Condução de Calor em Regime Transiente

Condução de calor em regime transiente 2 Condução de calor em regime transiente Muitos problemas de transferência de calor são dependentes do tempo São problemas nãoestacionários ou transientes que surgem quando as condições de contorno de um sistema variam Por exemplo se a temperatura superficial de um sólido for alterada a temperatura em cada ponto no interior do sólido também começará a mudar Essas mudanças continuarão até que uma distribuição de temperaturas estacionária seja alcançada O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e resfriamento A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do sistema e condução no interior do sistema 3 Condução de calor em regime transiente Em um lingote de metal quente é removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio a energia será transferida por convecção e radiação No interior da peça a transferência de calor é por condução e a temperatura diminui em cada ponto do lingote com o tempo até que uma condição de regime estacionário seja alcançada Processo similar é o resfriamento e congelamento de alimentos onde o produto é submetido a uma corrente de ar a baixa temperatura e a temperatura do produto diminui gradativamente até atingir uma mesma condição de regime estacionário Exemplos de aplicação Tratamento térmico Produção de novos materiais com propriedades melhoradas Resfriamento e congelamento de alimentos 4 Condução de calor em regime transiente O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises considerando A variação de temperatura no interior do sólido é desprezível variação com a posição e somente há variação com o tempo Tt A variação da temperatura no sólido com a posição e o tempo Txt Trt Principalmente em metais com elevada condutividade térmica 5 Um problema simples e comum de condução transiente envolve um sólido que passa por uma súbita mudança no seu ambiente térmico Ex um processo de têmpera onde um metal a uma temperatura inicial Ti é submetido a um rápido resfriamento através da imersão em um meio líquido a temperatura T mais baixa que Ti Ti T Para t0 a temperatura do metal diminuirá até alcançar a T Esse método pode ser utilizado quando o sólido apresentar resistência interna desprezível Método da capacitância global MCG Isto se deve à convecção na interface sólidolíquido A variação de temperatura no interior do sólido é desprezível variação com a posição e somente há variação com o tempo Tt 6 No MCG a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo o que implica que o gradiente de temperatura dentro do sólido é desprezível da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência de uma condutividade térmica k infinita o que é obviamente impossível No entanto essa solução é aproximada se a resistência interna à transferência de calor por condução dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e o meio convecção esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área superficial e o volume ex placas finas e fios 7 Ao desprezar os gradiente de temperatura no interior do sólido o problema não pode mais ser analisado do ponto de vista da equação do calor Alternativa a resposta transiente é determinada através de um balanço global de energia no sólido ou ou As é a área superficial do sólido em m2 a massa específica em kgm3 V o seu volume em m3 cp o calor específico em JkgK MCG interna energia de variação da Taxa sólido do de perda de calor Taxa acum sai E E dt Vc dT t hA T t T p s 8 Por conveniência se define uma variação de temperatura como Se T for considerada uma constante Substituindo ℎ𝐴𝑠𝜃𝑡 𝜌𝑉𝑐𝑝 𝑑𝜃𝑡 𝑑𝑡 Separando as variáveis e integrando a partir da condição inicial t0 e T0Ti onde MCG s W J s K kgK J m m kg p K W m K m W s dt Vc dT t T t T hA 3 3 2 2 massa do sólido T t T t dt t dT dt t d t s p s dt t t d hA Vc dt t t d hA Vc i 0 T Ti i 9 Efetuando as integrações onde t ln hA Vc i s p i i i ln ln ln ln ln t t d i i Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para atingir a temperatura T t s p s dt t t d hA Vc dt t t d hA Vc i 0 também pode ser escrita como p s i i Vc t hA exp T T t T T Esta equação é usada para determinar a temperatura do sólido T em um tempo t de resfriamento ou aquecimento 10 Constante de tempo térmica em s p s Vc hA 1 t 1 exp T T t T T i i p s i i Vc t hA exp T T t T T E por analogia a um sistema elétrico podese definir e Dessa forma e R hAs 1 Vcp C Resistência à TC por convecção Capacitância térmica do sólido R C Vc hA p s 1 11 Aumento de R ou C resposta mais lenta do sólido às mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico MCG R C Vc hA p s 1 A temperatura cai exponencialmente com o tempo até alcançar T Quanto maior a massa do corpo eou seu calor específico maior será o valor de e por tanto mais tempo levará para aquecer ou resfriar 12 A energia total transferida durante o processo Q é dada por Substituindo o valor de Integrando Q é se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna ou Q é se a energia interna aumenta sólido é aquecido MCG t t s dt hA qdt Q 0 0 Vc t dt hA exp hA Q t p s i s 0 Vc t hA exp Vc Q p s p i 1 Q Eacum 13 p s p s i s Vc hA Vc t hA exp hA Q 1 Vc t hA exp Vc Q p s p i 1 Vc t dt hA exp hA Q t p s i s 0 a dt e e t i s at at exp at dt hA Q 0 a p s p s p s t p s Vc hA exp Vc t hA exp Vc hA Vc t hA exp 0 0 1 Integração da equação 14 O método caracterizase pela simplicidade e conveniência para a solução de problemas transientes de aquecimento ou de resfriamento A questão que surge é quais as condições em que o método pode ser aplicado com precisão satisfatória Considere a condução em regime estacionário através de uma placa plana com área A A placa plana possui uma superfície mantida à T1 enquanto a outra a T2 está exposta a um fluido de temperatura T T1 Balanço de energia na superfície Validade do método MCG T hAT T L T kA 2 2 1 Bi k hL R R hA kA L T T T T conv cond 1 2 2 1 Bi número de Biot e é um parâmetro adimensional k Bi hL 15 Número de Biot Bi É a razão entre as resistências interna e externa e dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido Validade do MCG Bi k hL R R hA kA L T T T T conv cond 1 2 2 1 Estudou sobre incorporar efeitos de convecção externa na análise de condução de calor Se Bi1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente TxtTt Rcond Rconv através da camada limite no fluido Aumentando o número Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é significativo Txt Bi1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a superfície e o fluido 16 Para testar a validade do método aplicase a relação Se essa condição for satisfeita o erro associado à utilização do método da capacitância global é pequeno Lct é o comprimento característico isso é o comprimento da condução dentro do objeto A energia térmica será conduzida para fora do objeto através do caminho mais fácil isso é o mais curto Validade do MCG 1 0 k hL Bi ct Geometrias unidimensionais todas com característica de simetria s ct A V L onde V é a volume do sólido e As é a área da sua superfície 17 Geometrias unidimensionais todas com característica de simetria 2 2 3 3 4 6 3 4 D r A D r V s 3 4 3 4 2 3 r r r Lct Para uma placa plana de espessura 2L e simetria na posição central como mostrado na figura abaixo o comprimento característico Lct será dado por L Lct Para um cilindro de raio r e altura H o eixo de simetria está também em r 0 Para uma esfera de raio r o eixo de simetria está em r 0 H HD Hr A HD Hr V s 2 4 2 2 2 2 2 r Hr Hr Lct V2LA As2A Lsemi espessura da parede 18 Número adimensional de Fourier Fo p s i i Vc t hA exp T T t T T 2 2 ct ct ct p ct p ct ct ct p ct p s L t k hL L t c k k hL L c ht kL kL L c ht Vc t hA Fo Bi L t k hL Vc t hA ct ct p s 2 Jean Baptiste Joseph Fourier 17681830 Conclui o trabalho de Biot 2 ct L t Fo Denominado de tempo adimensional ou tempo relativo e que como o número de Biot caracteriza problemas de condução transiente é a difusividade térmica do material kcp m²s BiFo exp T Ti T t T i 19 1 Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150 K seguido do resfriamento lento até 400 K em um ambiente com ar a T 325 K e h 20 Wm2K Supondo que as propriedades do aço sejam k40WmK 7800 kgm3 e cp 600 JkgK a Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento b Desenhe a curva de resfriamento até uma temperatura próxima mas superior a T c Estime a temperatura do sólido na metade do tempo total de resfriamento Exemplos 20 2 Uma haste comprida de cobre com diâmetro de 20 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de 100 ºC Agora é exposta a uma corrente de ar a 20 ºC com um coeficiente de transferência de calor de 200 Wm²K Quanto tempo levaria para que a haste resfrie até uma temperatura média de 25 ºC