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Geologia ·
Cálculo 2
· 2021/2
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Universidade de Brasília - UnB culdade UnB - Planaltina Disciplina: Cálculo 2 Professor: Lista 06 Questão1: Considere o seguinte PVI (PVI) { y^{(6)} + y^{(4)} - y'' - y = 0 y(0) = 1 y''(0) = 0 y'(0) = -1 y^{(4)}(0) = 1 y'''(0) = 0 y^{(5)}(0) = 2 Observando que a equação característica é igual a r^6 + r^4 - r^2 - 1 = 0 e tem raízes r1 = i, r2 = -i, r3 = 1, r4 = -1, r5 = i, r6 = -i determine a solução do PVI acima. Questão2: Usando Séries de Potências, mais especificamente, Séries de Maclaurin, determine a solução do seguinte PVI. Na solução apresente até o coeficiente do termo de grau 5. (PVI) { y'' - x^3 y = -x^3 + 2 y(0) = 1 y'(0) = 10 Questão3: Determine a solução dos seguintes PVI's. Use Série de potência. Caso não encontre o termo geral da solução escreva pelo menos até o coeficiente da décima potência. a) { y'' - sen(x)y = e^x y(0) = 1, y'(0) = 2 b) { y'' + e^{-x} y' = cos(x) y(0) = 1, y'(0) = 1 Questão4: Determine a solução por série das seguintes EDOS. Quando não for possível exibir o termo geral escreva os cinco primeiros termos da série de Taylor correspondente. a) y' - x^3 y = 0 b) y'' - y' + sen(x^2)y = 0. Sugestão: Use a série Maclaurin de sen(x) com x^2 no lugar de x. c) x^4 y''' - 2ex^2 y' + y = 0. Sugestão: Use a série de Maclaurin de e^x. d) cos(x)y' - sen(x)y = 0. Sugestão: Use a série Maclaurin de sen(x) e cos(x). e) y'' - x^3 y^2 = 0. Sugestão: Escreva y = ∑ n=0 \infty a_n x^n e escreva o quadrado dessa série. Sugestão da sugestão: Escreva y^2 = \left( ∑ n=0 \infty a_n x^n \right) ^2 = \left(∑ n=0 \infty a_n x^n \right) ( ∑ n=0 \infty a_n x^n ). Portanto obtemos que y^2 é igual a y^2 = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...) (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...). Faça y^2 = ∑ n=0 \infty b_n x^n . Quem são os b_n ? Use essa mágica para determinar os b_n para montar as equações. Agora pode ir brincar na equação. Universidade de Brasília – Cálculo 2 1 y(x) = A e^{-x} + B e^x + C \, sen\, x + D cos \, x + E \, x \, sen \, x + F x cos \ x y'(x) = -A e^{-x} + B e^x + C cos \, x - D sen \, x + E[sen \, x + x cos \, x] - F[cos x - x sen \, x] y"(x)= A e^{-x} + B e^x - C \, sen x - D cos x + E[2 cos \, x - x \, sen \, x] + F[2 sen x + x cos \, x] y'''(x)=- A e^{-x} + B e^x - C cos x + D sen x + E(-3 sen x - x cos \, x) + F(-3 cos \, x + x sen \, x) y^{(4)}(x) = A e^{-x} + B e^x + C \, sen x + D cos x + E(.4 cos \, x + x sen \, x) + F(4 sen \, x + x cos \, x) y^{(5)}(x) = A e^{-x} + B e^x + C cos x - D sen x + E(5 sen \ x + x cos \ x) + F(5 cos x - x sen \ x) Aplicando as condições iniciais: y(0) = A + B + D = 1 y'(0) = - A + B + C + F = -1 y"(0)= A + B - D + 2E = 0 y'''(0)= A + B - C - 3F= 0 y^{(4)}(0)= A + B + D - 4E = 1 y^{(5)}(0)= A + B + C + 5 F = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} Utilizando o método de Gauss, obtemos: A = - \frac{1}{8}, B = \frac{1}{8}, C =-2 , D = 1, E =\frac{1}{2}, F = \frac{3}{4} Portanto, a solução do P.V.I é: 1 y(x) = \frac{1}{8}e^{-x} + \frac{1}{8}e^x - 2 cos x + sen x + \frac{1}{2} x sen x + \frac{3}{4} x cos x 2 y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k => y'' - x^3 y = \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2} x^k - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3} =\{2a_2 + 6a_3 x + 12 a_4 x^2\} + \sum_{k=3}^\infty(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k =2a_2 + 6a_3 x + 12 a_4 x^2 + \sum_{n=0}^{\infty} (n+5)(n+4)a_{n+5} x^{n+3} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3} Mas, y'' - x^3 y = 2- x^3, Então: 2a_2+b a_3 x+a_4 x^2+\sum_{n=0}^{\infty}[(n+5)(n+4)a_{n+5}-a_n]x^{n+3}=\lambda x^3 =>\begin{cases}a_2=1, &a_3=a_4=0. \\ 20a_5-a_0=-1 \\ a_{n+5}\ (n+5)(n+4)-a_n=0, &n>0 \\ \end{cases} a_5=\frac{a_0-1}{20} Se\ n=5j, a_{5j+5}=\frac{a_{5j}}{(5j+5)(5j+4)}=\frac{a_{5j-5}}{(5j+5)(5j+4)(5j)(5j-1)}=...=\frac{a_5}{(5j-5)(5j-4)(5j-3)(5j-1)...20} Se\ n=5j+1: a_{5j+6}=\frac{a_{5j+1}}{(5j+6)(5j+5)}=\frac{a_{5j-4}}{(5j+6)(5j+5)(5j+1)(5j)}=...=\frac{a_1}{(5j+6)(5j+5)...30} Se\ n=5j+2: a_{5j+7}=\frac{a_{5j+2}}{(5j+7)(5j+6)}=...=\frac{a_2}{(5j+7)(5j+6)(5j+2)(5j+1)...(5x4)} Se\ n=5j+3\ ou\ n=5j+4,\ temos\ a_{n+5}\propto a_2,a_1 \propto a_4,a_1,\ a_{n+5}=a_{n+5},\propto a_0\frac{a_0}{(5x5)(5x4)...20}.\Portanto\ a_n=0\ para\ esses\ casos. Dessa\ maneira: \tilde{y}(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j+2}x^{5j+2}+\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j+1}x^{5j+1}+\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j}x^{5j}+a_0=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{(5j+2)(5j+1)...(5j-4)...2xi} +\sum_{j=0}^{\infty}a_5x^{5j}+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j)...(5j-5)...5x5} +\sum_{j=0}^{\infty}a_5x^{5j}+ \tilde{y}(0)=1=>\begin{cases}a_0=1, &a_5=\frac{a_0-1}{20}=0\end{cases} =>\tilde{y}(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{(5j+2)(5j+1)...(5j-4)...2xi} +\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_1x^{2j+1}}{(5j+1)(5j)(5j-4)(5j-5)\cdots(6\times5)}+1\\\\y_1'(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j-3)(5j-4)\cdots(2\times1)}+\\\\\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_1x^{5j}}{(5j)(5j-4)(5j-5)\cdots(6\times5)}=10\\\\y'(0)=10=>a_1=10\\\\\therefore\ y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{15j\times5(j-1)(5j-4)(5j-5)\cdots(2\times1)}+\\\\+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j)\cdots(6\times5)}+1\\\\3\quad sen\ x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\\\=>y''-sen(x)\ y= 1/9! [1 + 2/6! + 1/4x5! a_0(1/7! + 1/3!6!) + a_1(3!/6! - 1/4!)] n = 8: a_10 = 1/10![1 + a_1/9! + a_3/7! + a_5/5! + a_7/3! + a_9]= = 1/10![1 + 1/9! + 1/7! + 2/9!6! 1/4x5!x9! + 1/2x3! 7! 2x(5!)2 7!5! 7!4!] + a_1[1/9! + 3!/9!6! - 1/4!9! + 1/7!5!4!3!) + a_0(1/3!6! + 1/5!3! 3!)] Podemos escrever: y(x)= a_0 + a_1x + y(0)= a_0, y'(0)= a_1, pelo PVI: y(0)= 1, y'(0)=-2 => a_0=1, a_1=-2. portanto: y(x)= sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, com a_0=1, a_1=-2 e a_n dado pela relação de recursão a_n = 1/n! - C_{n-2} Com os 10 primeiros termos calculados acima. b) Seja u=y', temos: u'+e^{-x} u = cos(x) u(0) = 1 u_1(x)= sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, u_1'(x)= sum_{n=0}^{∞} n a_n x^{n-1} = sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} => u'+e^{-x} u = sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} + sum_{n=0}^{∞} c_n x^n c_n = sum_{l=0}^{∞} a_l (-1)^{n-l} /(n-l)!, C_0 = a_0, c_1= a_1-a_0 u' + e^{-x} u = cos(x) => sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} + sum_{n=0}^{∞} c_n x^n = sum_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n} / (2n)! => sum_{n=0}^{∞} [(n+1)a_{n+1} + c_n] x^n = sum_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n} / (2n)! => Se n=2k+1, [2k+2]a_{2k+2} + c_{2k+1} = 0 => a_{2} = -1/2 (a_0 - a_1), a_4 = -c_3/4 = -1/4 [a_3 - a_2 + a_1 - a_0/2! 3!] Se n=2k: [2k+1]a_{2k+2} + c_{2k} = (-1)^k / (2k)! => a_1 = - c_0 + 1 = 1 - a_0 a_3 = (-1)/3! - c_3/4! - (-1)/3! - a_0 + a_1 - a_2/2! => u(x) = sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, u(0) = a_0 = 1 => a_1 = 1-a_0=0 a_2= -1/2 y(x) = ∫u(x) dx = b_0 + sum_{n=0}^{∞} a_n x^{n+1} / (n+1) y(0) = 1 => b_0 = 1. Logo: y(x) = 1 + sum_{n=0}^{∞} a_n x^{n+1}/(n+1) Onde os 10 primeiras potências são : b_0=1. a_0 = 1, a_1 = 0, a_2 = -\frac{1}{2} \quad a_3 = -\frac{1}{3!} = -\frac{1}{3!} \text{ } \quad c_3 \) = ]\(4\) ]\(3\) - a_2 \) \( 3 \quad = \frac{1}{3!} = \frac{1}{3!} \quad = C_4\) a_0 \) 1\) = \frac{-1103}{30240} a_5 = \frac{1}{1024} 30240 a_8 = \frac{563}{15240} 864 y_2, n_1 ) ) 0 a_nx^{n+1} (n_1 = 0)y_n = \sum_{n=1}^\infty {(n-1)(n-1)} = 0 \sum_{n_0}^\infty {a_nx^{n+3}} = 0 \sum_{n_1}^\infty {(a_nx^{n-1} - a_nx^{n+3})} + a_0 = 0 \sum_{a_n, a_n, a_n, a_n} 0 n+3 \ \sum_{\sum_0}^{\infty (}} {(n+1) a_{n+4} a_n } x_3^3 = 0 => a_{n+4} = \frac{a_n}{n (4)} \text{4+j+1} \ : \frac{a_{n+3}}{(3n+1)(4n-1)} \0 => (a_{n-1}) \frac{a_{n-1}}{2222}\end{ d_1}} (4i-1)} Se \ n=4_j : a_{4j+4} = \frac{a_{4j}}{4(j+4) \ (4j)} ... = 0 => a_{4i} = \frac{a_0}{4j!} \ = \ 0 \ \text{by}j!, => a_{4i} \ \text{}\ \text{1,}\pn=0 \ \text{−}^\infty \ \frac{1^n(4i)} \sum_{j=0}^{\infty} x^{4} 4i! \ = a_j \ \sum_{j=0}^{0} => \end{}}n= \begin{±}||_{n-1} x \ 0\ \begin{&} 0= x\)=1(1^\infty \( (a_i} - (b_{n ––-4}+\infty - \)) Dessa maneira: y'' - y' + (sen x) y = Σ (n(n+1) a_n x^(n-2) - n a_n x^(n-1)) + Σ C_(n+2) x^(n+2) = 0 => (2a_2-a_1) + (6a_3-2a_2)x + Σ [(n+3)(n+4)a_(n+4) - (n+3) a_(n+3) + C_(n+2)] x^(n+2) = 0 =>a_2 = a_1/2, a_3 = a_2/3 [(n+3)(n+4)a_(n+4) - (n+3)a_(n+3) + C_(n+2)] = 0 a_(n+4) = a_(n+3)/(n+4) - C_(n+2)/[(n+4)(n+3)] a_0 = a_0 a_1 = a_1 a_2 = a_1/2 a_3 = a_2/3 = a_1/3! a_4 = a_2/4 - C_2/4 = 1/4(a_1/2 - 2a_0/4!) a_5 = a_4/5 - C_3/5 = 1/5x4 (a_1/2, 2a_0/4!) + a_1/5x4 e^x = Σ x^n/n! => e^x y' = Σ C_n x^n, C_n = Σ [(k)! a_(k+1)]/(n-k)! =>y'' - 2e^x y' + y = Σ (n+2)(n+1)a_n x^(n+4)/n+2 - 2C_n x^n + a_n x^n = 0 => a_0 = 2C_0 = 2a_1 a_1 = 2C_1 = 2(a_1 + 2a_2) => a_2 = a_1/4 a_2 = 2C_2 = 2(a_1 + 2a_2 + 3a_3) => a_3 = -a_1/24 a_3 = 2C_3 = 2( a_1 + a_2 + 3a_3 + 4a_n ) => a_4 = 3/64 a_1 a_n = 2C_n - a_(n-2)/(n-2)(n-3), se n>4. => y_n(x) = Σ a_n x^n, com a_n dados acima. ∫ y'' = Σ (n+2)(n+1)a_n x^n (cos x) y'' = Σ C_n x^n C_n = Σ (k+2)(k+1)A_(k+2) b_(n,k) = { Σ (k+2)(k+1)(2 a_(k+2) b_(k)) n=2j (-1)^j 2k!/(2j + 2k)! } { Σ (k+2)(k+1)(2 a_(k+2) n=2j+1 (-1)^k b_(2j+2k-1) /(2j+1-2k)! } ⇒( sen x) y = Σ d_n, d_n = [ Σ ( -1)^j ( -2l+1 )/( 2k! - 2l! ) => n = 2j+1 a_2j+ { Σ ( -1)^l k!/( 2j+1-2k )!, } d_n = [ Σ ( a_j/(2k)! ) ] ⇒ (cos x) y'' - (sen x) y = Σ ( C_n - d_n) x^n = 0 => C_n = d_n
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Universidade de Brasília - UnB culdade UnB - Planaltina Disciplina: Cálculo 2 Professor: Lista 06 Questão1: Considere o seguinte PVI (PVI) { y^{(6)} + y^{(4)} - y'' - y = 0 y(0) = 1 y''(0) = 0 y'(0) = -1 y^{(4)}(0) = 1 y'''(0) = 0 y^{(5)}(0) = 2 Observando que a equação característica é igual a r^6 + r^4 - r^2 - 1 = 0 e tem raízes r1 = i, r2 = -i, r3 = 1, r4 = -1, r5 = i, r6 = -i determine a solução do PVI acima. Questão2: Usando Séries de Potências, mais especificamente, Séries de Maclaurin, determine a solução do seguinte PVI. Na solução apresente até o coeficiente do termo de grau 5. (PVI) { y'' - x^3 y = -x^3 + 2 y(0) = 1 y'(0) = 10 Questão3: Determine a solução dos seguintes PVI's. Use Série de potência. Caso não encontre o termo geral da solução escreva pelo menos até o coeficiente da décima potência. a) { y'' - sen(x)y = e^x y(0) = 1, y'(0) = 2 b) { y'' + e^{-x} y' = cos(x) y(0) = 1, y'(0) = 1 Questão4: Determine a solução por série das seguintes EDOS. Quando não for possível exibir o termo geral escreva os cinco primeiros termos da série de Taylor correspondente. a) y' - x^3 y = 0 b) y'' - y' + sen(x^2)y = 0. Sugestão: Use a série Maclaurin de sen(x) com x^2 no lugar de x. c) x^4 y''' - 2ex^2 y' + y = 0. Sugestão: Use a série de Maclaurin de e^x. d) cos(x)y' - sen(x)y = 0. Sugestão: Use a série Maclaurin de sen(x) e cos(x). e) y'' - x^3 y^2 = 0. Sugestão: Escreva y = ∑ n=0 \infty a_n x^n e escreva o quadrado dessa série. Sugestão da sugestão: Escreva y^2 = \left( ∑ n=0 \infty a_n x^n \right) ^2 = \left(∑ n=0 \infty a_n x^n \right) ( ∑ n=0 \infty a_n x^n ). Portanto obtemos que y^2 é igual a y^2 = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...) (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...). Faça y^2 = ∑ n=0 \infty b_n x^n . Quem são os b_n ? Use essa mágica para determinar os b_n para montar as equações. Agora pode ir brincar na equação. Universidade de Brasília – Cálculo 2 1 y(x) = A e^{-x} + B e^x + C \, sen\, x + D cos \, x + E \, x \, sen \, x + F x cos \ x y'(x) = -A e^{-x} + B e^x + C cos \, x - D sen \, x + E[sen \, x + x cos \, x] - F[cos x - x sen \, x] y"(x)= A e^{-x} + B e^x - C \, sen x - D cos x + E[2 cos \, x - x \, sen \, x] + F[2 sen x + x cos \, x] y'''(x)=- A e^{-x} + B e^x - C cos x + D sen x + E(-3 sen x - x cos \, x) + F(-3 cos \, x + x sen \, x) y^{(4)}(x) = A e^{-x} + B e^x + C \, sen x + D cos x + E(.4 cos \, x + x sen \, x) + F(4 sen \, x + x cos \, x) y^{(5)}(x) = A e^{-x} + B e^x + C cos x - D sen x + E(5 sen \ x + x cos \ x) + F(5 cos x - x sen \ x) Aplicando as condições iniciais: y(0) = A + B + D = 1 y'(0) = - A + B + C + F = -1 y"(0)= A + B - D + 2E = 0 y'''(0)= A + B - C - 3F= 0 y^{(4)}(0)= A + B + D - 4E = 1 y^{(5)}(0)= A + B + C + 5 F = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} Utilizando o método de Gauss, obtemos: A = - \frac{1}{8}, B = \frac{1}{8}, C =-2 , D = 1, E =\frac{1}{2}, F = \frac{3}{4} Portanto, a solução do P.V.I é: 1 y(x) = \frac{1}{8}e^{-x} + \frac{1}{8}e^x - 2 cos x + sen x + \frac{1}{2} x sen x + \frac{3}{4} x cos x 2 y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k => y'' - x^3 y = \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2} x^k - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3} =\{2a_2 + 6a_3 x + 12 a_4 x^2\} + \sum_{k=3}^\infty(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k =2a_2 + 6a_3 x + 12 a_4 x^2 + \sum_{n=0}^{\infty} (n+5)(n+4)a_{n+5} x^{n+3} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3} Mas, y'' - x^3 y = 2- x^3, Então: 2a_2+b a_3 x+a_4 x^2+\sum_{n=0}^{\infty}[(n+5)(n+4)a_{n+5}-a_n]x^{n+3}=\lambda x^3 =>\begin{cases}a_2=1, &a_3=a_4=0. \\ 20a_5-a_0=-1 \\ a_{n+5}\ (n+5)(n+4)-a_n=0, &n>0 \\ \end{cases} a_5=\frac{a_0-1}{20} Se\ n=5j, a_{5j+5}=\frac{a_{5j}}{(5j+5)(5j+4)}=\frac{a_{5j-5}}{(5j+5)(5j+4)(5j)(5j-1)}=...=\frac{a_5}{(5j-5)(5j-4)(5j-3)(5j-1)...20} Se\ n=5j+1: a_{5j+6}=\frac{a_{5j+1}}{(5j+6)(5j+5)}=\frac{a_{5j-4}}{(5j+6)(5j+5)(5j+1)(5j)}=...=\frac{a_1}{(5j+6)(5j+5)...30} Se\ n=5j+2: a_{5j+7}=\frac{a_{5j+2}}{(5j+7)(5j+6)}=...=\frac{a_2}{(5j+7)(5j+6)(5j+2)(5j+1)...(5x4)} Se\ n=5j+3\ ou\ n=5j+4,\ temos\ a_{n+5}\propto a_2,a_1 \propto a_4,a_1,\ a_{n+5}=a_{n+5},\propto a_0\frac{a_0}{(5x5)(5x4)...20}.\Portanto\ a_n=0\ para\ esses\ casos. Dessa\ maneira: \tilde{y}(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j+2}x^{5j+2}+\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j+1}x^{5j+1}+\sum_{j=0}^{\infty}a_{5j}x^{5j}+a_0=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{(5j+2)(5j+1)...(5j-4)...2xi} +\sum_{j=0}^{\infty}a_5x^{5j}+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j)...(5j-5)...5x5} +\sum_{j=0}^{\infty}a_5x^{5j}+ \tilde{y}(0)=1=>\begin{cases}a_0=1, &a_5=\frac{a_0-1}{20}=0\end{cases} =>\tilde{y}(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{(5j+2)(5j+1)...(5j-4)...2xi} +\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_1x^{2j+1}}{(5j+1)(5j)(5j-4)(5j-5)\cdots(6\times5)}+1\\\\y_1'(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j-3)(5j-4)\cdots(2\times1)}+\\\\\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_1x^{5j}}{(5j)(5j-4)(5j-5)\cdots(6\times5)}=10\\\\y'(0)=10=>a_1=10\\\\\therefore\ y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+2}}{15j\times5(j-1)(5j-4)(5j-5)\cdots(2\times1)}+\\\\+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{5j+1}}{(5j+1)(5j)\cdots(6\times5)}+1\\\\3\quad sen\ x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\\\=>y''-sen(x)\ y= 1/9! [1 + 2/6! + 1/4x5! a_0(1/7! + 1/3!6!) + a_1(3!/6! - 1/4!)] n = 8: a_10 = 1/10![1 + a_1/9! + a_3/7! + a_5/5! + a_7/3! + a_9]= = 1/10![1 + 1/9! + 1/7! + 2/9!6! 1/4x5!x9! + 1/2x3! 7! 2x(5!)2 7!5! 7!4!] + a_1[1/9! + 3!/9!6! - 1/4!9! + 1/7!5!4!3!) + a_0(1/3!6! + 1/5!3! 3!)] Podemos escrever: y(x)= a_0 + a_1x + y(0)= a_0, y'(0)= a_1, pelo PVI: y(0)= 1, y'(0)=-2 => a_0=1, a_1=-2. portanto: y(x)= sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, com a_0=1, a_1=-2 e a_n dado pela relação de recursão a_n = 1/n! - C_{n-2} Com os 10 primeiros termos calculados acima. b) Seja u=y', temos: u'+e^{-x} u = cos(x) u(0) = 1 u_1(x)= sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, u_1'(x)= sum_{n=0}^{∞} n a_n x^{n-1} = sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} => u'+e^{-x} u = sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} + sum_{n=0}^{∞} c_n x^n c_n = sum_{l=0}^{∞} a_l (-1)^{n-l} /(n-l)!, C_0 = a_0, c_1= a_1-a_0 u' + e^{-x} u = cos(x) => sum_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} + sum_{n=0}^{∞} c_n x^n = sum_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n} / (2n)! => sum_{n=0}^{∞} [(n+1)a_{n+1} + c_n] x^n = sum_{n=0}^{∞} (-1)^n x^{2n} / (2n)! => Se n=2k+1, [2k+2]a_{2k+2} + c_{2k+1} = 0 => a_{2} = -1/2 (a_0 - a_1), a_4 = -c_3/4 = -1/4 [a_3 - a_2 + a_1 - a_0/2! 3!] Se n=2k: [2k+1]a_{2k+2} + c_{2k} = (-1)^k / (2k)! => a_1 = - c_0 + 1 = 1 - a_0 a_3 = (-1)/3! - c_3/4! - (-1)/3! - a_0 + a_1 - a_2/2! => u(x) = sum_{n=0}^{∞} a_n x^n, u(0) = a_0 = 1 => a_1 = 1-a_0=0 a_2= -1/2 y(x) = ∫u(x) dx = b_0 + sum_{n=0}^{∞} a_n x^{n+1} / (n+1) y(0) = 1 => b_0 = 1. Logo: y(x) = 1 + sum_{n=0}^{∞} a_n x^{n+1}/(n+1) Onde os 10 primeiras potências são : b_0=1. a_0 = 1, a_1 = 0, a_2 = -\frac{1}{2} \quad a_3 = -\frac{1}{3!} = -\frac{1}{3!} \text{ } \quad c_3 \) = ]\(4\) ]\(3\) - a_2 \) \( 3 \quad = \frac{1}{3!} = \frac{1}{3!} \quad = C_4\) a_0 \) 1\) = \frac{-1103}{30240} a_5 = \frac{1}{1024} 30240 a_8 = \frac{563}{15240} 864 y_2, n_1 ) ) 0 a_nx^{n+1} (n_1 = 0)y_n = \sum_{n=1}^\infty {(n-1)(n-1)} = 0 \sum_{n_0}^\infty {a_nx^{n+3}} = 0 \sum_{n_1}^\infty {(a_nx^{n-1} - a_nx^{n+3})} + a_0 = 0 \sum_{a_n, a_n, a_n, a_n} 0 n+3 \ \sum_{\sum_0}^{\infty (}} {(n+1) a_{n+4} a_n } x_3^3 = 0 => a_{n+4} = \frac{a_n}{n (4)} \text{4+j+1} \ : \frac{a_{n+3}}{(3n+1)(4n-1)} \0 => (a_{n-1}) \frac{a_{n-1}}{2222}\end{ d_1}} (4i-1)} Se \ n=4_j : a_{4j+4} = \frac{a_{4j}}{4(j+4) \ (4j)} ... = 0 => a_{4i} = \frac{a_0}{4j!} \ = \ 0 \ \text{by}j!, => a_{4i} \ \text{}\ \text{1,}\pn=0 \ \text{−}^\infty \ \frac{1^n(4i)} \sum_{j=0}^{\infty} x^{4} 4i! \ = a_j \ \sum_{j=0}^{0} => \end{}}n= \begin{±}||_{n-1} x \ 0\ \begin{&} 0= x\)=1(1^\infty \( (a_i} - (b_{n ––-4}+\infty - \)) Dessa maneira: y'' - y' + (sen x) y = Σ (n(n+1) a_n x^(n-2) - n a_n x^(n-1)) + Σ C_(n+2) x^(n+2) = 0 => (2a_2-a_1) + (6a_3-2a_2)x + Σ [(n+3)(n+4)a_(n+4) - (n+3) a_(n+3) + C_(n+2)] x^(n+2) = 0 =>a_2 = a_1/2, a_3 = a_2/3 [(n+3)(n+4)a_(n+4) - (n+3)a_(n+3) + C_(n+2)] = 0 a_(n+4) = a_(n+3)/(n+4) - C_(n+2)/[(n+4)(n+3)] a_0 = a_0 a_1 = a_1 a_2 = a_1/2 a_3 = a_2/3 = a_1/3! a_4 = a_2/4 - C_2/4 = 1/4(a_1/2 - 2a_0/4!) a_5 = a_4/5 - C_3/5 = 1/5x4 (a_1/2, 2a_0/4!) + a_1/5x4 e^x = Σ x^n/n! => e^x y' = Σ C_n x^n, C_n = Σ [(k)! a_(k+1)]/(n-k)! =>y'' - 2e^x y' + y = Σ (n+2)(n+1)a_n x^(n+4)/n+2 - 2C_n x^n + a_n x^n = 0 => a_0 = 2C_0 = 2a_1 a_1 = 2C_1 = 2(a_1 + 2a_2) => a_2 = a_1/4 a_2 = 2C_2 = 2(a_1 + 2a_2 + 3a_3) => a_3 = -a_1/24 a_3 = 2C_3 = 2( a_1 + a_2 + 3a_3 + 4a_n ) => a_4 = 3/64 a_1 a_n = 2C_n - a_(n-2)/(n-2)(n-3), se n>4. => y_n(x) = Σ a_n x^n, com a_n dados acima. ∫ y'' = Σ (n+2)(n+1)a_n x^n (cos x) y'' = Σ C_n x^n C_n = Σ (k+2)(k+1)A_(k+2) b_(n,k) = { Σ (k+2)(k+1)(2 a_(k+2) b_(k)) n=2j (-1)^j 2k!/(2j + 2k)! } { Σ (k+2)(k+1)(2 a_(k+2) n=2j+1 (-1)^k b_(2j+2k-1) /(2j+1-2k)! } ⇒( sen x) y = Σ d_n, d_n = [ Σ ( -1)^j ( -2l+1 )/( 2k! - 2l! ) => n = 2j+1 a_2j+ { Σ ( -1)^l k!/( 2j+1-2k )!, } d_n = [ Σ ( a_j/(2k)! ) ] ⇒ (cos x) y'' - (sen x) y = Σ ( C_n - d_n) x^n = 0 => C_n = d_n