Lista 6 - Estruturas Algébricas - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1

Prof. Tiago Picon - Tópicos de Álgebra Lista 6 - Estruturas Algébricas Questão 1 Quais dos seguintes subconjuntos I de Z são ideais de Z: (a) I = { m ∈ Z | tal que m é divisor de 24 } (b) I = { m ∈ Z | 21m é divisível por 9 } (c) I = { m ∈ Z | 24 é divisor de m } (d) I = { m ∈ Z | mdc(7,m) = 1 } Questão 2 (a) I1, I2 são ideais em Z => I1 ∩ I2 é ideal em Z (b) Ij ideais em Z / j = 1, ..., n => I1∩...∩Ij " " em Z (c) Ij ideais em Z / j = 1, ..., n => I1+...+Ij " " em Z (d) I1, I2 são ideais em Z => I1∪I2 é ideal em Z ?? VERDADEIRO OU FALSO Questão 3 I ideal de Z. Se 1 ∈ I => I = Z Questão 4 Sejam m, n ∈ Z . Prove que Zm ∩ Zn = Z/q no qual q = m.m.c.(m,n) Questão 5 Defina 3 relações de equivalências distintas No conjunto A={ a, b, c, d, e } Questão 6 Complete a demonstração em aula para provar que Zn é um anel comutativo com unidade Questão 7 Seja (K,+,•) um corpo (ii) Prove que 0∈K elemento neutro da soma é único (iii) Prove que 1∈K elemento neutro do produto é único (iii) Prove a regra do cancelamento: x•y = x•z e x≠0 => y=z ∀ x ∈ K (iv) Prove que 0•x = 0 ∀ x ∈ K Questão 8 Seja Z[√2] = { x ∈ R : x=a+b√2 , a,b ∈ Z } Defina as seguintes operações + e • (a+b√2) + (c+d√2) := (a+c) + (b+d)√2 (a+b√2) • (c+d√2) := (ac+2bd) + (bc+ad)√2 Prove que: ∀ a, b, c, d, e ∈ Z (i) a+b√2 = c+d√2 <=> a=c e b=d (ii) (Z[√2], +, •) é um domínio de integridade (iii) Z[√2] é um corpo? (iv) Defina Q[√2] = { x ∈ R : x=a+b√2 , a,b ∈ Q } e as operações +, • como acima. Verifique que Q[√2] é um corpo