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Estatística e Ciência de Dados ·
Cálculo 2
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Prova 3 - SMA0332 - Cálculo II - 19.12.2022 Prof. Sergio H. Monari Soares Nome: Número USP: Questão Valor Nota 1.a 2,5 2.a 2,5 3.a 2,5 4.a 2,5 Total 10,0 Instruções 1. Você só poderá sair da sala de aula após entregar a sua prova. 2. O uso de quaisquer equipamentos eletrônicos é proibido. Em particular, desligue e guarde o seu telefone celular. Portar em mãos ou utilizar quaisquer equipamentos eletrônicos durante a prova resultará em anulação da sua avaliação. 3. Esta prova é individual. Tentativas de consultar colegas, fornecer informações a colegas, consultar material bibliográ co, anotações pessoais etc. resultará em anulação da sua avaliação. Termo Compromisso Eu, abaixo assinado, empenho a minha honra em realizar esta avaliação de acordo com as instruções recebidas, de modo estritamente individual, sem consultar ou fornecer informações aos meus colegas, respeitando assim o propósito da avaliação, os meus colegas e professores bem como o Código de Ética da Universidade de São Paulo. Assinatura: 1. Seja \( \vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) \) um campo vetorial de classe \( C^1 \) no \( \mathbb{R}^2 \), EXCETO em \( (0, 0) \), tal que \( \frac{\partial Q}{\partial x} (x, y) = \frac{\partial P}{\partial y} (x, y) + 4 \) para todo \( (x, y) \neq (0, 0) \). Sabendo que \[\oint_{\gamma} Pdx + Qdy = 6\pi\] onde \( \gamma \) é a circunferência \( x^2 + y^2 = 1 \), orientada no sentido anti-horário. Calcule \[\oint_{C} Pdx + Qdy\] onde \( C \) é a elipse \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \), orientada no sentido anti-horário. 2. Seja \( S \) a superfície fechada composta pelo cilindro \( x^2+y^2 = 1 \) com “fundo” \( S_1 \) sobre \( z = -1 - x \) e “tampa” \( S_2 \) sobre \( z = 1 - x \), orientada com campo normal externo. Dado o campo vetorial \[ \vec{F}(x, y, z) = \left( x + 1, xy + zx^3 + \frac{z^4}{4} - z \right) , \] (a) Calcule o fluxo exterior de \( F \) através de \( S \). (b) Considerando-se \( \tilde{S} = S - S_1 \) (\( S \) sem o “fundo”), com a mesma orientação que \( S \), calcule o fluxo de \( F \) através de \( \tilde{S} \). 3. Seja \( \vec{F}(x, y, z) = (z, x, -2y) \). Seja \( S \) a porção do gráfico de \( g(x, y) = 1 - x^2 - y^2 \) contida no primeiro octante e orientada com campo normal \( \vec{n} \) tal que \( \vec{n} \cdot \vec{k} \geq 0 \). Calcule \[ \oint_C \vec{F} d\vec{r}, \] onde \( C \) é o bordo de \( S \) e está positivamente orientada em relação a \( \vec{n} \). Seja \( \vec{F}(x, y, z) = (2xz + y^2, 2xy + 3y^2, e^z + x^2) \). (a) \( \vec{F} \) é um campo conservativo no \( \mathbb{R}^3 \)? Por quê? (b) Seja \( C \) a curva obtida como interseção da superfície de equação \( z = 9 - x^2 - y^2 \), \( z \geq 4 \) com o plano \( y = 2 \). Calcule \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \), especificando a orientação escolhida.
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