Lista 1 - Números Naturais - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1

Lista 1 - Números Naturais Prof.: Tiago Picon 1) Mostre as seguintes fórmulas por indução (a) 1 + 2 + ... + n = \frac{n.(n+1)}{2} (b) 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n.(n+1).(2n+1)}{6} (c) 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n.(n+1)}{2}\right]^2 (d) \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n.(n+1)} = \frac{n}{n+1} 2) Uma sequência (a_n) de números reais é uma P.A. (Progressão Aritmética) quando a_{n+1} = a_n + r (a) Utilizando indução mostre que a_n = a_1 + (n-1).r (b) '' '' '' '' '' S_n = \frac{(a_1 + a_n).n}{2} no qual S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 3) Sejam A e B dois conjuntos com n e m respectivamente. Mostre que o no de funções de A em B é m^n (utilize indução) 4) Mostre por indução que (a) n! > 2^n, n \geq 4 (b) n! > 3^n , n \geq 7 (c) n! < n^n, n \geq 2 5) Seja a \in \mathbb{N}. Mostre que para cada n \in \mathbb{N} existe m \in \mathbb{Z} tal que (a) (a+1)^n = ma + 1 (b) (a-1)^{2n+1} = ma - 1 (c) (a-1)^{2n} = ma + 1 6) Dados a, b \in \mathbb{N} e n, m \in \mathbb{N} mostre que (a) a < b \Leftrightarrow a^n < b^n (b) a > 1 temos m < n \Leftrightarrow a^m < a^n