Aula 16 - Recorrência Prob Mat Discreta 2021 2

Aula 16 Recorrˆencia Probabilidade MAT13700 Matematica Discreta Ricardo Recorrˆencias lineares de 2a ordem Teorema Seja r1 r2 r a unica solucao da equacao caracterıstica da recorrˆencia xn p xn1 q xn2 Entao todas as solucoes da recorrˆencia sao da forma yn α β n p2n para α e β constantes Exemplo xn 4xn1 4xn2 x0 1 x1 0 Ym 2m1 m Recorrˆencias lineares de 2a ordem Teorema Sejam an uma solucao particular da recorrˆencia xn p xn1 q xn2 f n e yn a solucao geral da recorrˆencia homogˆenea associada xn p xn1 q xn2 Entao todas as solucoes da recorrˆencia nao homogˆenea sao da forma yn an Exemplo xn 6xn1 8xn2 n 3n Recorrências lineares de 2a ordem Espaco amostral Jogar uma moeda Ca cara Co coroa Jogar um dado 1 2 3 4 5 6 Jogar duas moedas Ca Ca Ca Co Co Ca Co Co Espaco amostral Vamos chamar de espaco amostral o conjunto finito ou enumeravel de todos os resultados possıveis de um experimento Em geral vamos usar S para o espaco amostral Os subconjuntos de S sao chamados de eventos Jogar uma moeda S Ca cara Co coroa Eventos Ca Co S Jogar um dado 1 2 3 4 5 6 Sao 26 64 eventos Espaco amostral Jogar duas moedas Ca Ca Ca Co Co Ca Co Co Sao 24 16 eventos Espaco amostral Sejam A e B eventos de um espaco amostral S A B A B A B Ac Funcao probabilidade Dado um espaco amostral S Uma probabilidade e uma funcao entre os eventos o conjunto das partes de S e o intervalo 0 1 satisfazendo 1 Para todo evento A 0 PA 1 2 PS 1 3 Se A e B sao eventos excludentes disjuntos A B entao PA B PA PB Um espaco amostral S com uma probabilidade P e chamado de um espaco de probabilidade P 0 PS 1 P 0 3A3 3B3 Funcao probabilidade Dois modelos comuns 1 Equiprobabilıstico se o espaco amostral tem tamanho n cada evento unitario tem probabilidade 1n PA A n 2 Frequencial repetimos a experiˆencia um numero grande n de vezes e f e o numero de vezes que o evento A ocorreu PA f n Funcao probabilidade Exemplo Dois dados honestos sao jogados Qual a probabilidade da soma dos dados ser igual a 7 E maior que 7 Funcao probabilidade propriedades Sejam A e B eventos entao 1 PAc 1 PA 2 P 0 3 PA B PA PA B 4 PA B PA PB PA B 5 Se B A entao PB PA Funcao probabilidade propriedades Funcao probabilidade propriedades Valor esperado O valor esperado de um resultado aleatorio e a media ponderada dos seus possıveis valores na qual os pesos sao as probabilidades de cada resultado De outra forma se x1 xn sao os possıveis resultados com probabilidade p1 pn seu valor esperado e Exemplo No jogo do bicho podese escolher um de 25 bichos para apostar Se o jogador acertar receber 18 vezes a quantia apostada Qual o ganho esperado de quem apostar 10 reais Valor esperado Probabilidade condicional Exemplo Vamos considerar a experiˆencia de jogar um dado honesto A probabilidadade de sair um numero par e 12 Se depois do dado jogado alguem nos da a informacao que o resultado nao foi 1 qual a probabilidade de ter sido um numero par Probabilidade condicional Referˆencias 1 Matematica Discreta Lovasz Pelikan Vesztergombi 2 Analise Combinatoria e Probabilidade Morgado Pitombeira Carvalho e Fernandez 3 Matematica Comcreta Graham Knuth Patashnik 4 Princıpios de Combinatoria e Probabilidade Tertuliano Franco SBM 2020 5 Matematica Discreta Morgado e Carvalho PROFMAT