Extensões do Modelo Linear de Duas Variáveis: Escalas e Unidades de Medida

Extensões do modelo linear de duas variáveis Bibliografia GUJARATI D Econometria Básica Rio de Janeiro Elsevier 4ª edição 2006 Capítulo 6 Bases de dados utilizadas WOOLDRIDGE JM Introdução à Econometria uma abordagem moderna São Paulo Pioneira Thomson Learning 2006 Escalas e Unidades de Medida As unidades em que os regressandos e regressores são medidos influenciam os resultados da regressão Vamos tomar como exemplo e estimativa do peso ao nascer E se ao invés de medirmos o peso em gramas medirmos o peso em kg Como ficariam os resultados pesonascer continua medido em gramas pesokg é o peso ao nascer medido em kg ou seja 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑘𝑔 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠𝑐𝑒𝑟 1000 Escalas e Unidades de Medida Exemplo 1 Mudança na variável dependente 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠𝑐𝑒𝑟 3421 1147𝑐𝑖𝑔𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑘𝑔 342 001147𝑐𝑖𝑔𝑠 Modelo 1 Modelo 2 Coeficientes do modelo inicial com o peso em gramas Novos coeficientes são iguais aos antigos divido por mil ou seja são modificados da mesma foram que a variável dependente O que mais muda O erro padrão também fica dividido por 1000 A razãot e o 𝑟2 permanecem os mesmos Ou seja o poder de explicação do modelo e a significância estatística das variáveis permanecem os mesmos Escalas e Unidades de Medida Exemplo 1 Mudança na variável dependente Escalas e Unidades de Medida Exemplo 2 Mudança na variável explicativa Por que mudar o valor dessas variáveis O exemplo a seguir relaciona o preço de passagens aérea com a distância da viagem Ou seja estamos tentando responder quanto da variação no preço das passagens áreas podem ser explicadas pela distância percorrida na viagem O banco de dados possui 4596 observações para os anos de 1998 1999 e 2000 Esse bancos de dados faz parte do livro Wooldridge 2006 O modelo estimado será 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎𝑖 መ𝛽1 መ𝛽2𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 Escalas e Unidades de Medida Exemplo 2 Mudança na variável explicativa Modelo 1 Distância está medida em quilômetros Interpretação Modelo 1 Distância está medida em 1000 quilômetros Interpretação A cada 1 km a tarifa aumenta em 004 A cada 1000 km a tarifa aumenta em 4742 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 10326 004𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 10326 4742𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 Escalas e Unidades de Medida Exemplo 3 Mudança igual nas duas variáveis Quando da renda em dólares explica a poupança das famílias No primeiro modelo renda e poupança estão em dólares 𝑆𝐴𝑉 12484 014 𝐼𝑁𝐶 Interpretação A cada 1 dólar a mais de renda as famílias poupam 014 centavos No segundo modelo tanto a poupança foram divididos por 1000 𝑆𝐴𝑉 01248 014 𝐼𝑁𝐶 Interpretação A cada 1000 dólares a mais de renda as famílias poupam 146 dólares Escalas e Unidades de Medida Formalmente estamos multiplicando as variáveis dependente e explicativa por uma constante ou seja 𝑋𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑤𝑖𝑌𝑖 E com isso temos um novo modelo 𝑌𝑖 መ𝛽1 መ𝛽2 𝑋𝑖 𝑢𝑖 Escalas e Unidades de Medida O que muda መ𝛽2 𝑤1 𝑤2 መ𝛽2 መ𝛽1 𝑤1 መ𝛽1 𝑢𝑖 𝑤1 𝑢𝑖 𝜎𝑖 2 𝑤1 2 𝜎𝑖 2 𝑣𝑎𝑟 መ𝛽2 𝑤1 𝑤2 2 𝑣𝑎𝑟 መ𝛽2 𝑟2 𝑟2 Escalas e Unidades de Medida Em suma Quando multiplicamosdividimos a variável dependente por um escalar então os betas ficam multiplicadosdivididos pelo mesmo escalar Erro padrão estatística t e grau de ajustamento permanecem os mesmos Quando multiplicamosdividimos a variável explicativa por um escalar apenas o beta dessa variável muda A constante o erro padrão a estatística t e o grau de ajustamento permanecem os mesmos Quando multiplicamosdividimos tanto a variável dependente quanto a explicativa pelo mesmo escalar apenas a constante e seu erro padrão são multiplicadosdivididos pelo mesmo escalar Formas Funcionais Como estudamos anteriormente os modelos lineares são lineares nos parâmetros mas não necessariamente nas variáveis Modelo LogLinear Modelo de regressão exponencial 𝑌𝑖 𝛽1𝑋𝑖 𝛽2𝑒𝑢𝑖 Esse modelo pode ser simplificado para ln 𝑌𝑖 ln 𝛽1 𝛽2 ln 𝑋𝑖 𝑢𝑖 Em que ln logaritmo natural isto é logaritmo com base 𝑒 2718 Esse modelo também é conhecido como loglog ou duplolog Podemos reescrever a última equação como 𝑌𝑖 𝛼 𝛽2 ln 𝑋𝑖 𝑢𝑖 Em que 𝑌𝑖 ln 𝑌𝑖 𝑋𝑖 ln 𝑋𝑖 𝛼 ln 𝛽1 Modelo LogLinear O modelo loglinear é também conhecido como modelo de elasticidades constante pois os betas estimados medem a elasticidade da variável dependente em relação a variável explicativa Ou seja mede a variação percentual em 𝑌 dada uma variação de 1 em 𝑋 A diferença entre o modelo original e o modelo em logaritmo pode ser representada pela figura abaixo Modelo LogLinear Exemplo 1 Quando as vendas de uma empresa aumentam em 1 quanto aumenta o salário do CEO ln 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 482 025 ln𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 Interpretação Aumento de 1 nas vendas causa um aumento de 025 nos salários dos executivos Modelo LogLinear Exemplo 2 Quando a poupança aumenta quando a renda aumenta em 1 ln 𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎𝑛ç𝑎 276 106 ln𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 Interpretação Aumento de 1 na renda causa um aumento de 106 na poupança Modelos Semilogarítmicos LogLin e LinLog Modelo LogLin ln 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2𝑋𝑖 𝑢𝑖 Neste caso apenas a variável dependente foi transformada para logaritmo Interpretação O aumento de 1 unidade de 𝑋𝑖 causa um aumento de 𝛽2100 em 𝑌𝑖 Ou seja 𝛽2 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑙𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑋 𝑌𝑌 𝑋 Modelo LogLin Exemplo 1 A cada ano a mais de educação em quanto a renda aumenta ln 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 597 006 𝑒𝑑𝑢𝑐 Interpretação Aumento de 1 ano de educação causa um aumento de 6 no salário esperado Modelos Semilogarítmicos LogLin e LinLog Modelo LinLog 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2 ln 𝑋𝑖 𝑢𝑖 Neste caso apenas a variável explicativa foi transformada para logaritmo Interpretação O aumento de 1 em 𝑋𝑖 causa um aumento de 𝛽2 100 em 𝑌𝑖 Ou seja 𝛽2 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑋 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 ln 𝑋 𝑌 𝑋𝑋 Neste caso os valores de beta são semielasticidades Modelo LinLog Exemplo 1 O aumento de 1 no preço dos cigarros reduz em quanto o seu consumo 𝑐𝑖𝑔𝑠 1859 241 ln 𝑝 Interpretação Aumento de 1 no preço dos cigarros causa uma diminuição de 241100 ou seja 00241 cigarros por dia Tipo Modelo Variável Dependente Variável Explicativa Interpretação Linlin 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2𝑋𝑖 𝑢𝑖 𝑌 𝑋 𝑌 𝛽2𝑋 Linlog 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2 ln 𝑋𝑖 𝑢𝑖 𝑌 𝐿𝑛𝑋 𝑌 𝛽2 100 𝑋 Loglin ln 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2𝑋𝑖 𝑢𝑖 𝐿𝑛𝑌 𝑋 𝑌 100 መ𝛽2𝑋 Loglog ln 𝑌𝑖 ln 𝛽1 𝛽2 ln 𝑋𝑖 𝑢𝑖 𝐿𝑛𝑌 𝐿𝑛𝑋 𝑌 መ𝛽2𝑋