Questão - Transformada de Laplace - Equações Diferenciais a 2022 1

Use a transformada de Laplace para determinar a solução do problema de valor inicial y'' + 400y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0, em que f(t) = \left\{\begin{array}{ll} 3 \sin 4t, & \text{se } 0 \leq t < \frac{3}{8}\pi, \\ 0, & \text{se } t \geq \frac{3}{8}\pi. \end{array}\right. Questão 1 Note que a função pode ser escrita por: 𝑓 = 3 sin 4𝑡 − 3 sin4𝑡 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) Assim, temos a seguinte equação: 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin4𝑡 − 3 sin(4𝑡) 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin 4𝑡 − 3 sin (4 (𝑡 − 3 8 𝜋 + 3 8 𝜋))𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin4𝑡 − 3 sin (4𝑡 − 3 2 𝜋 + 3 2 𝜋) 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin 4𝑡 − 3 [sin (4𝑡 − 3 2 𝜋) cos (3 2 𝜋) + sin (3 2 𝜋) cos (4𝑡 − 3 2 𝜋)] 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin 4𝑡 − 3 [sin(4𝑡 − 3 2 𝜋) ∗ 0 + (−1) cos (4𝑡 − 3 2 𝜋)] 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin 4𝑡 + 3 cos (4𝑡 − 3 2 𝜋) 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) 𝑦′′ + 400𝑦 = 3 sin 4𝑡 + 3 cos (4 [𝑡 − 3 8 𝜋]) 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) Aplicando Laplace, temos: 𝐿(𝑦′′) + 400𝐿(𝑦) = 3𝐿(sin 4𝑡) + 3𝐿 {cos (4[𝑡 − 3 8 𝜋]) 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋)} 𝑠𝐿(𝑦′) + 400𝐿(𝑦) = 3 4 𝑠2 + 16 + 3𝑒−3 8𝜋𝑠𝐿{cos(4𝑡)} 𝑠2𝐿(𝑦) + 400𝐿(𝑦) = 3 4 𝑠2 + 16 + 3𝑒−3 8𝜋𝑠 𝑠 𝑠2 + 16 (𝑠2 + 202)𝐿(𝑦) = 3 4 𝑠2 + 16 + 3𝑒−3 8𝜋𝑠 𝑠 𝑠2 + 16 𝐿(𝑦) = 3 4 𝑠2 + 16 1 𝑠2 + 202 + 3𝑒−3 8𝜋𝑠 𝑠 𝑠2 + 16 1 𝑠2 + 202 𝐿(𝑦) = 12 384 [ 1 𝑠2 + 16 − 1 𝑠2 + 202] + 3 384 𝑒−3 8𝜋𝑠 [ 𝑠 𝑠2 + 16 − 𝑠 𝑠2 + 202] 𝐿(𝑦) = 12 384 [1 4 4 𝑠2 + 16 − 1 20 20 𝑠2 + 202] + 3 384 𝑒−3 8𝜋𝑠 [ 𝑠 𝑠2 + 16 − 𝑠 𝑠2 + 202] Tomando a inversa, obtemos: 𝑦 = 12 384 [1 4 sin4𝑡 − 1 20 sin 20𝑡] + 3 384 𝑢 (𝑡 − 3 8 𝜋) [cos 4𝑡 − cos 20𝑡]𝑡−3 8𝜋 𝒚 = 𝟏𝟐 𝟑𝟖𝟒[𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝒕 − 𝟏 𝟐𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎𝒕] + 𝟑 𝟑𝟖𝟒 𝒖 (𝒕 − 𝟑 𝟖 𝝅) [𝐜𝐨𝐬 𝟒 (𝒕 − 𝟑 𝟖 𝝅) − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟎 (𝒕 − 𝟑 𝟖 𝝅)]