo um ponto A x 0 y 0 z 0 e um vetor n a b c normal a π Qualquer que seja X x y z Xπ se e somente se AX n logo Xπ se e somente se AX n 0 Assim x x 0 y y 0 z z 0 a b c 0 x x 0 a y y 0 b z z 0 c 0 axbycz a x 0 b y 0 c z 0 0 Chamando a x 0 b y 0 c z 0 d temos axbyczd0 Nes s a equação vemos que os coeficientes de x y e z são as co mponentes do vetor normal ao plano na ordem adequada e sendo d dado como acima Reciprocamente se o plano for dado pela sua expressão geral axbyczd0 um vetor normal a esse plano será n a b c O produto escalar entre n e um vetor v qualquer paralelo ao plano é nulo isto é que n v 0 ou ainda n AB 0 ABπ Assim sendo A x 1 y 1 z 1 e B x 2 y 2 z 2 se Aπ tmos a x 1 b y 1 c z 1 d e se Bπ temos a x 2 b y 2 c z 2 d Subtraindose membro a membro temos a x 1 x 2 b y 1 y 2 c z 1 z 2 0 Exemplo 2 Sejam n 1 3 2 um vetor normal ao plano e A 0 2 1 π A equação geral do plano será dada por axbyczd0 Assim temos 1 x 3 y 2 zd0x3y2zd0 Como A 0 2 1 π temos 1 0 3 2 2 1d0 logo d8 P ortanto a equação geral do plano é x3y2z80 7 6 E QUAÇÃO SEGMENTÁRIA Consideremos um plano cuja equação geral é axbyczd0 com a b c d0 Os pontos onde o plano intercepta os eixos coordenados como mostra a figura 31 são P p 0 0 Q 0 q 0 e R 0 0 r que substituídos na equação geral nos dâo Figura 31 Plano interceptando os eixos coordenados Pαapd0p d a Qαbqd0q d b Rαcrd0r d c Diremos que p q e r são as medidas algébricas dos segmentos que o plano determina nos três eixos coordenados Vamos agora explicitar p q e r na equação geral do plano axbyczd0axbyczd ax d by d cz d 1 x d a y d b z d c 1 x p y q z r 1 Esta é a equação segmentaria do plano α Exemplo 3 No exemplo anterior a reta tem equação geral x3y2z80 A equação segmentária desse plano será dada por x3y2z80 x3y2z8 x 8 3y 8 2z 8 1 x 8 y 8 3 z 4 1 Essa equação nos diz que o plano intercepta o eixo x no ponto 8 0 0 o eixo y no ponto 0 8 3 0 e o eixo z no ponto 0 0 4 EXERCÍCIOS DE FAMILIARIZAÇÃO Exercício 1 Escreva as equações vetorial paramétrica e geral do plano que passa pelo ponto A 2 1 3 e é p aralelo aos vetores u 3 3 1 e v 2 1 2 Determine um ponto P qualquer desse plano Exercício 2 Determine as equações vetorial paramétricas e geral do plano determinado pelos pontos A 5 7 2 B 8 2 3 e C 1 2 4 Exercício 3 Em cada caso que lugar geométrico representa a equação dada a OX OA m v se m R e v 0 b OX OA m u m v se m R e u v LI c OX OA m u t v se m t R e u 0 d OX OA m u t v se m t R e u v Exercício 4 Verifique se π 1 π 2 nos seguintes casos a π 1 OX 1 2 1 λ 1 1 2 μ 1 2 2 3 1 e π 2 OX 1 2 1 λ 1 1 2 μ 3 4 6 b π 1 OX 0 0 0 λ 1 10 μ 0 1 0 e π 2 OX 1 1 0 λ 1 2 1 μ 0 1 1 Exercício 5 Dadas as equações paramétricas de um plano πx12λ3μ y1λμ zλ com λ μ R obtenha uma equação geral para esse plano Exercício 6 Uma reta r é dada como intersecção de dois planos r xyz10 xyz0 Dê as equações paramétricas de r Exercício 7 Sendo r x1λ y22λ z3λ determine as equações de dois planos onde r é a intersecção deles Exercício 8 Determine a equação segmentaria do plano cuja equação geral é 2x3y4z120 e dê os pontos de intersecção desse plano com os eixos coordenados Exercício 9 Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P 3 1 5 e que determina segmentos iguais nos eixos coordenados Exercício 10 Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 0 2 e tem vetor normal n 1 1 4 Exercício 11 Dadas as retas r x1 2 y 2 z e sx1yz determine uma equação geral para o plano determinado por r e s Exercício 12 Represente as superfícies dos sólidos delimitados por a zxy com 0x5 e 0y3 b plano que intercepta os eixos em x6 y8 z4 e os planos x3 e y2 c x0 y0 z0 e 2xyz4 8 P OSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS E PLANOS 8 1 RETA E PLANO Uma reta e um plano no espaço podem ocupar as seguintes posições a reta pode estar contida no plano ser paralela ao plano ou ser transversal ao plano isto é pode interceptar o plano em um único ponto Veja na figura 35 exemplos dessas retas Figura 35 Relações de posição entre retas e planos Fixado um sistema de coordenadas orto normal do espaço consideremos uma reta r que passa pelo ponto A e tem direção do vetor r 0 e o plano que passa pelo ponto B e tem a direção dos vetores v 1 e v 2 com v 1 v 2 LI que tem vetor normal n A reta r será paralela ao plano se e somente se os vetores r v 1 v 2 forem coplanares isto é r v 1 v 2 for LD Considerando a equação geral do plano axbyczd0 n a b c seu vetor normal e r m n p a direção de r como mostra a figura 36 Figura 36 Reta paralela a um plano Podemos dizer que a reta r será paralela ao plano quando n v isto é n v 0 o que significa que ambncp0 Para decidir se r ou r basta verificar se um ponto P qualquer de r pertence a Se sim concluímos que r se não temos que r Caso ambncp0 a reta r interceptará o plano em um ponto P e para obter esse ponto basta resolver o sistema formado por suas equações Se tivermos dois vetores v 1 d e f e v 2 g h i paralelos a e r m n p um vetor diretor da reta r uma condição necessária e suficiente para que r seja transversal a é que r v 1 v 2 seja LI isto é r v 1 v 2 0 Sejam a reta r OX OA t v e um plano π OX OB λ v 1 μ v 2 t λ μ R Para que a reta r seja perpendicular ao plano π os pares de vetores r v 1 e r v 2 devem ser ortogonais isto é r v 1 0 e r v 2 0 Observe que o par formado pelo produto vetorial v 1 v 2 e o vetor r deve ser LD então existe um único número real α R tal que r α v 1 v 2 Se em relação a um sistema de coordenadas orto norm ais o plano π for dado por sua equação geral axbyczd0 sendo n a b c um vetor normal a π então basta verificar se r vetor direção de r é paralelo a n Em resumo Se r n 0 e Pr e Pπ a reta está contida no plano mas se Pr e Pπ a reta é paralela ao plano Se r n 0 e r não é paralela a n então a reta é transversal ao plano mas se r for paralela a n então a reta é perpendicular ao plano Exemplo 2 Verifique a posição relativa entre o plano π OX 1 1 3 λ 1 1 1 μ 0 1 3 λ μ R e a reta r OX 1 1 1 α 3 2 1 α R A reta r tem direção r 3 2 1 e o plano π tem direção dos vetores v 1 1 1 1 e v 2 0 1 3 Verifiquemos se essa terna de vetores é LI ou LD 3 2 1 1 1 1 0 1 3 3 31 2 3 1170 Logo a terna é LI e a reta r é transversal ao plano π Outra solução Determinando o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial dos dois vetores diretores do plano obtemos n 4 3 1 Calculando r n 1261170 significa que a reta é transversal ao plano mas como o vetor diretor da reta não é paralelo ao vetor normal ao plano concluímos que ela não é perpendicular 83 PLANO E PLANO Dois planos no espaço podem ser paralelos coincidentes ou distintos ou ainda serem transversais com a intersecção sendo uma reta Fixado um sistema de coordenadas orto normal do espaço sejam π 1 a 1 x b 1 y c 1 z d 1 0 e π 2 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 0 Figura 37 Planos paralelos a uma condição necessária e suficiente para que os planos π 1 e π 2 sejam paralelos distintos é que a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 Isto significa que os planos devem possuir mesma direção normal ou seja n 1 n 2 é LD e para decidir se são coincidentes basta verificar se um ponto pertence aos dois planos ou ainda se a razão d 1 d 2 é igual às outras razões b se a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 podemos concluir que os planos se interceptam e sua interseção é uma reta Neste caso n 1 n 2 é LI como mostra a figura 38 Para encontrar a reta r de intersecção de π 1 e π 2 devemos resolver o seguinte sistema linear com duas equações e três incógnitas a 1 x b 1 y c 1 z d 1 0 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 0 Figura 38 Planos concorrentes Se o sistema for impossível os planos não têm ponto comum logo são paralelos distintos Se o sistema for possível e indeterminado tendo uma variável livre os planos são concorrentes e a solução do sistema será a equação da reta comum aos dois planos Tendo duas variáveis livres os planos serão coincidentes e a solução do sistema será a equação desses planos Obs ervação E sse sistema nunca será determinado porque a intersecção de dois planos nunca pode ser um único ponto Sejam dois planos π 1 e π 2 e n 1 o vetor normal do plano π 1 e n 2 o vetor normal ao plano π 2 Os planos π 1 e π 2 são perpendiculares se e somente se os seus vetores normais forem ortogonais isto é se e só se n 1 n 2 0 Dessa forma se dois planos são perpendiculares então n 1 n 2 n 1 π 2 e n 2 π 1 Em resumo Se n 1 n 2 P π 1 e P π 2 então os planos são paralelos coincidentes mas se P π 1 e P π 2 os planos são paralelos distintos Se n 1 não é paralelo a n 2 e n 1 n 2 0 então os planos são perpendiculares mas se n 1 n 2 0 então os planos são transversais Exemplo 3 Verifique a relação de posição entre os planos π 1 OX 1 0 1 λ 1 1 1 μ 0 1 0 λ μ R e π 2 OX 0 0 0 α 1 0 1 β 1 0 3 α β R Para resolver buscamos as equações gerais de cada um deles Equação geral de π 1 x1 y z1 1 1 1 0 1 0 x1 1 z10 que nos dá xz0 e portanto um vetor normal desse plano é n 1 1 0 1 Equação geral de π 2 x y z 1 0 1 1 0 3 4y0 que nos dá y0 plano xz e portanto um vetor normal desse plano é n 2 0 1 0 Como n 1 n 2 é LI e n 1 n 2 0 temos que π 1 e π 2 são perpendiculares A reta intersecção desses planos é obtida com a solução do sistema xz0 y0 Temos então xz y0 que é indeterminado tem infinitas soluções que são os pontos da reta procurada Considerando z0 temos que 0 0 0 é um ponto da reta e considerando z1 temos que 1 0 1 é outro ponto da reta Logo xλ y0 zλ λ R são as equações paramétricas da reta intersecção dos dois planos Exemplo 4 Determine a posição relativa entre os planos π 1 3xy2z0 e π 2 9x3y6z0 Assim n 1 3 1 2 e n 2 0 1 0 Como n 1 n 2 temos que π 1 e π 2 são paralelos Sendo P 3 0 0 π 1 e como 9 0 3 1 6 0 20 temos que P 0 1 0 π 2 Logo os planos são paralelos não coincidentes Exemplo 5 determine a posição relativa entre os planos π 1 x2yz30 e π 2 2x4y2z60 Assim n 1 1 2 1 e n 2 2 4 2 Como n 1 n 2 temos que π 1 e π 2 são paralelos Sendo P 3 0 0 π 1 e como 2 3 4 0 2 0 60 temos que P 0 1 0 π 2 Logo os planos são paralelos coincidentes Exemplo 6 Determine a posição relativa entre os planos π 1 2xyz30 e π 2 x2yz10 Assim n 1 2 1 1 e n 2 1 2 1 Como n 1 e n 2 não são paralelos e n 1 n 2 50 temos que π 1 e π 2 são transversais A reta intersecção desses planos é obtida resolvendo o sistema 2xyz30 x2yz10 Temos então xy2 z3y1 que é indeterminado tem infinitas soluções que são os pontos da reta procurada Considerando y0 temos que 2 0 1 é um ponto da reta e considerando z1 temos que 1 1 2 é outro ponto da reta Logo r OX 1 1 2 α 1 1 3 α R é a equação vetorial da reta intersecção dos dois planos EXERCÍCIOS DE FAMILIARIZAÇÃO Exercício 1 A reta r que passa pelos pontos A 3 4 2 e B 5 2 4 e a reta s que passa pelos pontos C 1 2 3 e D 5 5 4 são paralelas Exercício 2 Estude a posição relativa das retas nos seguintes casos a r y2x3 zx e s x13t y46t z3t b r x 2 y1 1 z e s x24t y2t z2t1 c r x2 2 y 3 z5 4 e s x5t y2t z72t d r y3 z2x e sxyz e r OX 1 2 3 α 0 1 3 α R e s OX 0 1 0 β 1 1 1 β R f r OX 1 2 3 a 0 1 3 a R e s OX 1 3 6 b 0 2 6 b R Exercício 3 Verifique em cada caso se as retas são ortogonais e em particular se são perpendiculares a r OX 1 1 0 m 1 0 1 m R e s OX 1 2 3 h 2 1 4 h R b r OX 1 1 1 h 1 2 1 h R e s OX 2 3 4 t 1 1 3 t R c r OX 2 3 4 p 1 1 1 p R e s OX 2 0 4 q 1 2 1 q R Exercício 4 Em cada um dos casos abaixo verifique se a reta e o plano são concorrentes paralelos ou se a reta está contida no plano No caso da reta ser transversal ao plano determine o ponto comum a r OX 3 4 1 m 1 2 3 m R e π 5x2y3z200 b r OX 1 1 2 t 2 5 0 t R e π 5x2yz70 c r OX 2 1 0 h 1 3 5 h R e π xyz150 Exercício 5 Determine os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π sendo r x2t y1t z32t e π mxny2z10 Exercício 6 Dados o plano e a reta r estude a posição relativa entre eles a π OX 1 0 1 λ 1 1 1 μ 0 0 3 λ μ R e r OX 2 2 1 α 3 3 0 α R b π x y z 20 e r x 1 λ y 1 λ z λ Exercício 7 Verifique em cada caso se a reta e o plano são perpendiculares a π 3x6y9z50 e r OX 1 2 0 t 2 4 6 t R b α x y 2 z 100 e r OX 0 7 1 h 3 1 1 h R c r OX 0 1 0 λ 1 1 3 λ R e π OX 3 4 5 λ 6 7 8 μ 9 10 11 λ μ R d r 2xyz0 2xyz2 e π x2z140 Exercício 8 Determine equações na forma simétrica da reta r que passa por P 1 3 5 e é perpendicular ao plano π xy2z10 Exercício 9 Estude a posição relativa dos seguintes planos a π 1 2xyz10 e π 2 x 1 2 y 1 2 z90 b π 1 x10yz4 e π 2 4x40y4z16 Exercício 10 Considere os planos α xyz40 e β x2y3z60 e determine a equação geral do plano e que passa por P 2 1 1 e é perpendicular aos planos dados 9 Â NGULOS E DISTÂNCIAS Neste capítulo estudaremos os ângulos formados por duas retas entre uma reta e um plano e entre planos além da noção de distância entre dois pontos de ponto à reta de ponto a plano entre duas retas entre reta e plano e entre planos 91 ÂNGULOS ÂNGULO ENTRE RETAS Dadas as retas r e s não ortogonais u 0 e v 0 vetores paralelos a r e s respectivamente definimos o ângulo entre r e s como sendo o ângulo agudo entre elas Figura 39 Ângulo entre duas retas Observe na figura 3 9 que se é o ângulo entre u e v ele deve ter medida entre 0 e 90 ou seja é o meno r dos dois ângulos determinados por duas retas e pode coincidir ou não com o ângulo Sabemos que sendo o ângulo entre dois vetores então cosα u v u v com 0απ Se u v 0 então cosα0 com 0α π 2 e θα figura da esquerda Se u v 0 então cosα0 com π 2 απ θαπ e ou θπα Logo cosθ cos πα cosα figura da direita O que nos leva a concluir que o ângulo entre duas retas é dador por cosα u v u v com 0α π 2 Exemplo 1 Determine o ângulo entre as retas r OX 4 1 5 m 1 0 1 m R e s OX 3 1 7 t 0 0 1 t R Sabemos que o vetor direção da reta r é r 1 0 1 e que r 2 Para a reta s o vetor direção é s 0 0 1 e que r 1 Como r s 1 0 1 0 0 1 1 temos então que cosθ 1 2 2 2 Logo θarccos 2 2 que nos dá θ45 ou θ π 4 Â NGULO ENTRE RETA E PLANO A medida do ângulo entre a reta r e o plano é o complemento do ângulo entre a reta r e uma reta perpendicular ao plano logo o vetor diretor dessa reta é o vetor normal a como mostra a figura 40 Figura 40 Ângulo entre reta e plano Assim Dessa forma calculando o ângulo entre essas duas retas reta r e uma reta perpendicular ao plano temos mas como e são complementares temos e então com onde é a medida do ângulo entre a reta r e o plano Exemplo 2 Determine a medida em radianos do ângulo entre r OX 1 0 1 λ 1 1 0 λ R e π yz100 O vetor direção da reta r é r 1 1 0 e r 2 Por outro lado o plano tem vetor normal n 0 1 1 e n 2 Além disso temos r n 11 0 0 1 1 1 Logo senθ n u n u 1 2 2 1 2 e portanto θ π 6 Â NGULO ENTRE PLANOS A medida do ângulo entre os planos 1 e 2 como mostra a figura 41 é a medida do ângulo entre as retas r 1 e r 2 respectivamente perpendiculares a 1 e 2 Observe que os vetores normais aos planos são vetores diretores dessas retas ou seja é dada por cosθ n 1 n 2 n 1 n 2 com 0θ π 2 Figura 41 Ângulo entre planos Exemplo 3 Determine a medida entre os planos π 1 2x3y5z80 e π 2 3x2y5z40 Sabemos que a normal do plano π 1 é n 1 2 3 5 com n 1 38 e o vetor normal do plano π 2 é n 2 3 2 5 com n 2 38 Como 23 5 3 2 5 25 vem que cosθ 25 38 e θarccos 25 38 92 DISTÂNCIAS Neste capítulo estudaremos as distância determinadas por dois pontos por um ponto e uma reta um ponto e um plano duas retas reta e plano e dois planos D ISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Seja um sistema de coordenadas ortonormal O i j k e os pontos A x A y A z A e B x B y B z B Chamamos de distância entre A e B ao comprimento do segmento AB e portanto ao módulo do vetor AB Isto é d A B AB x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2 Exemplo 4 Calcule a distância entre os pontos A 7 3 4 e B 1 0 6 AB 6 3 2 e d A B AB 3694 7 Logo a distância entre os pontos A e B é de 7 uc D ISTÂNCIA DE PONTO A RETA Chamamos de distância do ponto P à reta r ao segmento da perpendicular conduzida por P à reta r Sejam A e B dois pontos quaisquer da reta r com A B Sabemos que a medida da área do APB é S 1 2 AP AB como mostra a figura 42 e que por outro lado S 1 2 AB d em que d é a altura do triângulo Comparando as duas equações bem AP AB AB d o que nos fornece dP r AP AB AB Como A e B são pontos arbitrários de r podemos ter AB como um vetor diretor qualquer de r Isto é dP r AP r r Figura 42 Distância de ponto a reta Exemplo 5 Calcule a distância do ponto P 5 5 7 à reta r OX 1 2 3 m 1 2 2 m R Da equação de r podemos dizer que r 1 2 2 r 3 e que A 1 2 3 r Tomando o vetor AP 4 3 4 podemos calcular AP r i j k 1 2 2 4 3 4 2 i 4 j 5 k e d Pr 41625 3 45 3 5 Logo a distância do ponto P à reta r é 5 uc D ISTÂNCIA DE PONTO A PLANO Seja m P um ponto qualquer do espaço e um plano π A distância do ponto P ao plano será indicada por dP π como mostra a figura 43 Inicialmente construímos uma reta r passando por P e perpendicular ao plano Observe que se a reta é perpendicular ao plano o vetor normal ao plano n é o vetor diretor da reta r Figura 43 Distância de ponto a plano Seja Q o ponto de intersecção da reta r com o plano ou seja rπ Q Dessa forma temos que d P π d P Q No caso particular em que Pπ teremos PQ e d P π 0 Outra maneira de calcular a distância de um ponto P a um plano π é escolher um ponto arbitrário A desse plano e projetar ortogonalmente o vetor AP sobre o plano em relação ao vetor n vetor normal do plano como mostra a figura 44 O módulo do vetor projeção será a distância procurada Assim d P π proj n AP AP n n Figura 44 Distância de ponto a plano por projeção Por outro lado se P x 0 y 0 z 0 πaxbyczd0 e A x 1 y 1 z 1 é o ponto escolhido do plano π temos n a b c um vetor normal a ele e AP x 0 x 1 y 0 y 1 z 0 z 1 Logo AP n a x 0 x 1 b y 0 y 1 c z 0 z 1 a x 0 b y 0 c z 0 a x 1 b y 1 c z 1 a x 0 b y 0 c z 0 d pois Aπ e a x 1 b y 1 c z 1 d Assim d P π a x 0 b y 0 c z 0 d a 2 b 2 c 2 Exemplo 6 Calcule a distância do ponto P 4 5 4 ao plano αx2y2z40 Temos que o vetor normal ao plano é n 1 2 2 consideremos então a reta r OX 4 5 4 λ 1 2 2 com λ R cujo vetor diretor é o vetor normal ao plano e que contém o ponto P Calculando a intersecção de r e obtemos o ponto Q Em r temos x4λ y52λ e z42λ Substituindose esses valores na equação geral do plano obtemos 4λ 2 52λ 2 42λ 40 Dessa igualdade temse que λ2 Substituindo o valor de na equação da reta obtemos o ponto Q 2 1 0 Calculando a distância entre os pontos P e Q temos d P Q PQ 36 6 Assim d P α 6 uc Outra solução Considerando na equação do plano que yz0 temos x4 e portanto A 4 0 0 α Assim AP 0 5 4 e d P α 0 5 4 1 2 2 3 18 3 6 D ISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 1 Se r e s são concorrentes então por definição d rs 0 Figura 45 Distância entre duas retas paralelas 2 Se r e s são paralelas a distância entre elas é a distância de um ponto qualquer P de uma delas à outra reta Se Ps então Ps então d r s d P r AP r r em que A é um ponto qualquer de r Pode ser também d r s d P s se Pr Esse estudo foi feito na distância de ponto a reta 3 Se r e s são reversas como mostra a figura 46 consideremos P um ponto da reta r e r o vetor diretor da reta r e ainda Q um ponto da reta s e s o vetor da reta s Vamos construir dois planos um plano π r que contém a reta r e é paralelo à reta s isto é π r OX OP λ r μ s com λ μ R Figura 46 Distância entre retas reversas E um plano π s que contém a reta s e é paralelo à reta r isto é π s OX OQ ω r ρ s com ω ρ R Dessa forma a distância entre as retas r e s é igual à distância entre os dois planos Para calcular essa distância basta considerar um ponto de um deles e calcular a distância até o outro plano teoria já desenvolvida Por exemplo podemos considerar o ponto P π r e calcular a distância até o plano π s Assim d r s d π r π s d P π s Podemos também considerar um paralelepípedo determinado pelos vetores diretores r e s como mostra a figura 47 em que d é a distância procurada Sabemos que o volume desse paralelepípedo é dado por V r s d e por outro lado sabemos que V r s PQ pelo produto misto Comparando as duas vem r s d r s PQ Logo d r s r s PQ r s Figura 47 Distância entre retas reversas paralelepípedo Exemplo 7 Calcule a distância entre as retas r y2x3 z2x e s x12t y14t z34t t R Na equação de r se fizermos xλ temos r xλ y2λ3 z2λ o que nos dá r 1 2 2 e P 0 3 0 r Da equação de s temos s 2 4 4 e P 1 1 3 s Dos vetores diretores vemos que s 2 r o que significa que rs Logo d r s d Qs PQ s s PQ s i j k 1 2 3 2 4 4 20 i 2 j 8 k PQ s 400464 468 6 13 Como s 6 temos que d r s 6 13 6 13 D ISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO S e r intercepta o plano então por definição S e r é paralela à a distância entre r e é igual a distância de um ponto de r ao plano que já calculamos anteriormente D ISTÂNCIA ENTRE PLANOS Se e são secantes então por definição Se e são paralelos basta calcular a distância de um ponto de ao plano ou vice versa Também já calculamos essa distância no caso particular em que os planos são iguais paralelos coincidentes a distância é zero Exemplo 8 Determine a distância entre a reta r OX 2 0 0 λ 4 1 2 com λ R e o plano πx2yz0 Para saber se a reta é paralela ou concorrente com o plano basta calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano Se o produto for zero é porque a reta é paralela ao plano caso contrário a reta e o plano são concorrentes r 4 1 2 e n 1 2 1 Assim r n 4 1 2 1 2 1 0 Logo a reta r é paralela ao plano π Considerando P 2 0 0 r e a reta que passa por P e tem a direção da normal do plano vem que t OX 2 0 0 α 1 2 1 com α R vamos encontrar o ponto Q tπ Na reta r temos x2α y2α e zα e substituindo esses valores na equação geral do plano vem que 2α 2 2α α0α 1 3 assim Q 5 3 2 3 1 3 Logo d r π d P Q PQ 6 3 Exemplo 9 Determine a distância entre os planos π 1 2xy3z80 e π 2 6x3y9z60 Como n 1 2 1 3 e n 2 6 3 9 são paralelos 3 n 1 n 2 então os planos são paralelos e não são coincidentes porque 3 2xy3z8 6x3y9z6 Temos que P 0 8 0 π 1 e t OX 0 8 0 α 2 1 3 com α R Determinando Q t π 2 t x2α y8α z3α Substituindo na equação geral do plano temos 6 2α 3 8α 9 3α 60α 3 7 Logo Q 6 7 53 7 9 7 Assim d r π d P Q PQ 126 49 126 7 EXERCÍCIOS D E FAMILIARIZAÇÃO Exercício 1 Determine a medida em radianos do ângulo entre as retas a r x3t yt z12t t R e s x2 2 y3 1 z 1 b r OX 1 1 9 λ 0 1 1 λ R e r x1y z4 Exerc ício 2 Determine os vértices B e C do triângulo equilátero ABC sabendo que A 1 1 0 e que o lado BC está contido na reta r de equação r OX 0 0 0 λ 0 1 1 λ R Exerc ício 3 Determine a medida entre os planos π 1 xyz0 e π 2 xyz0 Exerc ício 4 Calcule a distância entre os pontos A 6 5 2 e B 7 3 4 Exerc ício 5 C alcule a distância do ponto P 2 0 7 à reta r x 2 y2 2 z3 1 Exerc ício 6 Calcule a distância do ponto ao plano nos seguintes casos a P 4 2 5 e π2xy2z80 b P 1 2 1 e π3x4y5z10 Exerc ício 7 Calcule a distância entre as retas nos seguintes casos a r y1 x2 z4 2 e s x3 y2t1 zt3 t R b r OX 1 2 0 t 1 3 1 t R e s 3x2z30 yz20 c r y2x3 z2x e s x12t y14t z34t t R Exerc ício 8 Calcule a distância entre os planos π 1 3x2yz20 e π 2 3x2yz0 Exerc ício 9 Calcule a distância entre as retas paralelas r x2 3 y1 2 z e s x3 3 y1 2 z1 Exercício 1 0 Determine a distância entre as reta s reversas r x1 2 y2 1 z e s x2 5 z yz1 REFERÊNCIAS LIMA E L Coordenadas no espaço SBM Coleção do professor de Matemática 2002 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Makron Books Editora 2000 BOULOS P OLIVEIRA I C Geometria Analítica um tratamento vetorial São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 BOULOS P CAMARGO I Introdução à g eometria analítica São Paulo Makron 1997 LIMA E L Coordenadas no Plano Coleção do Professor de Matemática Sociedade Brasileira de Matemática SBM Rio de Janeiro IMPAVITAE 1992 LORETO A C C LOTETO JR Vetores e geometria analítica teoria e exercícios Rio de Janeiro LTCE 2009 2ed JULIANELLI J R Cálculo vetorial e Geometria analítica São Paulo Ciência Moderna 2008 Caroli A Callioli C A Feitosa M Matrizes Vetores Geometria Analítica São Paulo Nobel 1984 Anexo A Estudo Histórico A Geometria Analítica não foi criada a partir de uma data exata fixa porém historicamente sabemos que muitos processos evoluíram até que chegássemos aos moldes que estudamos hoje Conhecemos as utilizações que os antigos egípcios faziam dos métodos geométricos aplicados à agricultura e que muitos dos problemas encontrados no Papiro Rhind aprox1650 aC eram geométricos e envolviam cálculos de áreas e volumes de terras e grãos Reportandonos à Geometria grega o marco fundamental foi a obra de Euclides 300 aC os Elementos a qual após Tales de Mileto considerado o precursor de descobertas Matemáticas EVES p95 organizou a Geometria formalmente como já discorremos no capítulo anterior No século XIII citamos os estudos e contribuições de Leonardo Fibonacci que dentre tantos temas desenvolveu trabalhos sobre Geometria e trigonometria Practica Geometriae 1220 obedecendo ao rigor matemático de Euclides Chegamos abreviando nosso caminhar ao século XIV em que encontramos o matemático francês Nicole Oresme 13231382 sécXIV considerado de fundamental importância para o desenvolvimento da Geometria Analítica visto que Num de seus opúsculos ele faz a localização de pontos por coordenadas antecipando assim a Geometria Analítica Um século mais tarde esse último trabalho mereceria várias edições e é possível que tenha influenciado matemáticos do Renascimento e até mesmo Descartes EVES 2004 p295 Muito antes de René Descartes Nicole Oresme já estudava a questão da quantificação das formas variáveis englobando a velocidade de objetos móveis e a variação de temperatura de ponto a ponto com a preocupação de como representálas Oresme por volta de 1361 teve a sensibilidade de pensar na representação da variação das formas por meio de uma figura ou gráfico que explicitasse tal variação Por meio dessa percepção surgiu o que chamamos hoje de representação gráfica de funções A novidade estabelecida na época era a da possibilidade de representar graficamente uma quantidade variável O sistema ortogonal utilizado por Oresme para apresentar a dependência entre as quantidades assemelhase ao que chamamos hoje de Sistema Cartesiano Ortogonal pelo uso das coordenadas e eixos horizontais e verticais Oresme interpretava que Tudo o que é mensurável é imaginável na forma de quantidade contínua por isso ele traçou um gráfico velocidadetempo para um corpo que se move com aceleração constante Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo ou longitudes e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta latitude cujo comprimento representava a velocidade BOYER 1996 p181 grifo nosso A representação gráfica dessa relação originou um triângulo retângulo revelando a distância percorrida pelo corpo como mostra a figura 8 que segundo Boyer 1996 confirmou posteriormente as observações de Galileu sobre corpos que caem as distâncias estão entre si como os números ímpares e como a soma dos n primeiros números ímpares consecutivos é o quadrado de n a distância total percorrida varia como o quadrado do tempo BOYER 1996 p181 Figura 8 Gráfico velocidadetempo segundo Nicole Oresme sécXIV BOYER 1996 p181 As contribuições de Nicole Oresme à Geometria Analítica pelo uso das coordenadas e segundo alguns historiadores pela primeira manifestação explícita da equação da reta BOYER p383 a partir da construção gráfica podem ter influenciado matemáticos em seus desenvolvimentos posteriores inclusive Descartes A Geometria Analítica entendida como tratamento algébrico de problemas geométricos ou viceversa tornouse possível a partir dos desenvolvimentos algébricos ocorridos principalmente nos séculos XV e XVI pelas contribuições de Rudolff Stifel Viète dentre outros Considerase talvez por isso que René Descartes 15961650 trouxe à Geometria Analítica o desenvolvimento que não foi possível na época de Oresme ao que concerne à simbologia algébrica necessária Entretanto simultaneamente a Descartes desenvolviamse trabalhos relativos à Geometria Analítica pelo também matemático francês Pierre de Fermat 16011665 Os moldes da Geometria Analítica como a conhecemos hoje se devem principalmente a esses dois grandes matemáticos Segundo Eves 2004 os trabalhos de Fermat em 1636 já tratavam da equação geral da reta e da circunferência como ainda discussões a respeito de hipérboles elipses e parábolas Fermat preocupavase inicialmente com o estudo analítico das curvas para posteriormente estudar as posições ocupadas por elas geometricamente Essa idéia ia de encontro à visão de Descartes que estudava inicialmente o lugar geométrico e então buscava a equação correspondente Os trabalhos desenvolvidos por René Descartes têm em sua obra Discours de la Méthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans lês Sciences 1637 Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências um tratado filosófico sua obraprima Esse trabalho apresentava três apêndices La dioptrique Les météores e La géométrie sendo esse último portador de suas contribuições à Geometria Analítica Descartes trazia em suas ideias um real avanço às ideias gregas ao relacionar algébrica e geometricamente duas variáveis representando assim a aritmetização da Geometria Uma dessas ideias é assim apresentada segundo Eves 2004 Para os gregos uma variável correspondia ao comprimento de um segmento o produto de duas variáveis à área de algum retângulo e o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo retângulo Os gregos não iam além disso Para Descartes por outro lado x² não sugeria uma área antes porém o quarto termo da proporção 1xxx² suscetível de ser representado por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece x Usandose um segmento unitário é possível dessa maneira representar qualquer potência de uma variável ou um produto de variáveis por meio de um segmento de reta e então quando se atribuem valores a essas variáveis construir efetivamente o segmento de reta com os instrumentos euclidianos Descartes na primeira parte de La géométrie marcava x num eixo dado e então um comprimento y formando um ângulo fixo com esse eixo com o objetivo de construir pontos cujo x e cujo y satisfizessem uma relação dada EVES 2004 p384 Figura 9 Representação de um produto de variáveis por segmentos de reta segundo Descartes 1637 EVES 2004 p385 Interessante observar pela figura apresentada e pelo que cita Eves 2004 que em nenhum momento da obra de Descartes aparecem explícitos os eixos coordenados a ortogonalidade entre eles como ainda um desenvolvimento sistemático que possa ser considerado como um método analítico Segundo o autor o texto foi escrito intencionalmente de maneira obscura e como resultado era difícil de ler o que limitava muito a divulgação de seu conteúdo EVES 2004 p388 Tal fato daria mesmo antes de sua morte muito trabalho aos matemáticos gerações por gerações Contudo no que diz respeito a linguagem simbólica Boyer 1996 p232 menciona que a Álgebra formal atingiu seu auge na obra de Descartes o qual adotou como simbologia o uso de letras do começo do alfabeto para parâmetros e das do fim como incógnitas o uso dos símbolos germânicos e fizeram com que atualmente usássemos a mesma notação pois apoiamonos em seus trabalhos Segundo Boyer 1996 em toda a obra de Descartes La géométrie não há a menção da construção de curvas a partir de suas equações A forma de apresentação da Geometria Analítica como a concebemos hoje surgiu aproximadamente um século após a divulgação do trabalho de Descartes por meio de sucessivas traduções e interpretações entretanto a nomenclatura coordenadas abscissas e ordenadas que utilizamos atualmente foi contribuição de Leibniz em 1692 A análise ferramenta Matemática importante que auxiliou o desenvolvimento do estudo das funções e das séries infinitas a partir de Newton Leibniz e Euler aplicouse também à Geometria então analítica após os trabalhos de Descartes Segundo Lacroix 1798 apud SILVA C 1999 p71 o trabalho de Descartes serviu como ponto de partida mas foi somente no século XVIII que os matemáticos começaram a analisar as curvas a partir das equações gerais a duas incógnitas grifo nosso Silva C 1999 relata que a Geometria Analítica no Brasil a partir de 1812 sécXIX data da primeira tradução da Geometria Analítica de Lacroix por José Victorino de Santos Souza passou a fazer parte dos cursos ministrados pela Real Academia Militar do Rio de Janeiro a partir da utilização dos livrostexto desse autor que foram considerados como os mais adequados para o ensino e por muitos anos eles foram os mais recomendados e utilizados na escola SILVA C 1999 p82 A partir dessa data a Geometria Analítica passou a fazer parte dos currículos na educação brasileira com influência da escola francesa por adotar os livrostexto de Lacroix Segundo a autora podese afirmar que o ensino da Geometria Analítica no Brasil no século XIX orientado pelos mesmos autores de livrostexto recomendados nos demais países não diferia substancialmente do ensino dessa disciplina nos outros países como por exemplo França Alemanha e Estados Unidos SILVA C 1999 p94 Entendemos que a Geometria Analítica presente nos currículos atuais ainda traga resquícios dessa influência francesa Silva 1999 relata que algumas traduções já incorporaram contribuições dadas pelos próprios tradutores dos textos originais franceses Lacroix concebia a Geometria Analítica com duplo enfoque como um meio de combinar os teoremas da Geometria e como um meio geral de deduzir as propriedades a partir de um menor número de princípios SILVA C 1999 p71 Leitura complementar o tópico Estudo do Objeto a equação da reta da dissertação de Márcia Varella disponível em httpwwwpucspbrposedmatmaVARELLAmarciahtml GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA PUCSP 83 GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA PUCSP 79 84 GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA PUCSP 9 Ângulos e distâncias 9 Ângulos e distâncias Retirado da dissertação Prova e demonstração na Geometria Analítica uma análise das organizações didáticas e matemáticas em materiais didáticos Educação Matemática PUCSP 2010 Segundo Silva C 1999 José Victorino dos Santos e Souza formouse em Matemática e foi docente da Real Academia Militar do Rio de Janeiro traduziu várias obras francesas que eram usadas pelos alunos da Academia com suas contribuições em muitas delas Veio a falecer em 1852 no Rio de Janeiro 6 Estudo da reta 6 Estudo da Reta Material elaborado por Saddo Ag Almouloud Maria Inez Rodrigues Miguel e Maria José Ferreira da Silva professores da PUCSP GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA PUCSP 63 8 Posição relativa entre retas e planos 9 Ângulos e distâncias Material produzido por Saddo Ag Almouloud Maria Inez Rodrigues Miguel e Maria José Ferreira da Silv 75 8 Posição relativa entre retas e planos 7 Estudo do plano 7 Estudo do plano 74 GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA PUCSP Referências Referências Anexo C Gabarito dos exercícios extras do capítulo 2 Anexo B Gabarito dos exercícios extras do capítulo 1