Condução Bidimensional em Regime Permanente: Métodos de Solução da Equação da Difusão de Calor

Condução Bidimensional em Regime Permanente Recapitulação Isotermas e Isofluxos 1D TQ TF isolado TQ TF 0 L x TQ TF isolado TQ TF x q x q x q T xy xq yq Isotermas e isofluxos Introdução Métodos de Solução da Equação da Difusão de Calor Considerando regime permanente com propriedades constantes e com geração em coord cartesianas 2 2 2 2 0 q x y T T x y k Métodos de Solução ExataAnalítica Método de Separação de Variáveis possível transformada de Laplace ou Fourier Limitado para problemas mais simples ApproximadoGráfico 0 q ApproximadoNumérico VolumeDiferenças Finitas ou Elementos Finitos Mais adaptado para qualquer complexidade Em desuso Condições de Simetria para problemas gráficos e numéricos Método Gráfico Determinação da taxa transferida de calor 2 2 ab cd ac bd x y i q Mq jT M k y x 1 2 M k T N 1 2 M q k T N 4 S5 M é o número de isofluxos e N o número de isotermas Método Analítico 0 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 y x T T T T y T x T Condições de contorno 1 0 0 0 0 0 x W y L x y MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Y Y X X Y Y X X XY X Y Y X do Substituin X x Y y y x 0 0 MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS 2 0 0 Y Y X X Y Y X X XY X Y Y X do Substituin X x Y y y x Autovalor Resultando 0 0 2 2 II X X I Y Y 2 Y Y X X De I y y c e c e y Y Y D D Y D Y Y 2 1 2 2 2 0 0 0 De II c sen x x c x X como a c senbx bx c e x X senbx d i d bx d d e x X i senbx bx d i senbx bx d e x X i sen x x e de Euler Moivre fórmula d e d e e x X d e d e d e d e x X i i são complexos e i m X D X X ax ax ax ix bix bix ax a bi x a bi x x x 4 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 cos 0 cos cos cos cos cos 0 0 2 1 Da solução Geral y y c e c sen x c e x c y x X x Y y y x 2 1 4 3 cos Aplicando as condições de contorno 321 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 4 4 2 1 2 1 3 4 3 autovalores L n n n L então L sen como c L c sen X L y L c c c c Y x c c sen c X y n Da solução Geral y y n n n y y n n n n n n n e x e sen c y x e x e sen c c y x X x Y y y x 4 1 0 2 1 3 autovalores L n c c c n como y senh e e n y y n n 2 y x senh c sen y x n n n n Temse um infinito número de soluções que satisfazem a equação diferencial e as condições de contorno sendo cada solução linearmente independente Como o problema é linear a solução geral será a superposição de todas estas soluções na forma 1 n n n n y x senh c sen x y Para determinarse a constante cn aplicase a última condição de contorno 1 x W 1 1 n n n n W x senh c sen x W Utilizando as propriedades de funções ortogonais n m p x dx x g g n b a m 0 21 1 1 2 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 n W n senh c x dx sen W senh xdx sen W dx senh x sen xdx sen c xdx W sen x senh c sen xdx sen n n n L n n n m L L n n n m L n m L n n n n m L Multiplicando de ambos os lados da equação da pag anterior Métodos de Solução da Equação da Difusão de Calor Considerando regime permanente com propriedades constantes e com geração em coord cartesianas 2 2 2 2 0 q x y T T x y k Métodos de Solução ExataAnalítica Método de Separação de Variáveis possível transformada de Laplace ou Fourier Limitado para problemas mais simples ApproximadoGráfico 0 q ApproximadoNumérico VolumeDiferenças Finitas ou Elementos Finitos Mais adaptado para qualquer complexidade Em desuso Métodos Numérico Diferenças Finitas Método dos Balanços ou Volumes Finitos Elementos Finitos Método dos Volumes Finitos Método de Diferenças Finitas Método do Balanço de Energia 0 in g E E Em Regime Permanente 4 1 0 i m n i q q x y 1 1 m n m n m n m n T T q k y x 431 Energy Balance Method cont A summary of finitedifference equations for common nodal regions is provided in Table 42 Consider an external corner with convection heat transfer 1 1 0 m n m n m n m n m n q q q 1 1 2 2 x y h h 0 2 2 m n m n m n m n m n m n T T T T y x k k x y T T T T or with x y 1 1 h h 2 2 1 0 m n m n m n x x T T T T k k 443 Métodos de Solução Inversão da Matriz Expression of system of N finitedifference equations for N unknown nodal temperatures as A T C 448 Coefficient Matrix NxN Solution Vector T1T2 TN Righthand Side Vector of Constants C1C2CN Solution 1 T A C Inverse of Coefficient Matrix 449 GaussSeidel Each finitedifference equation is written in explicit form such that its unknown nodal temperature appears alone on the left hand side 1 1 1 1 i N ij ij k k k i i j j j j i ii ii ii a a C T T T a a a 451 where i 1 2 N and k is the level of iteration Iteration proceeds until satisfactory convergence is achieved for all nodes 1 k k i i T T What measures may be taken to insure that the results of a finitedifference solution provide an accurate prediction of the temperature field Problem FiniteDifference Equations Problem 439 Finitedifference equations for a nodal point on a diagonal surface and b tip of a cutting tool a Diagonal surface b Cutting tool Schematic ASSUMPTIONS 1 Steadystate 2D conduction 2 Constant properties Problem Cold Plate Problem 476 Analysis of cold plate used to thermally control IBM multichip thermal conduction module Features Heat dissipated in the chips is transferred by conduction through springloaded aluminum pistons to an aluminum cold plate Nominal operating conditions may be assumed to provide a uniformly distributed heat flux of at the base of the cold plate 5 2 10 Wm oq Heat is transferred from the cold plate by water flowing through channels in the cold plate Find a Cold plate temperature distribution for the prescribed conditions b Options for operating at larger power levels while remaining within a maximum cold plate temperature of 40C Problem Cold Plate cont Schematic ASSUMPTIONS 1 Steadystate conditions 2 Twodimensional conduction 3 Constant properties Problem Cold Plate cont ANALYSIS Finitedifference equations must be obtained for each of the 28 nodes Applying the energy balance method to regions 1 and 5 which are similar it follows that Node 1 2 6 1 0 y x T x y T y x x y T Node 5 4 10 5 0 y x T x y T y x x y T Nodal regions 2 3 and 4 are similar and the energy balance method yields a finitedifference equation of the form Nodes 234 1 1 1 2 2 0 m n m n m n m n y x T T x y T y x x y T Energy balances applied to the remaining combinations of similar nodes yield the following finitedifference equations Nodes 6 14 1 7 6 x y T y x T x y y x h x k T h x k T 19 15 14 x y T y x T x y y x h x k T h x k T Nodes 7 15 6 8 2 7 2 2 2 y x T T x y T y x x y h x k T h x k T 14 16 20 15 2 2 2 y x T T x y T y x x y h x k T h x k T Problem Cold Plate cont Nodes 8 16 7 9 11 3 y x T 2 y x T x y T 2 x y T 3 y x 3 x y 8 h k x y T h k x y T 15 17 11 21 2 2 3 3 y x T y x T x y T x y T y x x y 16 h k x y T h k x y T Node 11 8 16 12 11 2 2 2 x y T x y T y x T x y y x h y k T h y k T Nodes 9 12 17 20 21 22 m 1n m 1n mn 1 mn 1 mn y x T y x T x y T x y T 2 x y y x T 0 Nodes 10 13 18 23 1 1 1 2 2 0 n m n m m n m n x y T x y T y x T x y y x T Node 19 14 24 20 19 2 2 0 x y T x y T y x T x y y x T Nodes 24 28 19 25 24 o x y T y x T x y y x T q x k 23 27 28 o x y T y x T x y y x T q x k Nodes 25 26 27 1 1 1 2 2 2 m n m n m n m n o y x T y x T x y T x y y x T q x k Problem Cold Plate cont Evaluating the coefficients and solving the equations simultaneously the steadystate temperature distribution C tabulated according to the node locations is 2377 2391 2427 2461 2474 2341 2362 2431 2489 2507 2570 2618 2633 2890 2876 2826 2832 2835 3072 3067 3057 3053 3052 3277 3274 3269 3266 3265 b For the prescribed conditions the maximum allowable temperature T24 40C is reached when o q 1407 105 Wm2 1407 Wcm2 Options for extending this limit could include use of a copper cold plate k 400 WmK andor increasing the convection coefficient associated with the coolant With k 400 WmK a value of o q 1737 Wcm2 may be maintained With k 400 WmK and h 10000 Wm2K a practical upper limit o q 2865 Wcm2 Additional albeit small improvements may be realized by relocating the coolant channels closer to the base of the cold plate Exercício 1 k10 WmK 01m 01m Calcular 1 T1T25 Analítico e numérico 2 Comparar resultados 3 Calcular fluxos de calor nas paredes e no centro 4 Desenhar as isotermas e linhas de fluxo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20 T21 T22 T23 T24 T25 Exercício 2 k100 WmK w1m 1m Calcular 1 T1T6 Numérico 2 Calcular fluxos de calor vertical e horizontal em cada volume 3 Desenhar as isotermas e linhas de fluxo T0ºC T20ºC T0ºC T1 T2 T3 𝑞 105𝑊𝑚3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 𝑞 106𝑊𝑚3 T15 T16 T17 T18 T19 T20 T21 T22 T23 T24 T25 T100ºC 𝑞 106𝑊𝑚2 𝑞 104𝑊𝑚2 T50ºC 𝑞 104𝑊𝑚2 T200ºC 1m Exercício 3 k100 WmK w1m T1 T2 T3 T4 T5 𝑞 105𝑊𝑚3 T6 1m 1m Calcular 1 T1T6 Numérico 2 Calcular fluxos de calor vertical e horizontal em cada volume 3 Desenhar as isotermas e linhas de fluxo 1m 05m T100ºC T0ºC T200ºC q105Wm2 q104Wm2 q105Wm2