Exercícios de Geometria Analítica Vetorial

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Geometria Analítica Vetorial Básica Professor Alexandre Monteiro Alex Shima Magela e Buffo Avaliações T1 P1 T2 P2 Recuperação 1909 1010 0711 2111 0512 Unidade 3 Retas e Planos Exercícios para aula RETAS Vamos obter uma equação que será satisfeita por pontos 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3que cumprem com a seguinte regra Um ponto 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 que se move no espaço ao longo de uma direção fixa a partir de um ponto fixo traça uma reta EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Consideremos um ponto fixo 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e um vetor não nulo 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 Só existe uma reta r que passa por P e que tem a direção de 𝑣 Um ponto 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 pertence a r se e somente se o vetor 𝑃0𝑃 é paralelo a 𝑣 Graficamente Isto é 𝑃0𝑃 𝑡 𝑣 para algum real t Assim 𝑃 𝑃0 𝑡 𝑣 ou 𝑃 𝑃0 𝑡 𝑣 Qualquer uma das equações acima é denominada equação vetorial de r O ponto 𝑃0 é o ponto fixo o vetor 𝑣 é o vetor diretor de r e t é denominado parâmetro 1 Escreva a equação vetorial da reta que passa por 𝐴 1 14 e tem a direção de 𝑣 232 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Reescrevendo a equação vetorial em termos das coordenadas dos pontos obtemos 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑡𝑎 𝑏 𝑐 Ou 𝑥 𝑥0 𝑡𝑎 𝑦 𝑦0 𝑡𝑏 𝑧 𝑧0 𝑡𝑐 Que são denominadas equações paramétricas da reta 2 Dado o ponto 𝑃 23 4 e a direção de 𝑣 1 23 pedese a Escreva a equação paramétrica da reta que passa por A e tem a direção do vetor 𝑣 b Encontre os dois pontos B e C de r de parâmetros t1 e t4 c Determine o ponto de r cuja abscissa é 4 d Verifique se os pontos D412 e E543 pertencem a r e Determinar para que valores de m e n o ponto Fm5n pertence a r RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A ou B e tem a direção do vetor 𝑣 𝐴𝐵 3 Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A312 e B124 OBS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM SEGUMENTO DE RETA 2 As equações paramétricas do segmento de reta AB são as mesmas da reta definida pelos pontos A e B porém com 0 𝑡 1 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA Das equações paramétricas 𝑥 𝑥0 𝑡𝑎 𝑦 𝑦0 𝑡𝑏 e 𝑧 𝑧0 𝑡𝑐 supondo 𝑎𝑏𝑐 0 temos 𝑡 𝑥 𝑥0 𝑎 𝑡 𝑦 𝑦0 𝑏 𝑡 𝑧 𝑧0 𝑐 Como a cada ponto da reta corresponde um único valor de t obtemos 𝑥 𝑥0 𝑎 𝑦 𝑦0 𝑏 𝑧 𝑧0 𝑐 Que são chamadas equações reduzidas da reta que passa pelo ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e tem a direção do vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 4 Escreva as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto 𝑃0 305 e tem a direção do vetor 𝑣 22 1 RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados se seus vetores diretores forem paralelos a 𝑖 100 ou a 𝑗 010 ou a 𝑘 001 5 A reta que passa pelo ponto 𝑃0 234 e tem a direção do vetor 𝑣 003 é paralela ao eixo Oz As equações são 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 3𝑡 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS Considere as retas 𝑟1 e 𝑟2 com as direções dos vetores 𝑣1 e 𝑣2 Definese o ângulo entre duas retas 𝑟1 e 𝑟2 como o menor ângulo formado pelo vetor diretor de 𝑟1 e pelo vetor diretor de 𝑟2 cos 𝜃 𝑣1 𝑣2 𝑣1 𝑣2 6 Calcule o ângulo entre as retas 𝑟1 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 3𝑡 e 𝑟2 𝑥2 2 𝑦3 1 𝑧 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS RETAS PARALELAS Duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são paralelas distintas ou coincidentes se os vetores diretores 𝑣1 e 𝑣2 de 𝑟1 e 𝑟2 respectivamente são paralelos ou seja 𝑟1 𝑟2 𝜆 ℝ 𝑣1 𝜆 𝑣2 RETAS CONCORRENTES Duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são ditas coincidentes quando 𝑟1 e 𝑟2 têm um ponto em comum RETAS REVERSAS Duas retas 𝑟1 e 𝑟2 são ditas reversas se não são nem concorrentes e nem paralelas 7 Verifique se as retas 𝑟1 𝑦 2𝑥 1 𝑧 4𝑥 e 𝑟2 𝑥 3 2𝑡 𝑦 4 𝑡 𝑧 𝑡 são ortogonais ou seja se são retas reversas que formam um ângulo de 90 graus 3 RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 não paralelas com vetores diretores 𝑣1 e 𝑣2 respectivamente Toda reta 𝑟 ortogonal a 𝑟1 e 𝑟2 ao mesmo tempo terá direção de um vetor 𝑣 tal que 𝑣 𝑣1 𝑣2 e a reta estará determinada quando for conhecido um de seus pontos 8 Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A341 e é ortogonal às retas 𝑟1 𝑥 𝑦 𝑧 001 𝑡23 4 e 𝑟2 𝑥 5 𝑦 𝑡 𝑧 1 𝑡 INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 9 Verifique se as retas 𝑟1 e 𝑟2 são concorrentes e em caso afirmativo determine o ponto de intersecção 𝑟1 𝑥 3 ℎ 𝑦 1 2ℎ 𝑧 2 ℎ e 𝑟2 𝑥 5 3𝑡 𝑦 3 2𝑡 𝑧 4 𝑡 PLANOS EQUAÇÃO NORMAL DO PLANO Um dos axiomas básicos da geometria Euclidiana considera que três pontos não colineares no espaço determinam um único plano no espaço Com efeito não é difícil percebermos este fato a partir do desenho abaixo Muito embora um aspecto inerente a esta situação é que a partir destes pontos podemos construir vetores pertencentes ao plano conforme exibe a figura abaixo Como o produto vetorial de dois vetores pertencentes ao mesmo plano produz um vetor ortogonal simultaneamente aos dois vetores que estão sendo multiplicados introduzindo assim uma direção normal fixa ao plano podemos estabelecer uma equivalência ao axioma de Euclides de fato um plano fica unicamente determinado através de um ponto e um vetor ortogonal a qualquer vetor pertencente ao plano A partir desta perspectiva vamos determinar a equação satisfeita pelos pontos x y z que cumprem com a seguinte propriedade Dado um ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 do espaço e dada uma direção normal 𝑁 𝐴 𝐵 𝐶 então pontos arbitrários móveis da forma 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 que definem uma direção 𝑃0𝑃 ortogonal com 𝑁 descrevem um plano A figura abaixo ilustra geometricamente esta propriedade Matematicamente temos que se 𝑃0𝑃 é ortogonal a 𝑁 isto implica que 𝑃0𝑃 𝑁 0 Ou seja Se definirmos 𝐷 𝐴𝑥0 𝐵𝑦0 𝐶𝑧0 temos que a Equação normal do plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e que tem vetor normal dado por 𝑁 𝐴 𝐵 𝐶 é dada por 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶𝑧 𝐷 0 OBSERVAÇÕES i Assim como 𝑁 𝐴 𝐵 𝐶 é um vetor normal ao plano 𝜋 qualquer vetor 𝑘𝑛 𝑘 0 também é ii Os coeficientes A B e C são as componentes de um vetor normal ao plano iii Para obter pontos de um plano dado a sua equação geral basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada 10 Escreva a equação geral do plano 𝜋 que passa pelo ponto A213 e tem 𝑛 32 4 como vetor normal 4 11 Escreva a equação normal do plano 𝜋 que passa pelo ponto A213 e é paralelo ao plano 𝜋 3𝑥 4𝑦 2𝑧 5 0 12 A reta 𝑥 5 3𝑡 𝑦 4 2𝑡 𝑧 1 𝑡 é ortogonal ao plano 𝜋 que passa pelo ponto A212 Determine a equação geral do plano INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO 13 Encontre a intersecção da reta r com o plano 𝜋 onde 𝑟 𝑥 1 2𝑡 𝑦 5 3𝑡 𝑧 3 𝑡 e e 𝜋 2𝑥 𝑦 3𝑧 0 ÂNGULO ENTRE PLANOS Considere os planos 𝜋1 e 𝜋2 que possuem vetores normais iguais a 𝑛1 e 𝑛2 respectivamente Como podemos observar na figura abaixo Dizemos que o ângulo 𝜃 entre o plano 𝜋1 e o plano 𝜋2 é o menor ângulo que o vetor 𝑛1 faz com 𝑛2 Ou seja o ângulo 𝜃 satisfaz Exercícios propostos e aplicações 1 Determine a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A234 e B112 Verifique se os pontos C52 4 5 e D134 pertencem a reta 2 Dada a reta 𝑥 2 𝑡 𝑦 3 𝑡 𝑧 4 2𝑡 determine o ponto r tal que a A ordenada seja 6 b A abscissa seja igual a ordenada c A cota seja o quádruplo da abscissa 3 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B a A112 e B210 b A314 e B322 4 Os vértices de um triângulo são os pontos A113 B214 e C311 Obtenha as equações paramétricas dos lados AB AC e BC 5 Determine o ponto da reta 𝑟 𝑥1 2 𝑦3 1 𝑧 4 que possui a abscissa 5 b ordenada 2 6 Obtenha as equações reduzidas na variável x das retas a Que passa por A403 e tem a direção de 𝑣 245 b Que passa pelos pontos A123 e B3 11 c Dada por 𝑥 2 𝑡 𝑦 3𝑡 𝑧 4𝑡 5 7 Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas 𝑟1 𝑥2 4 𝑦 5 𝑧 3 e 𝑟2 𝑦 𝑛𝑥 5 𝑧 2𝑥 2 8 Sabendo que as retas 𝑟1 e 𝑟2 são ortogonais determine o valor de m 𝑟1 𝑦 𝑚𝑥 3 𝑧 𝑥 1 e 𝑟2 reta que passa por A10m e B22m2m 9 Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas 𝑟1 e 𝑟2 sendo a A000 𝑟1 𝑥 2 𝑦 1 𝑧3 2 𝑒 𝑟2 𝑥 3𝑡 𝑦 𝑡 1 𝑧 2 b A é a intersecção de 𝑟1 e 𝑟2 𝑟1 𝑥 2 𝑦1 2 𝑧 3 𝑒 𝑟2 𝑥 1 𝑦 𝑧 2 2𝑦 10 Verifique se as retas são concorrentes e em caso afirmativo encontre o ponto de intersecção a 𝑟1 𝑥3 2 𝑦1 3 𝑧2 4 e 𝑟2 𝑥 1 𝑡 𝑦 4 𝑡 𝑧 8 3𝑡 5 b 𝑟1 𝑦 2𝑥 3 𝑧 𝑥 10 e 𝑟2 𝑥 𝑦4 3 𝑧1 2 c 𝑟1 𝑥 2 𝑡 𝑦 4 𝑡 𝑧 𝑡 e 𝑟2 𝑦 6 𝑥 𝑧 2 𝑥 11 Calcule o valor de m para que as retas 𝑟1 e 𝑟2 sejam concorrentes 𝑟1 𝑥 𝑚 𝑡 𝑦 1 𝑡 𝑧 2𝑡 e 𝑟2 𝑥1 3 𝑦2 1 𝑧 2 12 Seja o plano 𝜋 3𝑥 𝑦 𝑧 4 0 Calcule a O ponto de 𝜋 que tem abscissa 1 e ordenada 3 b O valor de k para que o ponto Pk2k1 pertença a 𝜋 c O valor de k para que o plano 𝜋1 𝑘𝑥 4𝑦 4𝑧 7 seja paralelo a 𝜋 13 Escreva a equação normal do plano 𝜋 a Que é paralelo a 𝜋 2𝑥 3𝑦 𝑧 5 0 e que contenha o ponto A421 b que é paralelo à reta 𝑥 2 2𝑡 𝑦 1 3𝑡 𝑧 4𝑡 e que contenha o ponto A123 c que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A514 e B171 e seja perpendicular a ele 14 Escreva a equação normal do plano determinado pelos pontos a A102 B121 e C111 b A201 B263 e C034 15 Determine a equação normal do plano nos casos abaixo a O plano passa por A202 e é paralelo aos vetores u111 e v230 b O plano contém os pontos A212 e B1 14 e é perpendicular ao plano xOy c O plano contém os pontos A122 e B 312 e é perpendicular ao plano 𝜋 2𝑥 𝑦 𝑧 8 0 d O plano é paralelo ao eixo z e contém os pontos A034 e B202 e O plano contém o ponto A121 e o eixo x 16 Dadas as retas abaixo encontre a equação geral do plano que as contém a 𝑟1 𝑦 2𝑥 3 𝑧 𝑥 2 e 𝑟2 𝑥1 3 𝑧1 1 𝑦 1 b 𝑟1 𝑥 1 2𝑡 𝑦 2 3𝑡 𝑧 3 𝑡 e 𝑟2 𝑥 1 2𝑡 𝑦 2 𝑡 𝑧 3 2𝑡 17 Estabeleça as equações reduzidas na variável x da reta intersecção dos planos a 𝜋1 3𝑥 𝑦 2𝑧 1 0 𝜋2 𝑥 2𝑦 3𝑧 4 0 b 𝜋1 3𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 𝜋2 𝑥 2𝑦 𝑧 7 0 18 Sejam a reta 𝑟 𝑦 2𝑥 3 𝑧 𝑥 2 e o plano 𝜋 2𝑥 4𝑦 𝑧 4 0 Determine a O ponto de intersecção da reta com o plano xOz b O ponto de intersecção de r com o plano c Equações da reta de intersecção do plano 𝜋 com o plano xOy 19 Calcule o ângulo entre os planos 𝜋1 𝑦 1 0 e 𝜋2 𝑦 𝑧 2 0 PROBLEMAS APLICADOS 20 Em 1907 Alexander Graham Bell desenvolveu um reticulado espacial constituído por barras de mesma dimensão conectadas por um único tipo de nó formando elementos modulares tetraédricos a Localize os vértices de um tetraedro em 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 1 1 1 PS Desenhe os vetores que determinam as arestas do tetraedro no Geogebra3D b Desenhe os vértices do cubo unitário 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 e note que as arestas do tetraedro são essencialmente as diagonais do cubo unitário c Obtenha um versor com ponto inicial no vértice 1 1 1 do tetraedro apontando para a origem d Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo centro do tetraedro considerando o versor do item anterior como o vetor diretor e Determine as coordenadas do centro do tetraedro PS Use o fato que a altura do tetraedro e dada por 𝑙6 3 onde l e a medida do comprimento da 6 aresta do tetraedro e que o centro de massa do tetraedro divide a altura na razão 21 21 Um projetil atravessou a parede e o teto de uma casa Provavelmente o projétil está no telhado da casa Os investigadores sabem que você já estudou vetores e solicitam que você determine o ponto no telhado onde supostamente o projétil está alojado As dimensões da casa estão em metros a Defina o sistema de coordenadas tridimensional como mostrado na figura acima com a origem localizada no chão no canto inferior da casa O projétil atravessa a parede no ponto 10 14 3 e depois atravessa o teto no ponto 7 18 8 Encontre um vetor unitário na direção do caminho do projétil b Usando 10 14 3 como um ponto fixo escreva uma equação vetorial da reta seguida pelo projétil c Qual é a altura do interior da casa do chão até o teto Como você a determinou d A figura mostra que o ponto 0 0 8 está no canto do telhado inclinado Se você correr horizontalmente na direção do eixo x por 6 metros a partir deste ponto e então subir verticalmente 6 metros na direção do eixo z então você irá alcançar o pico do telhado Explique por que N 6i 0j 6k é um vetor normal do plano do telhado que está hachurado na figura e Encontre a equação normal do plano do telhado usando o resultado da parte d f Encontre o ponto no telhado onde os peritos esperam encontrar o projetil 22 A figura mostra uma casa em formato L que será construída O telhado 1 e o telhado 2 têm vetores normais respectivamente dados por Os dois planos se encontrarão em um vale O ponto 30 30 10 está no ponto mais baixo do vale As dimensões estão pés a Encontre as equações normais dos dois planos dos telhados b O topo do vale está no ponto 15 15 z Use a equação do telhado 1 para calcular o valor de z Mostre que o ponto satisfaz a equação do telhado 2 c Escreva o vetor que desloca o fundo do vale ao topo do vale d Determine o comprimento de uma calha de metal que deve ser colocada dentro do vale e As duas seções dos telhados formam um ângulo de um diedro que é e igual ao ângulo entre os dois vetores normais ou o suplemento deste ângulo A calha deve ser dobrada de modo a encaixar neste ângulo Calcule o ângulo obtuso do diedro entre as duas seções dos dois telhados GABARITO 1 xyz234t122 O ponto C pertence à reta mas o ponto D não 2 a 1610 b 52523 c 4916 3 a 𝑥 1 𝑡 𝑦 1 2𝑡 𝑧 2 2𝑡 b 𝑥 3 𝑦 1 3𝑡 𝑧 4 2𝑡 4 𝐴𝐵 𝑥 1 3𝑡 𝑦 1 𝑧 3 𝑡 𝑡 01 𝐴𝐶 𝑥 1 4𝑡 𝑦 1 2𝑡 𝑧 3 4𝑡 𝑡 01 𝐵𝐶 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 2𝑡 𝑧 4 5𝑡 𝑡 01 𝑡 01 5 a558 b 9220 6 a 𝑦 2𝑥 8 𝑧 5 2 𝑥 13 b 𝑦 𝑥 2 5 2 𝑧 2𝑥 5 c 𝑦 3𝑥 6 𝑧 4𝑥 3 7 7 ou 1 8 1 ou 32 9 a 𝑥 2𝑡 𝑦 6𝑡 𝑧 5𝑡 b 𝑥 2 𝑡 𝑦 1 5𝑡 𝑧 3𝑡 10 a concorrentes 𝑃 12 2 b reversas c coincidentes 11 m4 12 a 132 b ½ c 12 13 a 2𝑥 3𝑦 𝑧 13 0 7 b 2𝑥 3𝑦 4𝑧 4 0 c 4𝑥 4𝑦 2𝑧 3 0 14 a 3𝑥 6𝑦 2𝑧 7 0 b 3𝑥 2𝑦 6 0 15 a 3𝑥 2𝑦 5𝑧 16 0 b 2𝑥 𝑦 3 0 c 𝑥 12𝑦 10𝑧 5 0 d 3𝑥 2𝑦 6 0 e 𝑦 2𝑧 0 16 a 𝑥 𝑦 3𝑧 3 0 b 5𝑥 2𝑦 4𝑧 21 0 17 a 𝑦 11𝑥 11 𝑧 7𝑥 6 b 𝑦 𝑥 2 3 2 𝑧 2𝑥 4 18 a 3 2 0 1 2 b 18 11 3 11 4 11 c 𝑦 𝑥 2 1 𝑧 0 19 45 graus 20 057057057 21 22