Introdução à Convecção e Camada Limite

17112023 1 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 2 Prof Dr Jorge E Corrêa Introdução à convecção Convecção relacionase a TRC entre uma superfície e um escoamento em contato com ela Até agora vimos a convecção somente como uma possível condição de contorno para problemas de condução Além disso verificamos que a convecção inclui a transferência de energia por difusão e advecção Daqui em diante teremos dois objetivos principais 1 Compreender os mecanismos físicos que embasam a TRC por convecção 2 Desenvolver os meios para calculála Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 3 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadaslimite em convecção O conceito de camadalimite é imprescindível para entender a TRC por convecção entre uma superfície e um escoamento Portanto trataremos das camadaslimite cinética velocidade e térmica e apresentaremos as relações do coeficiente de atrito com os coeficientes de TRC por convecção Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 4 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite de velocidade Um escoamento com velocidade uniforme u ao entrar em contato com a superfície de uma placa plana tem sua velocidade reduzida e na maioria das situações supõese que é zero na interface fluidosuperfície Condição de nãodeslizamento Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite de velocidade A película com velocidade nula retarda a adjacente que por sua vez retarda a próxima e assim sucessivamente A uma distância y δ da superfície esse efeito de retardamento tornase desprezível O efeito está associado às tensões de cisalhamento dentro do escoamento em planos paralelos à placa Com o aumento de y a componente da velocidade do fluido u y atingirá u A espessura da camadalimite δ é definida como o valor de y para o qual u y 099 u O subscrito designa condições na corrente livre fora da camadalimite cinética 17112023 5 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite de velocidade Dessa forma o escoamento apresenta duas regiões distintas Camadalimite gradientes de velocidade e tensões de cisalhamento significativos Corrente livre gradientes de velocidade e tensões de cisalhamento desprezíveis Afastando da aresta frontal da placa os efeitos da viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre de modo que δ aumenta com x A camadalimite cinética fundamental em problemas que envolvem convecção sempre está presente no escoamento em contato com uma superfície Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite de velocidade Em escoamentos externos ela é base para a determinação do coeficiente de atrito local No fluido newtoniano a tensão cisalhante na superfície pode ser determinada a partir do conhecimento do gradiente de velocidade na superfície onde μ viscosidade dinâmica do fluido 61 62 17112023 6 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite de velocidade Na camadalimite cinética o gradiente de velocidade na superfície depende da distância x a partir da aresta frontal da placa Consequentemente a tensão cisalhante na superfície e o coeficiente de atrito também dependem de x Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 7 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite térmica Sobrepondose à camadalimite cinética desenvolvese uma camadalimite térmica sempre que houver uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfície Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite térmica Na aresta frontal o perfil de temperaturas é uniforme Ty T Ao entrar em contato com a placa a película na interface atinge o equilíbrio térmico com a superfície da placa Ts Essa película aquece a adjacente e assim por diante de modo que desenvolvemse gradientes de temperatura no fluido A região do escoamento na qual esses gradientes de temperatura existem é a camadalimite térmica e a sua espessura δt é definida como o valor de y no qual a razão Com o aumento de x os efeitos da TRC penetram cada vez mais na corrente livre e δt cresce com x 099 s s T T T T 17112023 8 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite térmica Para qualquer x o fluxo térmico local na superfície pode ser obtido pela lei de Fourier Para o fluido estacionário ou seja em y 0 Da lei do resfriamento de Newton 63 64 Prof Dr Jorge E Corrêa Camadalimite térmica Combinado as Eqs 63 e 64 A camadalimite térmica influencia fortemente o gradiente de temperatura na superfície T y y 0 A diferença Ts T é independente de x Como δt cresce com x os gradientes de temperatura na camadalimite diminuem com o aumento de x Como T y y 0 diminui com x temse que h e qs também diminuem com o aumento de x 65 17112023 9 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Significado físico das camadaslimite Se Ts T as duas camadaslimite estarão presentes no escoamento Suas espessuras crescem e os valores de δ e δt em dado x raramente são iguais CAMADALIMITE VELOCIDADE TÉRMICA Presença Se houver escoamento sobre uma superfície Se houver diferença de temperatura Espessura δ x δt x Características Gradientes de velocidade e tensões cisalhantes Gradientes de temperatura e transferência de calor Parâmetro Cf h 17112023 10 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Coeficientes convectivos locais e médios O fluxo local e a taxa total de TRC são parâmetros importantes nos problemas de convecção A determinação dessas grandezas depende do conhecimento dos coeficientes convectivos local h e médio Portanto determinar esses coeficientes é o verdadeiro problema da convecção Não é simples envolve as propriedades do fluido densidade viscosidade condutividade térmica e calor específico a geometria da superfície e as condições do escoamento laminar ou turbulento Tantas variáveis independentes resultam numa dependência extrema da TRC por convecção em relação às camadaslimite que se desenvolvem no escoamento h 17112023 11 Prof Dr Jorge E Corrêa Coeficientes convectivos locais e médios 66ab 66c 67a 67b Prof Dr Jorge E Corrêa Coeficientes convectivos locais e médios Exemplo 61 No escoamento sobre uma placa plana rugosa os resultados experimentais para o coeficiente convectivo de TRC local hx são correlacionados por sendo a coeficiente em Wm19 K e x m distância à aresta frontal da placa a Desenvolva uma expressão para a razão sobre uma placa de comprimento x b Represente graficamente a variação de e em função de x x x h h xh xh 17112023 12 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Na discussão da convecção as condições do escoamento ainda não foram consideradas Entretanto em qualquer problema de convecção é fundamental determinar se a camada limite é Laminar ou Turbulenta O atrito superficial e as taxas de TRC por convecção dependem fortemente da presença de uma dessas condições de escoamento ou de ambas 17112023 13 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Em alguns casos os escoamentos laminar e turbulento coexistem com a zona laminar precedendo a turbulenta Na zona laminar o movimento do fluido é altamente ordenado ao longo das linhas de corrente e apresenta componentes da velocidade nas direções x e y O movimento do fluido normal à superfície como resultado da componente da velocidade na direção y contribui para o crescimento da camadalimite com x Como o próprio nome enfatiza na zona de transição o escoamento muda de laminar para turbulento se houver condições para isso 17112023 14 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Na zona turbulenta o escoamento é aleatório e caótico caracterizado por vórtices provocados por flutuações locais de velocidade A misturação do fluido decorrente desses vórtices aumentam a espessura da camada limite e fazem com que o perfil de velocidade na seção turbulenta seja aplainado O atrito superficial e as taxas de TRC por convecção aumentam Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento 17112023 15 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento A transição laminarturbulento ocorre naturalmente ou devese a pequenos distúrbios originados na própria camadalimite cinética Esses distúrbios originamse na corrente livre ou são induzidos pela rugosidade ou por minúsculas vibrações na superfície Para verificar se há transição o número de Reynolds deve ser calculado onde o comprimento característico na placa plana x é a distância partindo da sua aresta frontal 68 17112023 16 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento O local onde a transição inicia é determinado pelo número de Reynolds crítico Rexc Numa placa plana dependendo da rugosidade da superfície e do nível de turbulência na corrente livre 105 Rexc 3 106 Um valor representativo é dado por NOTA Caso não haja observação em contrário será nos problemas que envolvem placas planas 69 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar e turbulento Exemplo 62 Água escoa com u 1 ms sobre uma placa plana de comprimento L 06 m Considere um caso no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K e outro no qual é 350 K Nas regiões laminar e turbulenta medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são obtidos pelas relações abaixo com x em metros A constante C depende da natureza do escoamento e da variação das propriedades do fluido com a temperatura Determine sobre toda a placa nas duas temperaturas h 17112023 17 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Para compreender os efeitos físicos que determinam a TRC nas camadaslimite e ilustrar sua relevância em convecção faremos uma breve análise das equações que as governam 17112023 18 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Um escoamento no qual coexistem gradientes de velocidade e de temperatura deve obedecer às leis fundamentais da natureza A conservação de massa de energia e a segunda lei de Newton do movimento devem ser satisfeitas em cada ponto do escoamento Equações baseadas nessas exigências são deduzidas através da aplicação dessas leis em um VC diferencial situado no escoamento As equações resultantes em coordenadas Cartesianas para escoamento bidimensional incompressível em regime permanente com propriedades constantes servirão como ponto de partida para a nossa análise da camadalimite laminar Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Nossa atenção recairá em aplicações nas quais as forças de corpo são desprezíveis X Y 0 e sem geração de energia térmica no fluido 0 q 17112023 19 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Simplificações adicionais podem ser feitas com aproximações pertinentes às condições nas camadaslimite cinética e térmica As espessuras das camadaslimite são muito pequenas em relação ao tamanho da superfície sobre a qual elas se formam Assim os valores da velocidade e da temperatura variam desde a superfície até a corrente livre em distâncias diminutas Logo os gradientes normais à superfície direção y são muito maiores do que aqueles ao longo da superfície direção x 610 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Além disso como a camadalimite é pouco espessa o gradiente de pressão dentro da camadalimite na direção x será aproximado pelo gradiente de pressão na corrente livre A forma de px depende da geometria da superfície e pode ser obtida em função das condições do escoamento na corrente livre onde as tensões de cisalhamento são desprezíveis Portanto o gradiente de pressão é tratado como uma grandeza conhecida 611 17112023 20 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite 612 614 613 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Conservação da massa as parcelas representam a saída líquida saída menos entrada de massa nas direções x e y cuja soma é zero para escoamento em regime permanente Conservação da quantidade de movimento segunda lei de Newton o lado esquerdo representa a taxa líquida na qual a quantidade de movimento na direção x deixa o VC devido ao movimento do fluido através das fronteiras A primeira parcela no lado direito representa a força de pressão líquida a segunda a força líquida devida às tensões de cisalhamento viscosas Conservação da energia o lado esquerdo contabiliza a taxa líquida na qual a energia térmica deixa o VC devido ao movimento global do fluido advecção A primeira parcela no lado direito é a entrada líquida de energia térmica por condução na direção y a última o que restou da dissipação viscosa 17112023 21 Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Definidas às condições de contorno as Eqs 612 613 e 614 podem ser resolvidas para determinar as variações espaciais de u v e T nas camadaslimite laminar Para o escoamento incompressível as Eqs 612 e 613 são resolvidas conjuntamente para determinar o campo de velocidades u x y e v x y Conhecido u x y o gradiente de velocidade u yy 0 pode ser determinado e a tensão de cisalhamento na parede pode ser calculada A presença de u e v nas Eqs 613 e 614 mostra que o campo de temperaturas está acoplado ao de velocidades Logo para determinar T x y devem ser conhecidos u x y e v x y Determinado T x y o coeficiente de TRC por convecção pode ser calculado Prof Dr Jorge E Corrêa Equações das camadaslimite Resolver as equações de camadalimite laminar não foi o único objetivo ao desenvolvêlas Essa motivação envolve duas outras considerações 1 Obter maior compreensão dos processos físicos que afetam o atrito na superfície bem como da transferência de energia nas camadaslimite 2 Identificar parâmetros de similaridade entre as camadaslimite bem como analogias entre as transferências de quantidade de movimento e energia que têm inúmeras aplicações práticas mesmo em condições turbulentas 17112023 22 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Similaridades entre camadaslimite Observando as Eqs613 e 614 notase uma certa parecença de forma entre elas Na realidade se o gradiente de pressão na Eq613 e o termo da dissipação viscosa na Eq 614 forem desprezíveis as duas equações assumem formas idênticas Assim cada equação envolve um termo advectivo lado esquerdo e outro difusivo lado direito Essa situação descreve escoamentos de convecção forçada em baixas velocidades que são encontrados em muitas aplicações da engenharia As implicações dessa similaridade podem ser desenvolvidas com a adimensionalização das equações que governam os processos 17112023 23 Prof Dr Jorge E Corrêa Similaridades nas camadaslimite Definição de variáveis independentes adimensionais Tendo L como um comprimento característico da superfície de interesse por exemplo o comprimento de uma placa plana temse Variáveis dependentes adimensionais também são definidas Com V e T sendo a velocidade e a temperatura à montante da superfície temse 615 616 Prof Dr Jorge E Corrêa Similaridades nas camadaslimite 617ab 618abcd 619ab 17112023 24 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Forma funcional das soluções As condições na camadalimite cinética depende das propriedades do fluido da velocidade e do comprimento característico e podem ser simplificadas com o ReL Daí a solução da Equação 617a terá a seguinte forma funcional 620 17112023 25 Prof Dr Jorge E Corrêa Forma funcional das soluções A Eq 620 mostra que o coeficiente de atrito Cf um parâmetro adimensional de enorme importância na engenharia pode ser representado exclusivamente em termos de uma coordenada espacial adimensional x e de ReL Portanto para uma geometria especificada esperase que a função que relaciona Cf a x e ReL seja universalmente aplicável E que ela se aplique também com diferentes fluidos e numa ampla faixa de valores de V e L Prof Dr Jorge E Corrêa Forma funcional das soluções Partindo da Eq 617b resultados similares podem ser obtidos para a camadalimite térmica Nesse caso os parâmetros adimensionais serão ReL Pr Número de Prandtl e Nu Número de Nusselt 621 17112023 26 Prof Dr Jorge E Corrêa Forma funcional das soluções A Eq 621 estabelece que valores de obtidos teoricamente experimentalmente ou numericamente podem ser representados em termos de três parâmetros adimensionais em vez dos sete parâmetros dimensionais originais Assim uma vez determinada a forma da Eq 621 para uma dada geometria superficial por exemplo a partir de experimentos em laboratório ela será universalmente aplicável Assim esta equação pode ser utilizada com diferentes fluidos velocidades e geometrias desde que as hipóteses implícitas nas equações originais da camadalimite permaneçam válidas por exemplo dissipação viscosa e forças de corpo desprezíveis h Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 27 Prof Dr Jorge E Corrêa Significado físico dos parâmetros adimensionais Prof Dr Jorge E Corrêa Significado físico dos parâmetros adimensionais Em valores pequenos de ReL as forças viscosas são dominantes caso contrário as de inércia dominam Em um ponto fixo na superfície o aumento de ReL reduz a influência das forças viscosas em relação às de inércia Assim os efeitos da viscosidade não penetram tão profundamente na corrente livre e a taxa de crescimento de δ diminui Em relação ao crescimento das camadas limites laminares Gases 1 Metaislíquidos 1 Óleos 1 t t t Pr Pr Pr 17112023 28 Prof Dr Jorge E Corrêa Analogias de Reynolds e ChiltonColburn Número de Staton Analogia de Reynolds Analogia de ChiltonColburn p h Nu St Vc RePr 1 0 2 Cf St Pr dp dx 23 06 60 2 f H C St Pr j Pr 622 623 624 Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 29 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento externo As camadaslimite cinética e térmica se desenvolvem livremente ou seja sem restrições impostas por outras superfícies adjacentes Logo sempre existirá uma região do escoamento externa à camadalimite na qual os gradientes de velocidade e de temperatura são desprezíveis denominada correntelivre Exemplos Escoamento sobre uma placa plana paralela ou não à direção da velocidade na corrente livre e o escoamento sobre superfícies curvas esfera cilindro e aerofólio 17112023 30 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento externo Placa plana delgada Aerofólio Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento externo Cilindro Cruzado Esfera 17112023 31 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento externo Em princípio focaremos os problemas de convecção forçada com baixas velocidades e sem mudança de fase do fluido Objetivo determinar os coeficientes convectivos para escoamentos em contato com diferentes geometrias Em particular obter formas específicas das funções que representam esses coeficientes Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento externo Das equações da camadalimite adimensionalizadas verificamos que os coeficientes convectivos local e médio podem ser correlacionados por equações funcionais do tipo O problema da convecção é justamente obter a forma dessas funções Duas abordagens são adotadas Analítica Teórica e Experimental Empírica 17112023 32 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental Geometria escoamento paralelo em placa plana Aquecer manter Ts T convecção da superfície para o fluido Medir Ts T e a potência elétrica E I que é igual à taxa total de TRC q O coeficiente convectivo médio sobre toda a placa pode ser calculado pela lei do resfriamento de Newton hL 17112023 33 Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental Nu Re e Pr são determinados em função do comprimento característico L e das propriedades do fluido e do escoamento Este procedimento é repetido em várias condições de teste variando a velocidade u o comprimento da placa L e o tipo de fluido ar água e óleo que possuem Pr muito diferentes Com muitos e diferentes valores de Nu correspondentes a uma ampla faixa de Re e Pr os resultados podem ser plotados em um gráfico com escalas loglog Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental 17112023 34 Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental Cada tipo de marcador circular representa um conjunto específico de condições de teste e um tipo específico de fluido Pr fixo e alinhamse linearmente Isso indica que a dependência do Nu em relação ao Re assume a forma de uma lei de potência Os dados para cada tipo de fluido podem ser correlacionados por uma expressão algébrica da forma Os valores de C m e n são independentes do tipo de fluido de modo que as linhas dos diferentes Pr podem ser substituídas por uma única linha que representa os resultados em termos da razão n NuL Pr 71 Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental Em virtude da Eq 71 ser resultante de dados experimentais ela é uma Correlação Empírica Os valores específicos de C m e n variam com a geometria da superfície e características do escoamento Correlações na forma da Eq 71 serão usadas e nelas as hipóteses de propriedades constantes do fluido estão implícitas nos resultados Entretanto as propriedades do fluido variam com a temperatura através da camadalimite e essa variação que pode certamente influenciar a taxa de TRC são tratadas de duas maneiras 17112023 35 Prof Dr Jorge E Corrêa Método Empírico Experimental Temperatura do filme Tf Avaliar as propriedades na temperatura média na camadalimite dada por Fatores de correção Avaliar as propriedades a T e multiplicar o lado direito da Eq 71 por um fator de correção da forma com os subscritos indicando avaliação das propriedades nas temperaturas da corrente livre e da superfície sendo a constante r determinada experimentalmente 72 r r s s Pr Pr Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 36 Prof Dr Jorge E Corrêa Método Analítico Teórico A abordagem teórica envolve a solução analítica das equações da camadalimite sobre uma determinada geometria Obtido o perfil de temperaturas T o Nusselt local Nux e o coeficiente convectivo local hx podem ser determinados Conhecendo como hx varia ao longo da superfície o coeficiente convectivo médio e o Nusselt médio podem ser determinados Somente para poucas geometrias essas soluções analíticas podem ser obtidas Assim os métodos numéricos são preferíveis aos analíticos para obtêlas h Nu Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 37 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa plana em escoamento paralelo O escoamento paralelo sobre placa plana tem inúmeras aplicações em engenharia A camadalimite laminar inicia na aresta frontal x 0 e a transição pode ocorrer em uma posição xc na qual um Re crítico é superado Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 38 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento laminar No escoamento laminar regime permanente fluido incompressível propriedades constantes dissipação viscosa desprezível e dpdx 0 as equações da camadalimite se reduzem a Determinase analiticamente as distribuições de velocidade e de temperatura no interior das camadaslimite A partir delas as expressões para os coeficientes de atrito e Nu local e médio são obtidas Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento laminar Em 1908 Blasius foi quem primeiro resolveu essas equações usando séries de potências Depois surgiram outras soluções numéricas mais precisas Com propriedades constantes portanto independentes da temperatura as equações da continuidade e da quantidade de movimento podem ser resolvidas simultaneamente para obter os perfis de velocidade u e v Com os perfis de velocidades o coeficiente de atrito e a espessura da camada limite de velocidade podem ser determinados por suas definições Além disso conhecidos os perfis de velocidade u e v a equação da energia pode ser resolvida para obter o perfil de temperatura a fim de obter o coeficiente de TRC por convecção através de sua definição 17112023 39 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento laminar Escoamento laminar 73 75 77 78 76 74 Prof Dr Jorge E Corrêa Número de Prandtl 17112023 40 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento laminar Metais Líquidos apresentam Pr muito baixos e as equações anteriores não se aplicam Nesse caso a camada limite térmica desenvolvese bem mais rápido do que a cinética δt δ e é razoável admitir velocidade uniforme u u na camadalimite térmica assim NOTA Metais líquidos são usados como fluido de resfriamentoaquecimento para grandes taxas de TRC 79 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento laminar Uma correlação para o coeficiente convectivo local recomendada por Churchill e Ozoe que pode ser aplicada a todos os valores de Pr em escoamento laminar sobre uma placa plana isotérmica é dada por Daí 2 x x Nu Nu 710 17112023 41 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento turbulento Não existem soluções analíticas exatas para camadaslimite turbulentas De experimentos em escoamentos com Re 108 o coeficiente de atrito local é correlacionado por Além disso uma aproximação razoável para a espessura da camadalimite de velocidade é dada por 711 712 17112023 42 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento turbulento Ao contrário do laminar no escoamento turbulento a espessura da camadalimite é fortemente influenciada pela advecção e não tanto pela difusão molecular Dessa maneira o crescimento relativo das camadaslimite não depende do valor de Pr Assim δ δt Pela analogia de ChiltonColburn o Nu local para escoamento turbulento 713 Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 43 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento misto Se o escoamento laminar cobrir toda a placa as soluções para camadalimite laminar são usadas para calcular os valores médios do coeficiente de atrito e do Nu Se a transição ocorrer no intervalo 095 xc L 1 as equações laminares ainda são usadas na determinação dos valores médios com uma aproximação razoável Contudo se a transição ocorrer em xc L 095 os valores médios serão afetados pela presença das camadaslimite laminar e turbulenta Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento misto Na camadalimite mista os valores médios são obtidos por integração ao longo da região laminar 0 x xc e da turbulenta xc x L admitindo transição abrupta em xc 714 715 17112023 44 Prof Dr Jorge E Corrêa Placa isotérmica em escoamento misto Nas equações 714 e 715 o valor de A é dado por Para a camadalimite completamente turbulenta Rexc 0 e A 0 Tal condição pode ser obtida pela perturbação da camadalimite na aresta frontal usando um arame fino ou algum outro promotor de turbulência rugosidade superficial Na transição Rexc 5 105 portanto A 871 Nas correlações as propriedades do fluido são avaliadas na temperatura de filme 716 Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 45 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro Escoamento na direção normal ao eixo do cilindro O fluido da corrente livre com velocidade V assume velocidade zero no ponto de estagnação frontal com um correspondente aumento de pressão Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro A camadalimite se desenvolve sob influência de um gradiente de pressão favorável dpdx 0 Por trás do cilindro a pressão atinge um mínimo e o desenvolvimento da camadalimite continua na presença de um gradiente de pressão adverso dpdx 0 17112023 46 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro Nesse escoamento com D diâmetro externo do cilindro 80 sep 140 sep Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento sobre esfera 17112023 47 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro Força de arrasto FD Força de atrito Pressão de Forma Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro 717 17112023 48 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre cilindro Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento sobre esfera Para Re muito pequenos o coeficiente de arrasto é inversamente proporcional ao seu valor e a relação é conhecida como lei de Stokes Correlação proposta por Whitaker onde as propriedades exceto μs são avaliadas a T 718 719 17112023 49 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Aplicações industriais geração de vapor Caldeira ou resfriamento de ar no condicionador Evaporador 17112023 50 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Trocador de calor cascotubos ShellandTube condensadores evaporadores recuperadores de calor etc Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Trocadores de calor de serpentina aletada usados em equipamentos de refrigeração e ar condicionado 17112023 51 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Os tubos estão alinhados ou escalonados O arranjo é caracterizada por seu diâmetro D e passos transversal ST e longitudinal SL medidos entre os centros dos tubos Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Os tubos alinhados desde sua segunda fileira estão nas esteiras dos tubos à montante Moderados SL Até a quinta fileira os coeficientes convectivos associados às fileiras à jusante crescem com a misturação do escoamento Altos SL A influência das fileiras à montante diminui e a TRC nas fileiras à jusante não aumenta Por isso a operação de feixes de tubos alinhados com ST SL 07 não é desejável Em tubos escalonados alternados a misturação do escoamento aumenta em relação aos alinhados Em geral a intensificação da TRC é favorecida particularmente para ReD 100 17112023 52 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Correlação proposta por Zukauskas na qual NL é o número de fileiras de tubos na direção longitudinal Todas propriedades exceto Prs são avaliadas na temperatura média aritmética entre as do fluido na entrada Ti T e na saída To e C1 e m estão listadas na tabela seguinte 720 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares 17112023 53 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Para NL 20 o coeficiente de transferência de calor médio deve ser multiplicado por um fator de correção C2 721 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares O Reynolds máximo na Eq 720 é baseado na velocidade máxima do fluido no interior do feixe tubular 17112023 54 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares A taxa de TRC no feixe será superestimada se usar ΔT Ts T na lei do resfriamento de Newton Nesse caso a forma apropriada é a média logarítmica das diferenças de temperatura ΔTlm onde Ti e To são as temperaturas do fluido na entrada e na saída do feixe de tubos com esta última dada por onde N total de tubos NT tubos na fileira transversal 722 723 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Conhecida a ΔTlm a taxa de TRC por unidade de comprimento de tubo Outro item de bastante interesse em engenharia é a queda de pressão no feixe de tubos onde o fator de atrito f e o de correção são dados nos gráficos seguintes 724 723 17112023 55 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Alinhados Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento cruzado sobre feixes tubulares Escalonados 17112023 56 Prof Dr Jorge E Corrêa Limitações de uso das correlações As correlações apresentadas são adequadas na maioria dos cálculos de engenharia Na prática valores exatos para os coeficientes convectivos são raros As condições variam de acordo com a turbulência na corrente livre e com a rugosidade da superfície e erros de até 25 podem ser observados Prof Dr Jorge E Corrêa Metodologia para cálculos em convecção 1 Reconhecer a geometria do escoamento placa plana cilindro esfera 2 Determinar as propriedades termofísicas do fluido na temperatura de referência apropriada filme ou razão de correção 3 Calcular o número de Reynolds laminar turbulento ou misto 4 Decidir pelo coeficiente local ou médio 5 Selecionar a correlação apropriada 17112023 57 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 58 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento interno O fluido escoa por dentro de um tubo ou duto circundados por uma ou mais superfícies Nesse caso a camadalimite cinética se desenvolve sobre cada superfície porém não há corrente livre bem definida como havia no escoamento externo Encontrado em trocadores de calor usados no aquecimento e resfriamento de fluidos em processos químicos no controle ambiental e em tecnologias de conversão de energia Nosso objetivo é entender os fenômenos físicos associados a esse escoamento e determinar os coeficientes convectivos em problemas de importância prática Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 59 Prof Dr Jorge E Corrêa Condições do escoamento No escoamento interno devemos atentar para a existência de regiões de entrada e plenamente desenvolvida Prof Dr Jorge E Corrêa Condições do escoamento O Reynolds em tubo circular é dado por onde um velocidade média do escoamento na seção transversal do tubo e D diâmetro interno do tubo No escoamento plenamente desenvolvido o Re crítico para surgimento da turbulência embora somente valores 10000 garantam a completa turbulência 81 82 17112023 60 Prof Dr Jorge E Corrêa Condições do escoamento Para seções retas não circulares Re é obtido em termos de diâmetro hidráulico Dh Prof Dr Jorge E Corrêa Condições do escoamento Para escoamento laminar ReD 2300 o comprimento de entrada fluidodinâmico é dado por Para escoamento turbulento que para nosso propósito assumiremos xfdh D 10 83 84 17112023 61 Prof Dr Jorge E Corrêa Velocidade média A vazão mássica é dada por onde um velocidade média do escoamento Ac área da seção transversal do tubo Para escoamento incompressível em tubo de seção transversal circular temse 85 86 Prof Dr Jorge E Corrêa Velocidade média Na região de entrada a velocidade média pode ser calculada por onde u r x perfil de velocidade Na região plenamente desenvolvida temse com 87 88 89 17112023 62 Prof Dr Jorge E Corrêa Queda de pressão no escoamento plenamente desenvolvido A queda de pressão depende do fator de atrito de Darcy um parâmetro adimensional definido por que não deve ser confundido com o coeficiente de atrito fator de Fanning dado por onde 810 811 812 Prof Dr Jorge E Corrêa Queda de pressão no escoamento plenamente desenvolvido Substituindo Eq 81 e 89 em 810 teremos para escoamento laminar Para escoamento turbulento Colebrook Para tubos lisos Petukhov 813 814 815 17112023 63 Prof Dr Jorge E Corrêa Diagrama de Moody Prof Dr Jorge E Corrêa Queda de pressão no escoamento plenamente desenvolvido A queda de pressão para escoamento laminar ou turbulento é dada por Em escoamento incompressível a potência da bomba ou do soprador para superar essa queda de pressão é dada por m Pot p 816 817 17112023 64 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Camada limite térmica Se a temperatura uniforme Tr 0 do escoamento é diferente da temperatura na superfície interna do tubo então sobrepõese à camadalimite cinética uma térmica 17112023 65 Prof Dr Jorge E Corrêa Camada limite térmica No escoamento laminar o comprimento de entrada térmica é dado por Comparando com a Eq 83 verificase a Se Pr 1 xfdh xfdt o contrário se Pr 1 b Em óleos e fluidos muito viscosos Pr 1 Assumir perfil de velocidade plenamente desenvolvido na região de entrada térmica c Em escoamento turbulento o Pr não influencia e xfdt 10 D 818 Prof Dr Jorge E Corrêa Camada limite térmica Na superfície interna do tubo podemos ter 1 Temperatura uniforme e constante Ts 2 Fluxo térmico uniforme e constante qs Na região plenamente desenvolvida Tr x depende da condição existente na superfície interna do tubo Entretanto a diferença entre a temperatura do fluido e a sua temperatura superficial na entrada do tubo sempre aumenta com x 17112023 66 Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura média de mistura Sem uma corrente livre com velocidade e temperatura fixas e uniformes usaremos uma velocidade média e uma temperatura média de mistura no escoamento interno Para definir a temperatura de mistura Tm retomaremos Daí na seção transversal do tubo 819 820 Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura de mistura Com as Eqs 85 e 820 para escoamento em um tubo circular com ρ e cp constantes temse Tm é referência para escoamentos internos tal como T para externos Daí a lei do resfriamento de Newton é dada por onde h coeficiente local de TRC por convecção 821 822 17112023 67 Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura de mistura Diferença fundamental entre Tm e T Na corrente livre T é constante no sentido do escoamento Se ocorre TRC por convecção Tm deve variar pois dTmdx é sempre diferente de zero Assim se Ts Tm o valor de Tm aumenta com x caso contrário diminui Uma pergunta Com a TRC por convecção a temperatura do escoamento deve variar com x assim as condições térmicas plenamente desenvolvidas serão de fato atingidas mesmo com Tm variando continuamente com x Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento termicamente plenamente desenvolvido Obtémse a resposta adotando um perfil adimensional de temperatura de modo que para o escoamento termicamente plenamente desenvolvido temse Condições superficiais em aplicações da engenharia Fluxo térmico constante e uniforme parede do tubo aquecida eletricamente ou superfície externa uniformemente irradiada Temperatura superficial constante e uniforme mudança de fase ebulição ou condensação na superfície externa 823 17112023 68 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento termicamente plenamente desenvolvido No escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes o h local é uma constante independente de x Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 69 Prof Dr Jorge E Corrêa Balanço de energia Com as simplificações adequadas temse No tubo de comprimento L finito No VC 824 825 Prof Dr Jorge E Corrêa Balanço de energia Combinado a Eq 822 824 e 825 cuja solução para dada condição na superfície do tubo fornecerá a variação de Tm com x Se Ts Tm o fluido é aquecido e Tm aumenta com x caso contrário é resfriado e Tm diminui Para um tubo de seção circular P π D 826 17112023 70 Prof Dr Jorge E Corrêa Fluxo térmico constante na superfície Como qx é independente de x temse Integrando a primeira igualdade da Eq 826 desde x 0 temse ou seja Tm varia linearmente com x ao longo do tubo 827 828 Prof Dr Jorge E Corrêa Fluxo térmico constante na superfície Na região de entrada a diferença Ts Tm varia com x Inicialmente é pequena h elevado na entrada mas aumenta com a redução de h devido ao desenvolvimento da camadalimite Na região plenamente desenvolvida sabemos que o h é independente de x Daí nessa região Ts Tm é constante 17112023 71 Prof Dr Jorge E Corrêa Fluxo térmico constante na superfície Exemplo 81 Para aquecer água de 20C até 60C escoamos o líquido através de um tubo com 20mm de diâmetro interno e 40mm de diâmetro externo Sua superfície externa encontra se isolada e uma resistência elétrica no interior da parede do tubo fornece uma taxa de 106 Wm3 de geração uniforme de energia térmica a Para uma vazão mássica de 01 kgs qual deve ser o comprimento do tubo para que a temperatura de saída desejada seja alcançada b Se na saída do tubo a temperatura da sua superfície interna for de 70C qual será o coeficiente de TRC por convecção neste local Prof Dr Jorge E Corrêa Fluxo térmico constante na superfície Exemplo 81 17112023 72 Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura superficial constante Da segunda igualdade na Eq826 temse Separando as variáveis e integrando da entrada do tubo até sua saída Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura superficial constante com temse Integrando da entrada do tubo até x com temse L h h x h h 829 830 17112023 73 Prof Dr Jorge E Corrêa A taxa total de TRC será onde a diferença de temperatura média logarítmica é dada por Temperatura superficial constante 832 831 Prof Dr Jorge E Corrêa Temperatura constante na superfície Exemplo 82 Vapor de água condensando sobre a superfície externa de um tubo circular de parede fina com 50 mm de diâmetro e 6 m de comprimento mantém na superfície externa uma temperatura uniforme de 100C Água escoa através do tubo a razão 025 kgs sendo aquecida de 15C até 57C Qual é o coeficiente convectivo médio associado ao escoamento da água 17112023 74 Prof Dr Jorge E Corrêa Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar em um tubo circular Na região plenamente desenvolvida Nesses casos o Nu é constante e independente de ReD Pr e da posição axial Com Ts constante a condução axial foi desprezada 834 833 17112023 75 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar em um tubo circular Na região de entrada duas situações diferentes são normalmente encontradas 1 As condições térmicas se desenvolvem na presença de um perfil de velocidades plenamente desenvolvido a Posição onde a TRC se inicia é precedida por um comprimento inicial não aquecido b Fluidos com Pr elevados como os óleos 2 No problema do comprimento de entrada combinada térmica e cinética os perfis de temperaturas e de velocidades se desenvolvem simultaneamente Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar em um tubo circular Gases Número de Graetz Até o valor de x 17112023 76 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar em um tubo circular Para o problema de comprimento de entrada térmica Kays apresenta uma correlação atribuída a Hausen que tem a forma e que se aplica às situações nas quais o perfil de velocidades está plenamente desenvolvido Nas Eqs 835 e 836 as propriedades são estimadas em Tment Tmsai 2 835 m T Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento laminar em um tubo circular No problema de entrada combinada o Nu depende de Pr e de Gz Baehr e Stephan recomendam uma correlação de forma Pr o denominador da Eq836 1 Assim seu numerador expressa o problema de comprimento de entrada térmica com Pr e fornece que estão a 3 dos estimados pela correlação de Hausen para 0006 1GzD 1 como mostra a figura anterior 836 NuD 17112023 77 Prof Dr Jorge E Corrêa Influência da temperatura na propriedades Se Ts é muito diferente de Tm as propriedades do fluido também podem ser Assim os calculados pelas correlações podem ser muito diferentes Em gases este efeito é pequeno Em líquidos a variação da viscosidade é importante especialmente para óleos Elas alteram o perfil radial de velocidades que afeta o de temperatura e modificam o Nu Kays recomenda o fator de correção para Nu em líquidos da forma D Nu 837 Prof Dr Jorge E Corrêa 17112023 78 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento turbulento em tubo circular A análise do escoamento turbulento é bem mais complicada do que o laminar por isso maior ênfase é dada às correlações empíricas Em escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos dentro de tubos lisos o Nu local pode ser obtido com a correlação de DittusBoelter com n 04 para o aquecimento Ts Tm e n 03 para o resfriamento Ts Tm 838 Prof Dr Jorge E Corrêa Escoamento turbulento em tubo circular Para escoamentos com grandes variações das propriedades recomendase a correlação de Sieder e Tate na qual todas as propriedades com exceção de μs são estimadas a Tm NOTA Com boa aproximação as correlações anteriores podem ser utilizadas em condições na superfície de temperatura e de fluxo térmico uniformes 839 17112023 79 Prof Dr Jorge E Corrêa