Ementa de Transferência de Calor: Modos e Fundamentos

29092023 1 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Ementa UNESC Modos de TRC condução convecção e radiação Equação da condução de calor Modelo de resistências térmicas para o estado estacionáriopermanente Superfícies estendidas Aletas Convecção externa e interna Convecção natural Ebulição e condensação Análise térmica em trocadores de calor Dimensionamento de trocadores de calor cascotubos Fundamentos da radiação térmica fatores de forma 29092023 2 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Modos de TRC Calor é a energia térmica em movimento devido a uma diferença de temperatura 29092023 3 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Modos de TRC Condução relacionase com a atividade molecular pois são processos nessa escala que sustentam esse modo de TRC Gases e vapores a condução é vista como a transferência de energia das partículas mais energéticas para as menos energéticas devido às interações entre elas Líquidos a situação é semelhante aos gases embora as moléculas estejam menos espaçadas e suas interações sejam mais fortes e mais freqüentes Sólidos devese às vibrações em sua rede cristalina Em um não condutor elétrico a transferência de energia ocorre exclusivamente por meio dessas vibrações em um condutor é auxiliada pelo movimento translacional dos elétrons livres 29092023 4 Prof Dr Jorge E Corrêa Lei de Fourier Condução unidimensional em regime permanente Fluxo térmico na direção Wm² Gradiente de temperatura em Km Condutividade térmica do material WmK x x dT x dx k q dT q k x dx 11 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução unidimensional regime permanente Em regime permanente o perfil de temperatura é linear Daí o gradiente de temperatura Km Cm numa parede de espessura L m Então o fluxo térmico Wm² será 12 12a 29092023 5 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução unidimensional regime permanente Para calcular a taxa de TRC na direção x 13 onde A área transversal da parede m² W x x q A q Prof Dr Jorge E Corrêa Tabela 11 Condutividade Térmica de Materiais à 300 K WmK Diamante 2300 Cerâmica 072 Prata 429 Água Líquido 0607 Cobre 401 Pele Humana 037 Ouro 317 Madeira Pinho 017 Alumínio 237 Hélio Gás 0152 Aço 802 Borracha Leve 013 Mercúrio Líquido 854 Fibra de Vidro 0043 Tijolo refratário 17 Ar Gás 0026 Vidro 078 Uretano Espuma Rígida 0026 29092023 6 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução unidimensional regime permanente Exemplo 11 A parede de um forno industrial é feita de tijolo refratário com 15 cm de espessura e sua condutividade térmica é 17 WmK Em regime permanente suas superfícies interna e externa estão respectivamente a 1400 K e 1150 K Determine a taxa de TRC na parede com dimensões de 05 x 12 m Prof Dr Jorge E Corrêa Condução unidimensional regime permanente Exemplo 11 29092023 7 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Convecção Convecção TRC entre o escoamento de um fluido em contato com uma superfície sólida à temperatura diferente Dois mecanismos de transferência de energia térmica estão presentes Difusão movimento molecular aleatório Advecção movimento macroscópico do fluido Movimento macroscópico as moléculas movemse aglomeradas Os aglomerados retêm o movimento aleatório das moléculas por isso a TRC na convecção devese à superposição de transporte de energia por difusão e advecção Assim o termo convecção referese a este transporte cumulativo 29092023 8 Prof Dr Jorge E Corrêa Lei do resfriamento de Newton para a convecção Fluxo térmico Wm² Temperatura na superfície K ou C Temperatura na corrente livre K ou C Coeficiente convectivo Wm²K q Ts T h q h T T s 14 Prof Dr Jorge E Corrêa Tipos de convecção A convecção pode ser Forçada o escoamento é causado por meios externos como um ventilador uma bomba ou mesmo ventos atmosféricos Livre ou natural o escoamento é induzido por forças de empuxo decorrentes de diferenças de densidade causadas por variações de temperatura no interior do fluido Mista o escoamento devese à sobreposição da convecção forçada à natural 29092023 9 Prof Dr Jorge E Corrêa Tipos de convecção Prof Dr Jorge E Corrêa Tipos de convecção A convecção foi descrita como a TRC que ocorre entre uma superfície e um fluido Tipicamente transferese somente energia interna sensível para ou do fluido Em alguns processos convectivos também há troca de calor latente geralmente associado a uma mudança de fase do fluido líquido para vapor ou viceversa Casos especiais Ebulição Resulta do movimento do fluido induzido por bolhas de vapor geradas pelo contato com uma superfície quente Condensação Pela formação de gotas de água sobre uma superfície fria 29092023 10 Prof Dr Jorge E Corrêa Tipos de convecção Prof Dr Jorge E Corrêa Coeficientes convectivos Coeficiente convectivo seu valor depende da geometria da superfície da natureza do escoamento e das propriedades termofísicas do fluido Tabela 12 Tipo de Convecção h Wm²K Livre Natural Gases 2 25 Líquidos 50 1000 Forçada Gases 25 250 Líquidos 100 20 000 Com mudança de fase Ebulição ou Condensação 2500 100 000 29092023 11 Prof Dr Jorge E Corrêa Convecção Exemplo 12 Num escoamento em contato com uma superfície sólida a temperatura do fluido é 25C na superfície 80C e o coeficiente convectivo 500 Wm²K a Determine o fluxo térmico na superfície Wm² b Comente sobre a natureza do escoamento com base no valor do coeficiente convectivo da Tabela 12 Prof Dr Jorge E Corrêa Convecção Exemplo 12 29092023 12 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Espectro de radiação eletromagnética 29092023 13 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação Radiação térmica é a energia emitida pela matéria na faixa de 01 a 100 μm de comprimento de onda Embora nosso estudo aborde somente a emissão em superfícies sólidas ela também ocorre em líquidos e gases Independentemente da natureza da matéria a emissão pode ser atribuída a mudanças na configuração eletrônica das moléculas de seus constituintes A energia da radiação é transportado por ondas eletromagnéticas ou por fótons Ao contrário da condução e da convecção a transferência de radiação ocorre de forma mais eficiente no vácuo Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação A emissão de radiação por uma superfície real é dada pelo seu poder emissivo E 15 Se ε 1 o poder emissivo é máximo Isto só ocorre numa superfície idealizada denominada corpo negro blackbody 16 8 4 4 emissividade da superfície 0 1 5 67 10 Wm²K constante de StefanBoltzmann temperatura absoluta da superfície K s Ts E T 4 Lei de StefanBoltzmann b s E T 29092023 14 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação A superfície real absorve parte da irradiação G que nela incide Em superfícies opacas α 1 e parte da irradiação é refletida Em meio semitransparente parte da irradiação é transmitida Somente as parcelas absorvida e emitida alteram a energia interna do meio absortividade da superfície 0 1 irradiaçãoWm² abs G G G 17 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação Caso especial pequena superfície completamente envolvida pela vizinhança com temperaturas diferentes 29092023 15 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação Admitindose superfície cinza difusa ε α o fluxo térmico líquido de radiação será que fornece a diferença líquida entre a energia emitida e absorvida na superfície Para convecção e radiação simultânea temse 18 19 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação Nessa situação é conveniente expressar a taxa líquida de radiação por onde o coeficiente linearizado de TRC por radiação é dado por 110 111 29092023 16 Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação Exemplo 13 Uma tubulação de vapor atravessa uma sala na qual a temperatura do ar e das paredes é 25C O diâmetro externo do tubo é de 70 mm sua temperatura superficial de 200C e sua emissividade 08 a Determine o poder emissivo da superfície do tubo e a irradiação b Se o coeficiente convectivo é de 15 Wm²K qual será a taxa de calor liberado na superfície do tubo por unidade de comprimento Prof Dr Jorge E Corrêa Radiação 29092023 17 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Analogia entre resistência elétrica e térmica Nos três modos de TRC a equação das taxas pode ser expressa em termos da resistência térmica por meio de analogias com os circuitos elétricos condução 1 convecção 1 radiação t e t r L kA V T I q R R R hA h A 112abc 29092023 18 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia Termodinâmica e TRC são assuntos correlatos e complementares porém exibem algumas diferenças fundamentais Em Termodinâmica o calor é um dos principais mecanismos de transferência de energia entre um sistema e sua vizinhança Embora a termodinâmica seja usada para determinar a quantidade de calor que altera o estado de um sistema ela não trata dos métodos para calcular as taxas de TRC Para superar essas limitações a TRC define equações para quantificar essas taxas de modo que a primeira e segunda leis da Termodinâmica possam ser aplicadas com maior abrangência aos sistemas térmicos 29092023 19 Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia Para um sistema fechado a conservação da energia é expressa por E total soma de energias mecânica potencial e cinética e interna térmica sensível latente química nuclear variação da energia total armazenada no sistema interação líquida de calor interação líquida de trabalho Etotal Q W arm total Earm Q W Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia A soma das parcelas sensível e latente da energia interna fornece a energia térmica Parcela sensível está associada principalmente com variações de temperatura embora também possa depender da pressão gases Parcela latente relacionase com mudanças de fase no sistema Na fusão evaporação e ebulição a parcela latente aumenta na condensação solidificação e congelamento diminui Se não há mudança de fase ela pode ser ignorada nos cálculos t sensível latente U U U 29092023 20 Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia A energia armazenada no sistema é dada por Em muitos problemas o único termo relevante é o de energia interna sensível Daí st t Cinética Potencial Armazenada Térmica E KE PE U st sensível E U Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia A primeira lei para um sistema expressa em função das taxas de TRC Nessa forma a 1ª lei envolve somente as energias interna e mecânica Todos os termos dessa equação estão em watts W 113 29092023 21 Prof Dr Jorge E Corrêa Conservação da energia Uma forma da primeira lei mais adequada aos processos que ocorrem em dado intervalo de tempo Δt é dada por Nessa forma da 1ª lei a energia pode entrar ou sair do sistema como calor eou trabalho Todos os termos dessa equação estão em joule J 114 Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 22 Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Em TRC focamos principalmente as energias térmica e mecânica Devemos reconhecer que dentro de um sistema elas são ou não conservadas pois pode haver conversão entre elas eou com outras formas de energia Se uma reação química reduz a quantidade de energia química no sistema isto pode resultar em um aumento da sua energia térmica Se um motor elétrico opera dentro de um sistema a energia elétrica será convertida em energia mecânica e também em energia térmica Tais conversões de energia resultam em geração de energia térmica ou mecânica cujo valor líquido pode ser positivo ou negativo Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Processos que adicionam ou removem energia do sistema ocorrem nas suas fronteiras e por isso são denominados fenômenos de superfície ou de fronteira Os casos mais comuns envolvem trocas de energia por condução convecção eou radiação A geração de energia contabiliza a conversão de energia mecânica em energia interna por exemplo o aquecimento de um condutor elétrico reações químicas exotérmicas absorção de radiação eletromagnética reações nucleares são todos fenômenos volumétricos Se fluxos mássicos entram ou saem de um sistema as quantidades de energia com eles associadas também devem ser consideradas nos balanços de massa e de energia 29092023 23 Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Para um VC em regime permanente com fluxos mássicos entrando e saindo Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Balanço de energia no VC E com hipóteses pertinentes reduzse a usada para o gás ideal ou um fluido incompressível líquido 115 116 29092023 24 Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia A energia armazenada representa a taxa de elevação ou de redução da energia interna do sistema Geralmente essas variações de energia estão relacionadas com variações da temperatura em vários pontos do sistema Em alguns casos há mudança de fase de líquido saturado ou sólido para vapor saturado à pressão constante onde não há variações de temperatura Em regime permanente não há energia armazenada Exemplos de aplicações Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Exemplo 14 Um condutor elétrico com diâmetro D tem resistência elétrica por unidade de comprimento Re Seu equilíbrio térmico é perturbado pela passagem de uma corrente elétrica I Desenvolva uma equação para calcular a variação da temperatura no condutor em função do tempo enquanto energizado 29092023 25 Prof Dr Jorge E Corrêa Conversão e interação de energia Exemplo 14 Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 26 Prof Dr Jorge E Corrêa Balanço de energia em superfícies Somente os fenômenos de superfície são considerados Daí ou 117 118 Prof Dr Jorge E Corrêa Balanço de energia em superfícies Exemplo 15 Uma parede de tijolos refratários de 15 cm de espessura separa os gases de combustão de um forno do ar ambiente e de sua vizinhança que estão a 25C A condutividade térmica do tijolo é 12 WmK e sua emissividade 08 Em regime permanente sua superfície externa está a 100C e o coeficiente convectivo é 20 Wm²K Determine a temperatura T1 na superfície interna da parede 29092023 27 Prof Dr Jorge E Corrêa Balanço de energia em superfícies Exemplo 15 Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 28 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Análises em condução Determinar a distribuição de temperatura dentro de um sistema térmico É obtida pela solução da equação geral da condução de calor submetida às hipóteses simplificadoras pertinentes que dependem do problema que se tem em mãos A partir da distribuição de temperatura o fluxo térmico nos vários pontos do sistema pode ser determinado pela lei de Fourier Essa lei define uma importante propriedade termofísica do material a condutividade térmica Outras propriedades de transporte serão posteriormente apresentadas 29092023 29 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Lei de Fourier Foi desenvolvida a partir da observação cuidadosa de fenômenos físicos ao invés de ser derivada de princípios físicos fundamentais Portanto é uma generalização baseada em vasta evidência experimental k condutividade térmica 29092023 30 Prof Dr Jorge E Corrêa Lei de Fourier Fazendo Δ x 0 obtemos para a taxa de TRC e para o fluxo térmico NOTA O sinal negativo indica que o calor é sempre transferido no sentido decrescente das temperaturas 21 22 Prof Dr Jorge E Corrêa Lei de Fourier O fluxo térmico é uma grandeza vetorial Assim a forma geral da lei de Fourier será onde nabla é o gradiente tridimensional e T x y z é o campo escalar de temperaturas Em coordenadas cartesianas o fluxo térmico em função de suas componentes 23 24 25 29092023 31 Prof Dr Jorge E Corrêa Lei de Fourier Fluxo térmico sempre perpendicular às isotermas Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 32 Prof Dr Jorge E Corrêa Condutividade térmica Pela lei de Fourier a condutividade térmica do material na direção x é definida como Definições similares estão associadas às condutividades térmicas nas direções y e z Para um material isotrópico a condutividade térmica é independente da direção Daí 26 Prof Dr Jorge E Corrêa Ordem de grandeza de k dos materiais 29092023 33 Prof Dr Jorge E Corrêa Condutividade térmica de sólidos e líquidos Prof Dr Jorge E Corrêa Condutividade térmica de gases 29092023 34 Prof Dr Jorge E Corrêa Outras propriedades termofísicas importantes Propriedades de transporte Viscosidade cinemática µ dinâmica Propriedades termodinâmicas Densidade e Calor específico cp estados de equilíbrio do sistema Capacidade térmica volumétrica cp Jm3K exprime a capacidade do material armazenar energia térmica Em geral sólidos e líquidos são bons armazenadores cp 1 MJm3K já os gases são pouco apropriados cp 1 kJm3K Seus valores são obtidos em gráficos tabelas e programas computacionais Prof Dr Jorge E Corrêa Difusividade térmica Define a capacidade relativa de um material conduzir e armazenar energia térmica Quanto maior o valor de mais rápida é sua resposta ao ambiente térmico e viceversa Materiais com pequeno levam mais tempo para alcançar o equilíbrio térmico pois sua capacidade de armazenamento de energia é elevada A precisão dos cálculos de engenharia depende da exatidão das propriedades termofísicas Portanto obter valores confiáveis faz parte de qualquer análise criteriosa de engenharia m2 s p k c 27 29092023 35 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Isolantes térmicos São materiais com baixa condutividade térmica muitas vezes combinados para compor sistemas de isolamento Em isolantes convencionais um material sólido fibra pó ou flocos é finamente disperso por espaços de ar Sistemas de isolamento são caracterizados por uma condutividade térmica efetiva que depende da condutividade térmica e das propriedades radiativas da superfície do material sólido bem como da natureza e fração volumétrica de ar ou espaço vazio Um parâmetro especial do sistema é a sua densidade aparente massa sólidavolume total que depende muito da forma como o material é compactado Exemplos isopor lãdevidro lãderocha poliuretano poliestireno poliisocianato etc 29092023 36 Prof Dr Jorge E Corrêa Isolantes térmicos Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 37 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica Determinar a distribuição de temperatura no interior de um sistema face às condições existentes em suas fronteiras condições de contorno A distribuição ou campo de temperatura define a temperatura em cada ponto do sistema Conhecida a distribuiçãocampo o fluxo térmico por conduçãodifusão em qualquer ponto do sistema ou de sua superfície pode ser calculado com a lei de Fourier Outras estudos também podem ser realizados 1 Verificar a integridade estrutural em sólidos através da determinação de tensões expansões e deflexões térmicas 2 Otimizar a espessura de um material isolante ou determinar a compatibilidade de materiais com revestimentos ou adesivos usados em sistemas isolantes Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica Para obter a equação da condução de calor utilizase a seguinte metodologia a Definese um VC diferencial adequado à geometria estudada b Identificamse os processos relevantes de transferência de energia térmica c Aplicase a equação de conservação da energia ao VC diferencial d Introduzse as equações apropriadas das taxas e realizamse as manipulações algébricas necessárias e O resultado é uma EDP equação diferencial parcial cuja solução sob condições de contorno e inicial prescritas fornece a distribuição de temperatura no sistema 29092023 38 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica A conservação de energia com base nas taxas de TRC Substituindo os termos ou ainda 28 29092023 39 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica As taxas de condução de calor no meio isotrópico são avaliadas pela lei de Fourier Substituindo na equação anterior e dividindo tudo por dx dy dz temse 29 Equação Geral da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica Condutividade térmica constante Regime permanente 29a 29b 29092023 40 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica 210 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica 211 29092023 41 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica Exemplo 21 A distribuição de temperatura numa parede com espessura de 1 m em dado instante de tempo é dada por onde a 900C b 300Cm c 50Cm² e T está em graus C e x em metros Outros dados são fornecidos na figura Determine a A taxa de TRC que entra x 0 e que deixa a parede x 1 m b A taxa de variação da energia acumulada na parede c A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x 0 025 e 05 m Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da difusão térmica 29092023 42 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Condições de contorno e inicial Distribuição de temperatura Resolver a forma apropriada da equação da condução de calor Depende das condições de contorno condições físicas nas fronteiras do sistema e se a situação depender do tempo da sua condição inicial ED de segunda ordem nas coordenadas espaciais duas condições de contorno devem ser especificadas para cada coordenada que descreve o sistema ED de primeira ordem no tempo apenas uma condição inicial deve ser especificada Em relação às condições de contorno existem várias possibilidades que são expressas em forma matemática 29092023 43 Prof Dr Jorge E Corrêa Condições de contorno Primeira espécie Dirichlet Temperatura constante na superfície A superfície aquecida ou resfriada por convecção com um coeficiente convectivo extremamente elevado mudança de fase ebulição ou condensação Prof Dr Jorge E Corrêa Condições de contorno Segunda espécie Neumann Fluxo térmico constante na superfície Relacionase ao gradiente de temperatura na superfície pela lei de Fourier película de aquecimento elétrico na superfície ou irradiação por fonte natural ou artificial Caso particular superfície adiabática perfeitamente isolada simetria na distribuição de temperatura valores máximo ou mínimo 29092023 44 Prof Dr Jorge E Corrêa Condições de contorno Terceira espécie Convecção na superfície A superfície é aquecida ou resfriada por convecção conforme um balanço de energia realizado na superfície Prof Dr Jorge E Corrêa Condição inicial Referese à condição existente no sistema em algum instante de tempo prédeterminado no qual os processos de TRC começam a agir sobre ele influenciados pelas condições de contorno 29092023 45 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da condução de calor Exemplo 22 Uma longa barra de cobre cuja largura w é muito maior do que a espessura L tem sua superfície inferior mantida em contato com um sumidouro de calor à temperatura To Subitamente uma corrente elétrica I começa a passar pela barra e ao mesmo tempo uma corrente de ar a T escoa em contato com sua superfície superior enquanto a inferior é mantida a To Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de contornos para determinar a temperatura em função da posição e do tempo na barra Prof Dr Jorge E Corrêa Equação da condução de calor 29092023 46 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 47 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução unidimensional em regime permanente Em regime permanente a equação da condução de calor será utilizada para determinar a distribuição de temperatura em paredes planas e em sistemas radiais cilíndricos e esféricos Na condução unidimensional a temperatura é uma função somente de uma coordenada de modo que o fluxo térmico ocorre apenas nessa direção Além disso será utilizado o conceito de resistência térmica bastante útil na representação de sistemas e de suas condições de contorno empregando um circuito térmico equivalente Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 48 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana homogênea Em regime permanente unidimensional sem geração de energia na parede temse Como o fluxo térmico é uma constante independente de x para k constante sua solução geral será As constantes de integração C1 e C2 são obtidas com auxílio das condições de contorno que nesse caso podem ser de primeira ou de terceira espécie 31 31a Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana homogênea Usando condições de contorno de primeira espécie Substituindo as condições de contorno e resolvendo o sistema linear para determinar as constantes temse Uma variação linear de T com x 31bc 31d 29092023 49 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana homogênea Usando a lei de Fourier o fluxo térmico será E a taxa de transferência da calor Como expressar esses resultados em termos das temperaturas dos fluidos em contato com as superfícies da parede 31f 31e Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana homogênea k 29092023 50 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta de camadas homogêneas Em paredes compostas é conveniente introduzir o coeficiente global de TRC U definido de forma análoga à lei do resfriamento de Newton onde 32 32a 32b Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta de camadas homogêneas 29092023 51 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta de camadas homogêneas Exemplo 31 O visor de um forno autolimpante consiste de duas lâminas plásticas A e B resistentes a alta temperatura onde A tem o dobro da espessura de B Suas respectivas condutividades térmicas são 015 e 008 Wm²K Durante o processo de autolimpeza a temperatura interna do visor é 385C a do ar ambiente 25C e o coeficiente de convecção na superfície externa 25 Wm²K Em condições de regime permanente qual deve ser a espessura mínima do visor para garantir que sua superfície externa por razões de segurança não exceda 50C Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta de camadas homogêneas 29092023 52 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta em circuito sérieparalelo Paredes compostas também podem ser configuradas em circuitos sérieparalelo Embora a TRC seja multidimensional é razoável assumir hipóteses unidimensionais Assim dois circuitos térmicos diferentes podem ser usados a Considerase que as superfícies normais à direção x são isotérmicas b Supõese que as superfícies paralelas à direção x são adiabáticas Como são obtidos valores diferentes de Rtot o valor real da taxa de TRC está compreendido entre os valores previstos em cada caso Essas diferenças aumentam à medida que o valor de kF kG aumenta dado que os efeitos multidimensionais se tornam mais significativos Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana composta em circuito sérieparalelo 29092023 53 Prof Dr Jorge E Corrêa Resistência de contato em parede plana composta Embora desconsiderada até o momento a queda de temperatura entre as interfaces dos materiais pode ser considerável face à resistência térmica de contato Rtc Prof Dr Jorge E Corrêa Resistência de contato em parede plana composta A resistência de contato devese principalmente aos efeitos de rugosidade da superfície Pontos de contato se entremeiam com interstícios que são na maioria dos casos preenchidos com ar A TRC é portanto devida à condução através da área de contato real e à condução eou radiação através dos interstícios A resistência de contato pode ser vista como duas resistências em paralelo uma devida aos pontos de contato e outra aos interstícios Tipicamente a área de contato é pequena e particularmente no caso de superfícies rugosas a principal contribuição para a resistência térmica é fornecida pelos interstícios 29092023 54 Prof Dr Jorge E Corrêa Resistência de contato em parede plana composta Em sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido intersticial a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de contato Tal aumento devese a uma pressão de contato maior eou pela redução da rugosidade das superfícies A resistência de contato também pode ser reduzida pela seleção de um fluido intersticial com elevada condutividade térmica Nesse sentido um vácuo nos interstícios elimina a condução através deles contribuindo assim para a elevação da resistência de contato Embora teorias tenham sido desenvolvidas para prever Rtc os resultados mais confiáveis são obtidos experimentalmente Prof Dr Jorge E Corrêa Resistência de contato em parede plana composta 29092023 55 Prof Dr Jorge E Corrêa Resistência de contato em parede plana composta Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 56 Prof Dr Jorge E Corrêa Cilindro vazado 33abc Prof Dr Jorge E Corrêa Cilindro vazado composto 34abcd 29092023 57 Prof Dr Jorge E Corrêa Esfera 35abcd Prof Dr Jorge E Corrêa Circuito térmico em cilindro vazado Exemplo 32 Uma espessura ótima de isolamento em sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos contrários decorrentes do aumento dessa espessura a resistência de condução aumenta com a adição de isolamento e a resistência de convecção diminui devido ao aumento da área da superfície externa Considerando o seguinte sistema a Um tubo de cobre com parede delgada e raio ri é usado para transportar um refrigerante a uma temperatura Ti que é inferior à temperatura ambiente T Há uma espessura ótima associada à aplicação de isolamento sobre o tubo b Confirme o resultado anterior calculando a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo em um tubo com 10 mm de diâmetro nas seguintes espessuras de isolamento 0 2 5 10 20 e 40 mm O isolamento é composto por vidro celular e o coeficiente de transferência de calor por convecção em sua superfície externa é de 5 Wm²K 29092023 58 Prof Dr Jorge E Corrêa Circuito térmico em cilindro vazado Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 59 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 60 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana com geração de energia Na seção anterior consideramos problemas de condução nos quais a distribuição de temperatura no sistema dependia apenas das condições de contorno Naquela situação os processos de TRC são representados por resistências térmicas que compõem um circuito térmico Agora trataremos geometrias comuns com uma taxa volumétrica uniforme de geração de energia Wm³ decorrente de processos de conversão de energia Nesse caso não podemos representar o sistema por um circuito térmico Assim devemos resolver a equação da difusão de calor para obter a distribuição de temperatura e portanto o fluxo de térmico e a taxa de TRC com a lei de Fourier Prof Dr Jorge E Corrêa Geração de energia em sistemas térmicos Geração de energia é proporcional ao volume e distribuise uniformemente Dissipação de potência elétrica taxa de geração volumétricaWm³ volume do sistema m³ g q V E qV 36 intensidade da corrente elétrica A resistência elétrica do condutor resistência elétrica do condutor m comprimento do condutor m ² ² g e g e I Re Re Re L L E I R E I R L 37a 37b 29092023 61 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana com geração de energia Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana com geração de energia 38 29092023 62 Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana com geração de energia 39 39a Prof Dr Jorge E Corrêa Parede plana com geração de energia Exemplo 33 Uma parede plana é composta de dois materiais A e B Na parede A com espessura de 50 mm e condutividade térmica de 75 WmK ocorre geração uniforme de energia térmica à taxa de 15 106 Wm³ e sua superfície interna está perfeitamente isolada A parede B tem espessura de 20 mm e condutividade térmica de 150 WmK e sua superfície externa é resfriada por uma corrente de água à 30C e coeficiente convectivo de 1000 Wm²K a Determinar as temperaturas da superfície isolada e da resfriada b Em condições de permanente esboçar a distribuição de temperatura nas duas camadas e no escoamento 29092023 63 Prof Dr Jorge E Corrêa Geração de energia em parede plana Prof Dr Jorge E Corrêa Geração de energia em parede plana 29092023 64 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 65 Prof Dr Jorge E Corrêa Superfícies estendidas Como aumentar a taxa de TRC na parede plana para Ts fixa a Aumentar h com o aumento da velocidade do fluido Custos proibitivos consumo elevado de potência nos ventiladores ou bombas ou h desejado pode não ser alcançado b Reduzir T é freqüentemente impraticável c Solução aumentar a área A Prof Dr Jorge E Corrêa Superfícies estendidas 29092023 66 Prof Dr Jorge E Corrêa Superfícies estendidas Numa superfície estendida a direção da TRC na fronteira é perpendicular à direção principal da TRC no interior do sólido Uma superfície estendida é utilizada para aumentar a taxa de TRC entre um sólido e um fluido Tal superfície estendida é chamada de aleta Prof Dr Jorge E Corrêa Tipos de aletas 29092023 67 Prof Dr Jorge E Corrêa Superfícies aletadas Prof Dr Jorge E Corrêa Superfícies aletadas Planas contínuas corrugadas Seção reta variável Motor de motocicleta Trocadores de calor 29092023 68 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Aplicações de aletas A seleção da aleta depende de considerações de espaço peso e custo de fabricação As aletas reduzem o coeficiente convectivo na superfície e aumentam a queda de pressão associada ao escoamento verificar influência dos efeitos concorrentes Idealmente o material da aleta deve ter a maior condutividade térmica possível para minimizar a variação de temperatura desde a base até sua extremidade No limite assumindo condutividade térmica infinita toda a aleta estaria à mesma temperatura da sua base fornecendo assim o máximo possível de aumento da TRC Obviamente esta última situação é uma idealização 29092023 69 Prof Dr Jorge E Corrêa Distribuição de temperatura em aletas Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Como engenheiros interessanos o quanto as superfícies estendidas podem aumentar a TRC de uma superfície nua para um fluido adjacente Para determinar a taxa de TRC devemos antes obter a distribuição de temperatura ao longo do comprimento da aleta Depois usaremos a lei de Fourier para obter sua taxa de TRC e o seu fluxo térmico Portanto iniciaremos nossa análise com um balanço de energia em um elemento diferencial apropriado mediante algumas considerações relacionadas com a física do problema 29092023 70 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Elemento diferencial para balanço de energia Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Na prática aletas são finas e as variações de temperatura nas direções normais y z são desprezíveis se comparadas à diferença de temperatura entre a superfície da aleta e o ar ambiente Assim podemos assumir condução unidimensional na direção longitudinal x mesmo sabendo que no interior da aleta a condução é bidimensional porém não significativa Em qualquer ponto na superfície da aleta a taxa de TRC por convecção é igual à taxa líquida por condução nas direções normais à x Regime permanente estacionário k constante radiação na superfície desprezível sem geração de calor e h uniforme em toda a superfície 29092023 71 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas 41 Lei de Fourier Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Para resolver a Eq 41 a geometria da aleta deve ser especificada Neste curso trataremos somente de aletas com seção transversal Ac uniforme 29092023 72 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas A aleta está fixada numa base onde T0 Tb e se estende para o interior do fluido à temperatura T Nesse caso Ac é constante e As Px sendo As a área da superfície desde a base até x e P o perímetro da aleta Com dAcdx 0 e dAsdx P a Eq 41 se reduz a Se teremos onde 42 44 43 45 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas A Eq 44 é uma EDO de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes Sua solução geral tem a forma Para determinar as constantes C1 e C2 é necessário especificar duas condições de contorno A primeira em termos da temperatura na base da aleta x 0 A segunda na ponta da aleta x L pode ser de quatro tipos 46 47 29092023 73 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas 48abcd 49abcd 29092023 74 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas As distribuições de temperaturas são mostradas esquematicamente na figura anterior Note que o valor do gradiente de temperatura diminui com o aumento de x Isso é uma consequência direta da redução na transferência de calor por condução qxx com o aumento de x devido à perda contínua de calor por convecção na superfície da aleta Para determinar a quantidade de calor transferida para o ar em toda a superfície da aleta basta usar a lei de Fourier para calcular a TRC na sua base 410 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Exemplo 41 Um bastão muito longo com 5 mm de diâmetro tem uma de suas extremidades mantida a 100C A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25C com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100 Wm2 K a Determine as distribuições de temperatura ao longo de bastões construídos em cobre puro liga de alumínio 2024 e aço inoxidável AISI 316 Quais são as respectivas perdas de calor nos bastões b Estime o comprimento que deve ter cada bastão para que a hipótese de comprimento infinito forneça uma estimativa precisa para a TRC 29092023 75 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 76 Prof Dr Jorge E Corrêa Efetividade da aleta Aletas são usadas para aumentar a TRC em uma superfície Contudo a própria aleta adiciona uma resistência térmica condutiva à TRC na superfície original Por isso não há qualquer garantia de que a taxa de TRC aumentará com o uso de aletas Uma investigação sobre o assunto pode ser feita através da efetividade da aleta razão entre a taxa de TRC na aleta e a que existiria em sua ausência Em projetos a efetividade deve ser a maior possível e em geral o uso de aletas só se justifica se εa 2 área de seção reta da aleta em sua base a a c b b Ac b q h A 411 Prof Dr Jorge E Corrêa Efetividade da aleta Os valores de qa são obtidos nas Eqs 49 para o caso correspondente A B C ou D Embora as aletas alterem o h na superfície geralmente esse efeito é desprezado Assim considerando h na superfície aletada igual ao da base sem aletas temse que para a aproximação de aleta infinita Caso D a efetividade da aleta será Algumas conclusões importantes podem ser inferidas dessa equação 12 a c kP hA 412 29092023 77 Prof Dr Jorge E Corrêa Efetividade da aleta A efetividade da aleta é maior para um material com k elevado por exemplo ligas alumínio e cobre Embora o k do cobre seja maior ligas de alumínio são mais usadas devido aos menores custo e peso A efetividade da aleta também aumenta com o aumento da razão P Ac Por isso é preferível aletas finas com pequeno espaçamento entre elas desde que a redução do espaçamento não comprometa o escoamento reduzindo assim o valor de h A Eq 412 também sugere que o uso de aletas pode ser melhor justificado sob condições nas quais h seja pequeno Prof Dr Jorge E Corrêa Efetividade da aleta Consultando as Eqs 48 e 49 evidenciase a necessidade de aletas quando o fluido é um gás e não um líquido ou quando predomina a convecção natural na superfície nua Se aletas forem usadas numa superfície que separa um gás de um líquido elas geralmente são instaladas no lado do gás que é o lado com menor h Radiador de automóvel aletas são usadas na superfície externa dos tubos sobre a qual escoa o ar h pequeno e não na superfície interna por onde escoa uma solução aquosa h grande Se εa 2 for um critério para justificar a utilização de aletas a Eq 412 mostra que kPhAc 4 29092023 78 Prof Dr Jorge E Corrêa Efetividade da aleta A Eq 412 fornece um limite superior para εa alcançado quando L se aproxima de infinito Entretanto não é necessário o uso de aletas tão longas para chegar próximo ao limite máximo de aumento na taxa de TRC Como visto no Exemplo 41 99 da taxa máxima possível de TRC na aleta são atingidos para mL 265 Portanto não faz sentido estender as aletas além de L 265 m Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 79 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência da aleta O desempenho térmico de uma aleta também pode ser medido pela sua eficiência onde o potencial motriz máximo para a convecção é a diferença entre as temperaturas da base em x 0 e do fluido θb Tb T Assim a taxa máxima só existiria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da base Entretanto a resistência condutiva da própria aleta impõe um gradiente de temperatura ao longo dela e a condição anterior é uma idealização a a a máx a b q q q hA 413 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência da aleta Na maioria das aplicações práticas a extremidade da aleta está trocando calor por convecção Caso A Para evitar as expressões complicadas de distribuição de temperatura e taxa de TRC podemos utilizar expressões correspondentes ao Caso B ponta adiabática por meio das seguintes correções no comprimento da aleta Os erros dessa aproximação são desprezíveis se htk ou hD2k 00625 Retangular Piniforme 2 tanh 4 c c a c c L L t mL mL L L D 414 29092023 80 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência da aleta Se a largura de uma aleta retangular é muito maior do que sua espessura w t o perímetro pode ser aproximado por P 2w Daí Multiplicando o numerador e o denominador por Lc 12 e introduzindo uma área corrigida do perfil da aleta Ap Lct seguese que 12 12 2 c c c c hP h mL L L kA kt 12 32 2 c c p h mL L kA 415 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência da aleta 29092023 81 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência da aleta Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 82 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência global da superfície aletada A eficiência global da superfície η0 referese a um conjunto de aletas fixado numa superfície base sendo S o passo das aletas Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência global da superfície aletada A eficiência global da superfície é dada por onde qt é a taxa total de TRC na área At associada à área das aletas Aa e à área exposta da base Ab superfície primária Para N aletas A taxa máxima qmáx de TRC só ocorreria se toda a superfície da aleta e da base fossem mantidas à Tb t t o máx t b q q q hA 416 t a b A NA A 417 29092023 83 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência global da superfície aletada A taxa total de TRC por convecção na superfície aletada pode ser representada por onde h é o mesmo na superfície das aletas e na superfície primária e ηa é a eficiência da aleta 1 1 t a a b a b a a t a b a t a b t q N hA hA h N A A NA NA hA A 418 Prof Dr Jorge E Corrêa Eficiência global da superfície aletada Substituindo a Eq 418 em 416 teremos Assim conhecida a eficiência da superfície aletada sua taxa de TRC pode ser calculada com a Eq 416 e viceversa 1 1 a o a t NA A 419 29092023 84 Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas Exemplo 42 O cilindro do motor de uma motocicleta é feito em liga de alumínio 2024T6 com altura H 015 m e diâmetro externo D 50 mm Em operação a superfície externa do cilindro está à 500 K e exposta ao ar ambiente à 300 K com h 50 Wm2K Aletas anulares são fundidas no cilindro para aumentar a TRC para a vizinhança Tomemos 5 aletas com espessura t 6 mm comprimento L 20 mm e igualmente espaçadas Qual é o aumento na taxa de TRC devido ao uso das aletas Prof Dr Jorge E Corrêa Equação geral da TRC em aletas 29092023 85 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 86 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução transiente Determinar a distribuição de temperatura num sólido em um dado instante em resposta às condições que podem alterála com o passar do tempo Tal processo é dito transiente Aqui trataremos somente de problemas onde os gradientes de temperatura no interior do sólido podem ser desconsiderados Assim o método da capacitância global pode ser usado para determinar a variação da temperatura do sólido com o tempo bem como para determinar sua TRC com a vizinhança Se os gradientes internos de temperatura não são desprezíveis mas a TRC dentro do sólido é unidimensional algumas soluções exatas da equação da condução de calor podem ser obtidas para calcular a dependência da temperatura com a posição e o tempo Fora do escopo deste curso Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 87 Prof Dr Jorge E Corrêa Capacitância global Um corpo está inicialmente a uma temperatura uniforme Ti Subitamente é imerso em um líquido à T Ti Se o resfriamento iniciase em t 0 a temperatura do corpo irá diminuir para t 0 até atingir T em face à TRC por convecção na interface sólidolíquido Prof Dr Jorge E Corrêa Capacitância global Como a equação geral da condução de calor descreve a distribuição espacial de temperaturas no interior do corpo ela não pode mais ser utilizada para analisar o problema Assim para obter a temperatura uniforme transiente realizase um balanço de energia global no corpo a fim de relacionar a taxa de TRC na sua superfície com a taxa de variação da sua energia interna ou seja fazendo sai arm s dT E E hA T T Vc dt d dT T T T cte dt dt 51 29092023 88 Prof Dr Jorge E Corrêa Capacitância global Teremos Separando as variáveis e integrando desde a condição inicial T0 Ti Daí s Vc d hA dt 0 i t i i s Vc d dt T T hA ln exp s s i i i hA Vc T T t t hA T T Vc 52 Prof Dr Jorge E Corrêa Capacitância global 29092023 89 Prof Dr Jorge E Corrêa Capacitância global A Eq 52 calcula o tempo decorrido para o corpo alcançar uma dada temperatura T ou calcula sua temperatura em qualquer instante de tempo t A diferença entre as temperaturas do corpo e do fluido tende exponencialmente para zero à medida que t tende ao infinito A grandeza 1hAsρVc é interpretada como uma constante de tempo térmica na qual Rt é a resistência à TRC por convecção e Ct é a capacitância térmica global do material Aumentar Rt ou Ct causará uma resposta mais lenta do corpo às mudanças que podem ocorrer no seu ambiente térmico Prof Dr Jorge E Corrêa Condução transiente A energia total transferida Q até algum instante de tempo t é dada por Substituindo a expressão para θ e integrando temse 0 0 t t s Q qdt hA qdt 1 exp i t t Q Vc 53 54 29092023 90 Prof Dr Jorge E Corrêa Condução transiente Obviamente o valor de Q relacionase às mudanças na energia interna do corpo Na têmpera resfriamento Q é positivo e a energia armazenada no corpo decresce Essas equações também são válidas quando o corpo é aquecido θ 0 Nesse caso Q é negativo e a energia armazenada no corpo aumenta st Q E 55 Prof Dr Jorge E Corrêa 29092023 91 Prof Dr Jorge E Corrêa Validade da capacitância global 56 57 Prof Dr Jorge E Corrêa Validade da capacitância global 29092023 92 Prof Dr Jorge E Corrêa Validade da capacitância global Observe que com Lc VAs o expoente da Eq52 pode ser expresso por onde Fo número de Fourier tempo adimensional que juntamente com o Bi caracterizam os problemas de condução transiente Substituindo na Eq52 temse 58 59 Prof Dr Jorge E Corrêa Validade da capacitância global Exemplo 51 Uma junta esférica de termopar é usada para medir a temperatura numa corrente gasosa O coeficiente convectivo na superfície da junta é de h 400 Wm2 K Suas propriedades termofísicas são k 20 Wm K c 400 Jkg K e ρ 8500 kgm3 Determine a O diâmetro da junta para que a constante de tempo do termopar seja de 1s b Se a junta está a 25C e for imersa numa corrente de gás a 200C quanto tempo é necessário para ela alcançar 199C 29092023 93 Prof Dr Jorge E Corrêa Validade da capacitância global Prof Dr Jorge E Corrêa