Equações de Retas no Plano: Intersecção, Paralelismo e Normais

2 Retas no plano 21 Equações Um ponto P pertence à reta τ que passa pelos pontos A e B se e somente se para algum λ ℝ AP λ AB Dizemos que um vetor v 0 é paralelo a uma reta r quando para quaisquer dois pontos A B r o vetor AB é múltiplo do vetor v Nesse caso escrevemos v r Determine o ponto de interseção da reta r₁ paralela ao vetor v 1 1 que passa pelo ponto A 2 3 com a reta r₂ que passa pelos pontos B 1 2 e C 3 6 Seja r a reta que passa pelo ponto A x0 y0 e é perpendicular ao vetor vecu a b eq vec0 Então P x y in r iff AP perp vecu iff AP vecu 0 iff x x0 y y0 a b 0 iff ax x0 by y0 0 iff ax by ax0 by0 iff ax by c onde c ax0 by0 A equação dada por r ax by c é chamada equação cartesiana da reta r Diferente das equações paramétricas neste caso as coordenadas dos pontos pertencentes à reta se relacionam através de uma única equação Nesta equação observamos que os coeficientes a e b de x e y respectivamente são as coordenadas do vetor normal vecu a b e que o valor de c é determinado quando se conhece um ponto de r no caso o ponto A x0 y0 Observe também que a e b não podem ser ambos iguais a zero pois vecu a b é um vetor não nulo Observação Um vetor vecu a b eq 0 0 é normal à reta r se e somente se o vetor vecv b a é paralelo à r Determine a equação cartesiana da reta r que passa pelo ponto A 1 4 e é normal ao vetor vecu 2 3 Solução Como vecu perp r devemos ter r 2x 3y c O valor de c é calculado sabendo que A 1 4 in r isto é c 2 1 3 4 10 Portanto a equação procurada é r 2x 3y 10 Determine a equação cartesiana da reta r que passa pelo ponto B 1 4 e é paralela ao vetor vecv 2 3 Solução Conhecer um ponto e um vetor paralelo à reta equivalente a dar as equações paramétricas r x 1 2t y 4 3t t in mathbbR Como vecv 2 3 parallel r temos pela observação 5 vecu 3 2 perp r Portanto r 3x 2y c Para determinar c usamos o fato de que B 1 4 in r isto é c 3 1 2 4 11 Logo r 3x 2y 11 Determine a equação cartesiana da reta r x 3 s y 1 2s s in mathbbR Solução Das equações paramétricas obtemos o vetor vecv 1 2 paralelo à reta r e um ponto A 3 1 pertencente a ela Como pela observação 5 o vetor vecu 2 1 é normal a r a equação cartesiana de r é 2x y c Para calcular c usamos que A 3 1 in r isto é c 2 3 1 7 Logo a equação cartesiana de r é 2x y 7 Determine as equações paramétricas da reta r 3x 2y 4 Solução Para acharmos as equações paramétricas de r precisamos conhecer um vetor paralelo a r e um ponto de r Da equação cartesiana temos vecu 3 2 Rightarrow vecv 2 3 parallel r Para determinarmos um ponto de r fazemos x 0 na equação cartesiana de r e calculamos o valor correspondente de y x 0 Rightarrow 2 y 4 Rightarrow y 2 Portanto o ponto A 0 2 pertence a r Assim as equações paramétricas de r são x 2t y 2 3t t in mathbbR Considera uma reta r ax by c dada por sua equação cartesian onde vecu a b eq 0 0 é um vetor normal a r Vamos verificar que r pode ser reescrita das seguintes formas Se b 0 então um ponto x y r se e somente se x ca Ou seja r d y y in mathbbR onde d ca observe que a 0 Uma reta do tipo r x d é dita vertical pois neste caso r é paralela ao eixoOY ou coincidente com este eixo Se b 0 isto é r é não vertical então o ponto x y r se e somente se by ax c y fracabx fraccb Ou seja r x mx n x in mathbbR onde m fracab e n fraccb Uma equação do tipo y mx n é chamada equação afim ou reduzida da reta r Provamos assim que toda reta r não vertical se representa por uma equação do 1 grau da forma y mx n onde n é a ordenada do ponto onde r intersecta o eixoOY Se n 0 então r passa pela origem m é a razão entre o acréscimo de y e o acréscimo de x quando se passa de um ponto a outro sobre a reta De fato se x0 eq x1 y0 mx0 n e y mx n então fracy1 y0x1 x0 fracmx1 n mx0 nx1 x0 fracmx1 x0x1 x0 m O número m chamase inclinação ou coeficiente angular da reta r y mx n Além disso Se m 0 a função y mx n é crescente isto é se x1 x2 então y1 mx1 n y2 mx2 n Se m 0 a função y mx n é decrescente isto é se x1 x2 então y1 mx1 n y2 mx2 n Se m 0 a função y mx n é constante pois y n para todo x in mathbbR Neste caso dizemos que r y n é uma reta horizontal Seja θ o ângulo que a reta r y mx n faz com o semieixo OX positivo Então tg θ m EXEMPLO Determine as equações afins das retas que contêm os lados do triângulo de vértices nos pontos A 1 1 B 5 1 e C 5 3 Solução A reta r₁ que contém o lado BC é vertical pois B e C têm a mesma abscissa 5 Assim r₁ x 5 A reta r₂ que contém o lado AB é horizontal pois A e B têm a mesma ordenada 1 Portanto r₂ y 1 A reta r₃ que contém o lado AC tem inclinação m frac3151 frac12 Assim a equação de r₃ é da forma r₃ y frac12x n Como A 1 1 r₃ obtemos substituindo x por 1 e y por 1 na equação anterior que 1 frac12 cdot 1 n Rightarrow n 1 frac12 frac12 Portanto r₃ y frac12x frac12 é a equação afim da terceira reta 22 Posição relativa e distâncias Seja s a reta perpendicular à reta r ax by c que passa pelo ponto P x0 y0 Como w a b s temos que w s Logo s x x0 at y y0 bt t ℝ são as equações paramétricas de s Seja P o pé da perpendicular a r que passa por P ou seja P r s Então P x0 at y0 bt para algum t ℝ e ax0 at by0 bt c a² b²t ax0 by0 c t c ax0 by0 a² b² Como dP r dP P PP PP a bt temos dP r t a b ax0 by0 c a² b² dP r ax0 by0 c a² b² Duas retas r₁ e r₂ no plano podem estar em três posições relativas uma em relação à outra a coincidentes quando são iguais isto é r₁ r₂ b paralelas quando não se intersectam isto é r₁ r₂ Ø Neste caso escrevemos r₁ r₂ c concorrentes quando se intersectam em um ponto isto é r₁ r₂ P Proposição As retas r₁ ax by c e r₂ dx by c são paralelas ou coincidentes se e somente se existe λ 0 tal que a b λa b isto é se e somente se seus vetores normais são múltiplos As retas r₁ ax by c e r₂ ax by c são paralelas se e somente se existe λ ℝ λ 0 tal que a b λa b e c λc Exemplo Verifique se as retas r₁ x 2y 1 r₂ 2x 4y 2 e r₃ 3x 6y 3 são paralelas ou coincidentes Solução Multiplicando a equação de r₁ por 2 obtemos r₁ 2x 4y 2 Como 2 2 temos r₁ r₂ Multiplicando a equação de r₁ por 3 obtemos a equação de r₃ Logo r₁ r₃ Além disso r₂ r₃ Determine a equação cartesiana da reta r₂ paralela à reta r₁ x 2y 3 que passa pelo ponto A 2 2 Solução Seja r₂ ax by c a equação cartesiana da reta r₂ Pela proposição 6 existe λ 0 tal que a b λ1 2 onde 1 2 é o vetor normal à reta r₁ Podemos tomar sem perda de generalidade λ 1 ou seja a b 1 2 Como r₂ x 2y c e o ponto A 2 2 r₂ devemos ter c 2 22 2 Logo x 2y 2 é a equação cartesiana da reta r₂ Definição O ângulo r₁ r₂ entre duas retas r₁ e r₂ se define da seguinte maneira se r₁ e r₂ são coincidentes ou paralelas então r₁ r₂ 0 e se as retas são concorrentes isto é r₁ r₂ P então r₁ r₂ é o menor dos ângulos positivos determinados pelas retas Proposição Determine a equação cartesiana da reta r₂ que passa pelo ponto 2 1 e é perpendicular à reta r₁ 2x 3y 4 Solução Seja r₂ ax by c a equação cartesiana de uma reta perpendicular à reta r₁ 2x 3y 4 Pela proposição anterior o vetor u₁ a b é perpendicular ao vetor u₁ 2 3 e portanto u₂ λ3 2 para algum λ 0 Podemos tomar sem perda de generalidade λ 1 ou seja u₂ 3 2 Então r₂ 3x 2y c onde c 3 2 2 1 4 pois o ponto A 2 1 pertence à r₂ Obtemos assim que 3x 2y 4 é a equação cartesiana da reta r₂ As retas r1 y mx n e r2 y mx n são paralelas se e somente se m m e n n Sejam r1 y mx n e r2 y mx n duas retas tais que m 0 e m 0 Então r1 r2 se e somente se mm 1