Resolução da Lista de Exercícios 4

1 RESOLUGAO DA LISTA DE EXERCICIOS 4 QUESTAO JF A 2cosaydx m senrydy 2cosmydx msenrydy 0 M 2cosry N 7senry TESTEMOS R 8M 3 1 aS SO 2 R senry am senmy 0 R2 COMO R NAO E FUNGAO DE y ELE PODE SER CONSIDERADO UM FATOR INTEGRANTE Fa exp Rxae Fa exp 2a Fa e e x 2cosrydx msenrydy 2e cosrydx re senrydy 0 M 2e cosry N e senry MI oe 2re senry On 7 27e seny aM oN Oy Ox TEMOS ENTAO UMA DIFERENCIAL EXATA du du 2e cosmrydx re senmydy 0 INTEGRANDO M COM RELAGAO A y u Mac poe cosrydx 2oosny eae 20st era cosmye cy DERIVANDO u coszy e2 cy com RELAGAO A y oe 5 cosrye cy es msinrye cy IGUALANDO ESTE RESULTADO A N rsenzye cy me sen7y ENCONTRAMOS cy 0 cly k A SOLUCGAO u E DADA POR u e cosry ey u e cosry k C SOLUCAO GERAL B 2yaydx 2rdy 0 2 M2yay N 2 OM ON TESTEMOS R 4 2 3X 1 1 Qr2 Rag Ctr 5 R NAO DEPENDE DE y O FATOR INTEGRANTE SERA DADO POR 1 Fa exp Rede exp5dz Fa e 2y xydx 2ady 0 Qy ayedax 2xedy 0 M 2y aye N 2Qae oy 72 2 OM Qe7 4 re e72 4 2 Ox au aN Oy Ox TEMOS ENTAO UMA DIFERENCIAL EXATA du du 2y xydx 2ady 0 INTEGRANDO M COM RELACAO A z u Mac Jeu cyedax u ay fer y wera cy u 2y2 fen y 26 222 cy u Aye 2xye Aye cy u 2axye cy DERIVANDO u 2aye cy COM RELAGAO A y du 2re cy oy IGUALANDO ESTE RESULTADDO AN Qre cy Qre cy 0 cy k A SOLUCAO E DADA POR u2eye kc SOLUCAO GERAL SOLUGAO GEERAL C 1 Qa 4cy dx 2dy 0 M 14 227 4ryN 2 OM ON Oy Ox 3 aM aN TESTANDO R 2 ox R 5 de 0 2n R E UMA FUNGAO DE SOMENTE O FATOR INTEGRANTE E ENTAO Fa exp Rxae 2 Fa exp 2 exp Fa ev e x 1 2a dry dx 2dy 0 1 Qa 4xy e dx 2e dy 0 M 1 Qn dry ev N Qe 4re ON 2 2 on 2e 24 Axe aM oN Oy Ox INTEGRANDO M COM RELAGAO A x u Mac d Qa day e dx eu 2 f tea ty ve av A PRIMEIRA INTEGRAL NAO POSSUI PRIMITIVA RESOLVENDO A SEGUNDA INTEGRAL POR PARTES 2 f rea 2 2ne ae oe 2Qedx re ow RESOLVENDO A TERCEIRA INTEGRAL ENCONTRAMOS Ay ve dx 2Qy e Qedx Qye7Y VOLTANDO PARA O CALCULO DE u u Mac ove ae ow 2ye ey a 2ye ely DERIVANDO ISSO COM RELAGAO A y OH 26 ely Oy IGUALANDO AN Qe 4 cy Qe ey 0 cy k 4 SOLUCAO GERAL D y 1dx x 1dy 0 My41 N1 OM ON 1 1 Oy Ox OM ON ay Oe CALCULEMOS R 10OM ON 1 R 11 aS m x 1 Ph y O FATOR INTEGRANTE E ENTAO Fa exp Rede Fa exp 2 dx e7 2 lett x1 2 1 F Ina1 1 2 x e 0 op y l G 12 12 dx 12 yap dy 0 y 1 1 ir e120 roi My1a1 N1e1 INTEGRANDO M COM RELAGAO A z ytl1 dx w Mac ae w Se FAZENDO 412drdz dz gt y 1 Myt fSwn ash 1 DERIVANDO u COM RELAGAO A y Ou 1 dy 41 1 IGUALANDO AN 1 ee ae OM cy 0 ely k A SOLUCGAO GERAL PODE SER ESCRITA COMO ytl 1 1 kc x1 E ycosxdx 3senxdy 0 Mycosz Ns3senz a a TESTANDO R 2 3X 5 1 2cos x R Jeena cosz 3cosx Seen FATOR INTEGRANTE Fx e we dx e 2 COs j xv exp xdx exp Zsa 2 1 Fa exp 3 cossen zdx 2 1 exp3 sen 2 dsen x 2 2 13 exp3 Insen z exp In sen x sen3 x ycos x sen23 rdx 3senxzsen23 rdy y cosa sen3 xdx 3sen3 rdy My cosa sen23 a N3sen3 a MI OM cos x sen3 zr ON cos x sen3 Oy Ox OM ON Oy Ox INTEGRANDO M COM RELACAO A z u Mac J veosa sen3 a da 13 Uu y sen dsenx y my cy 13 u 3ysen3 x cy DERIVANDO wu com RELACAO a y O ay 3sen3 x cy IGUALANDO ISSO AN 3sen9 cy 3sen x cy 0 cy k SOLUCAO GERAL u3ysentarkc ysent3C uU Mac J vcosa sen 23 rdx 13 py sen atsona y oly 13 uu 3ysen x cy DERIVANDO yp com RELACAO a y 0 ay 3sen3 x cy IGUALANTO ISSO AN 6 3sen cy 3sen3 x cy 0 cy1 SOLUCAO GERAL u3ysenarkc 3ysenl3 a F 2ydx 3xdy 0 M2y N32 pt 2M oN N dy Ox 1 1 R 3g 2 3 35 Fa exp Rxae exp ar 32 Fx exp 3 exp In a18 3 2 Fx ge i3 2y ada 3a a3 dy 0 2y a 3dax 32735 dy 0 M2ya3 N 373 OM 13 ON 13 dy 2x a5 22 oM aN Oy Ox INTEGRANDO M COM RELAGAO A x u Max ev ae 2y 2a u2ya3 cy 3Byx cy DERIVANDO u COM RELACAO A y is 3a3 cy IGUALANDO ISSO AN 30238 4 cy 38223 cy 0 cy k A SOLUGAO GERAL E DAOA POR u 3aykc 3223y C QUESTAO 2 AS EDOS DE 1 ORDEM LINEARES NAO HOMOGENEAS y pxy ra PODEM SER RESOLVIDAS POR MEIO DA TECNICA DO FATOR INTEGRANTE EQUAGOES EXATAS APLICANDO ESTA TECNICA A EQUACAO ACIMA RESULTA EM UMA FORMULA PARA A SOLUCAO GERAL 7 dy an 7 Py 7 9 dy py rda 0 py rdx dy 0 Mpyr N1 aM ON ay On 1 OM ON 1 n Ga z p FATOR INTEGRANTE Fa exp Rede exp vac Fdy Fpy rdx 0 F py rdx Fdy 0 I MFpyr I NF OM ON 0 F a1 JS pdx F Oy Or Ox P am aN Oy Ox TRABALHANNO EM I VEMOS QUE Fpydx Frdx Fdy 0 Fopydz Fdy Frdz Fpdxy Fdy Frdx Fy Fy dx Frdz Fydz Frdx eve Fravc Fy Pra c 1 Fra y F Trax C a 1 es Pl nda y eS pda yv e J Pde eS PM pda USAREMOS ESTA FORMA PARA RESOLVER AS EDOS DE 1 ORDEM LINEARES NAO HOMOGENEAS 2A y 3y 12 y0 6 p3 r12 yv e J 3 ef mt i2dx c yx e 12 edz c yx e 4e c 44 ce7 y0 6 44ce 65c2 SOLUCGAO PARTICULAR J yx 4 2e7 2B yy1 y03 8 pl 0 ra1 yx e7 J idx fefies 1ar e yz e ea 1dx CALCULO DE f ex 1dzx Jew 1dx Je x 42r1 dx eeu 2 f erate a0 vetar verde 2 f verdes evar c1 f wetdr e a 1 we e e a1a1e e 2 1 e e a 141e 27e VOLTANDA A SOLUCAO GERAL ya e ae cl x ce SOLUCGAO PARTICULAR y0 0ce 3 c3 2C y 2ey4ar 0 3 p 22 r 4a ya en J 2adax fel 24 derda c ya en e Axdx ya en 2 e2eas ya en 2 eh c ye 2 ee SOLUCAO PARIICULAR y0 24ce 3 c1 4D ycoth2x 2y2 y0 0 AQUI DEVEMOS RESCREVER ESTA EQUACAO PARA DEIXALA NA SEGUINTE FORMA y pay r h 2 2 y coth2x coth2x 2 2 px coth2x mz coth2x CALCULO DE expf pda 9 e 2 f e 2 f cosh 20 x senh 20d xp cotha xp s x x senh 2adx coth2a cosh2x senh2z exp In cosh 2z exp In cosh 22 1 cosh 2x cosh 22 cosh 2x SOLUGAO GERAL yx exp va cf mrade c 2dx cosh2z yx cosh2a coth2 cosh2z r 2dx x cosh2z aszte ule 22 cosh2e cosh2z senh2r 1 yx cosh2z yx 1 ccosh2z SOLUCAO PARTICULAR y0 1 ccosh0 0 y0 1c04c1 yx 1 cosh2z 2B yi kyse y0 07 pxk rx e CALCULO DE exp f pdx exp vac exp kd ek SOLUCAO GERAL yx exp va ef Px dar yx e ek eP da yx e a e ya e 0 SOLUGAO PARTICULAR y0 e0 ce 07 c07 yx e x 07 QF yi are y11 y 2 er x px 2x rx ae 10 CALCULO DE exp f pdz 2 exp verae exp 2ae exp2 In x exp In a SOLUCAO GERAL yx exp va ef Pl nn dex yx a e eterae yl 22 e o SOLUCAO PARTICULAR y1 1 e c 1 cle ya 22 e1 QUESTAO IF RdQ 1 a 1 GOH EY dQ 1 Et dt RO R a et dt 20001 20 ga 1 og 3628 a toa 5Q 3e pt 5 vt e CALCULO DE exp f ptdt exp vieae exp sat e SOLUCGAO GERAL Qt exp exp var rtdt Qt e e 36 dt Qt e e Qt e ce7 SOLUGAO PARTICULAR Qt 0 0 Q01te103c1 TEMPO EM QUE Qt ALCANCGA UM MAXIMO DE CARGA 11 dQ dt 2e2t 5e5t 0 2 5e3t 0 e3t 25 ln e3t ln 25 3t ln 25 t ln 25 3 t 0 305 s