Exercícios de Equações Diferenciais

AULA 14 EXERCICIOS EXERCÍCIOS 1º A solução geral da equação diferencial 𝑥²𝑦 5𝑥𝑦 9𝑦 0 é a 𝑦 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥3 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥3 b 𝑦 𝑐1𝑥3 𝑐2𝑥3𝑒𝑥 c 𝑦 𝑐1𝑥3 𝑐2𝑥3𝑙𝑛𝑥 d 𝑦 𝑐1𝑥3 𝑐2𝑥3𝑙𝑛𝑥 e NDA 2º Considere a equação 𝑥𝑦𝑑𝑥 2𝑥2 3𝑦2 20𝑑𝑦 0 Dadas as afirmativas I A equação é exata II A equação não é exata entretanto podese determinar um fator integrante depende apenas de x III A equação não é exata entretanto podese determinar um fator integrante depende apenas de y IV A equação não é exata e não é possível determinar um fator integrante Podemos afirmar que a Apenas I está correta b Apenas II está correta c Apenas III está correta d Apenas IV está correta e Todas estão erradas 3º A solução da equação 𝑒2𝑦 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒𝑦 sin2𝑥 para a inicial 𝑦0 0 é a 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 4 2 cos 𝑥 b 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 4 2 cos 𝑥 c 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 2 2 cos 𝑥 d 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 2 2 cos 𝑥 e 𝑁𝐷𝐴 Utilize essas informações para a resolução das questões de 4 a 6 Dada 𝑦 𝑦 4𝑥 10𝑠𝑒𝑛𝑥 e seguintes condições 𝑦𝜋 0 𝑦𝜋 2 determine 4º A solução da equação homogênea associada é a 𝑦𝑐 𝑐1𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 b 𝑦𝑐 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 c 𝑦𝑐 𝑐1 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 d 𝑦𝑐 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑁𝐷𝐴 5º A solução geral é a 𝑦 𝑐1𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 b 𝑦 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c 𝑦 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 d 𝑦 𝑐1𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑁𝐷𝐴 6º À solução do problema de valor inicial é a 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 b 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥 5𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 d 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 7 Dada a equação 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑦 a Determine sua solução implícita b Sendo k a constante de integração quais são os valores de k para que a solução exista 8 Dada a equação 𝑒2𝑦 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒𝑦 sin2𝑥 a Determine sua solução explícita b Qual a solução que satisfaz a condição inicial 𝑦0 0 9 Dada a equação 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦2cos 𝑥 sin𝑥 𝑦1𝑥2 a Determine sua solução b Qual a solução que satisfaz a condição inicial 𝑦0 2 AULA 14 EXERCICIOS SOLUÇÃO 1 Fazendo 𝑦 𝑥𝑟 temos 𝑥2𝑟𝑟 1𝑥𝑟2 5𝑥𝑟𝑥𝑟1 9𝑥𝑟 0 𝑟2 6𝑟 9 0 𝑟 3 Logo 𝑦 𝑐1𝑥3 𝑐2𝑥3𝑙𝑛𝑥 2 𝑥𝑦𝑑𝑥 2𝑥2 3𝑦2 20𝑑𝑦 0 I Falsa pois a EDO não é exata uma vez que 𝑀𝑦 𝑥 𝑁𝑥 4𝑥 II Falsa pois 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑥4𝑥 2𝑥23𝑦220 3𝑥 2𝑥23𝑦220 III Verdadeira pois 𝑁𝑥𝑀𝑦𝑥 𝑀 4𝑥𝑥 𝑥𝑦 3 𝑦 3 𝑒2𝑦 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒𝑦 sin2𝑥 𝑒2𝑦𝑦 𝑒𝑦 𝑑𝑦 sin2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 2 sin 𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 2 sin 𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 2 cos 𝑥 𝑐 A condição inicial 𝑦 0 quando 𝑥 0 implica em 𝑐 4 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 4 2 cos 𝑥 4 𝑦 𝑦 0 Fazendo 𝑦𝑐 𝑒𝑚𝑥 𝑦 𝑐 𝑚𝑒𝑚𝑥 𝑦 𝑐 𝑚2𝑒𝑚𝑥 Substituindo em 𝑦 𝑐 𝑦𝑐 0 temos 𝑚2𝑒𝑚𝑥 𝑒𝑚𝑥 0 𝑒𝑚𝑥𝑚2 1 0 𝑚 𝑖 logo a solução é 𝑦𝑐 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 5 𝑦 𝑦 4𝑥 10𝑠𝑒𝑛𝑥 Fazendo 𝑦𝑝 𝐴𝑥 𝐵 𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 𝐴 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷𝑋𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 𝐶 cos𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Substituindo na equação temos 𝐶 cos𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐴𝑥 𝐵 𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 10𝑥 10𝑠𝑒𝑛𝑥 2Ccos𝑥 2𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐴𝑥 𝐵 4𝑥 10𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐴 4 𝐵 0 𝐶 0 𝐷 5 Daí 𝑦𝑝 4𝑥 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Logo 𝑦 𝑦𝑐 𝑦𝑝 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 6 Para 𝑦𝜋 0 𝑦𝜋 2 temos 0 𝑐2 4𝜋 5𝜋 𝑐2 9𝜋 𝑦 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 4 5𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 5cos 𝑥 2 𝑐1 4 5 𝑐1 7 Logo a resposta é 𝑦 7𝑠𝑒𝑛𝑥 9𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥 4𝑥 5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 7 a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑦 1𝑢 1𝑢 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑢 1 𝑢 1 𝑢2 1 𝑢 1 𝑢 1 𝑢 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 1 1 𝑢2 𝑢 1 𝑢2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 tan1 𝑢 1 2 ln1 𝑢2 𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑘 tan1 𝑦 𝑥 ln 1 𝑦 𝑥 2 𝑙𝑛𝑘𝑥 tan1 𝑦 𝑥 ln 𝑘𝑥2 𝑦2 b 𝑘 ℜ𝑘 0 8 a 𝑒2𝑦 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒𝑦 sin2𝑥 𝑒2𝑦𝑦 𝑒𝑦 𝑑𝑦 sin2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 2 sin 𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 2 sin𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 2 cos 𝑥 𝑐 b A condição inicial 𝑦 0 quando 𝑥 0 implica em 𝑐 4 𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑦 𝑒𝑦 4 2 cos 𝑥 9 a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦2cos 𝑥 sin 𝑥 𝑦1𝑥2 cos𝑥 sin𝑥 𝑥𝑦2𝑑𝑥 𝑦1 𝑥2𝑑𝑦 0 A solução é exata pois 𝑀 𝑦 𝑑𝑵 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 𝑓 𝑦 𝑦1 𝑥2 𝑓𝑥 𝑦 𝑦2 2 1 𝑥2 ℎ𝑥 𝑓 𝑥 𝑥𝑦2 ℎ𝑥 cos 𝑥 sin𝑥 𝑥𝑦2 ℎ𝑥 cos 𝑥 sin𝑥 ℎ𝑥 1 2 cos2 𝑥 𝑦21 𝑥2 cos2 𝑥 𝑐 ou 𝑦21 𝑥2 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐1 𝑦21 𝑥2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑘 b A condição inicial 𝑦 2 quando 𝑥 0 implica em 𝑐 3 Ou para 𝑦 2 e 𝑥 0 temos 𝑘 2 𝑦21 𝑥2 cos2 𝑥 3 ou 𝑦21 𝑥2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2