Lista de Exercícios de Vibrações Mecânicas-2022 1

Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina de Vibrações Mecânicas Lista de Exercícios de Vibrações Mecânicas 22/03/2022 ---Prof. João M. da Silva Neto 1) Resolva os seguintes exercícios do livro Vibrações mecânicas S. S. Rao - 4 edição (em português), a saber: Pag. 37 – 13, 14, 15, 16. Pag. 39 (Problemas) - 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.17, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.30, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48,1.50, 1.51, 1.52, 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58, 1.59, 1.60, 1.61. 2) Encontre a soma das seguintes funções harmônicas e análise os resultados desenhando as funções separadamente e a soma destas no Matlab, Scilab, Octave, Mathcad, ou outro software que lhe seja conveniente. Avalie se os sinais são periódicos em separados e depois de somados, analise se os mesmos são periódicos ou não são periódicos. Explique os motivos, justifique as respostas. Considere um tempo de 10 segundos. a) 𝑦1 𝑡 = 3. cos 8,5𝑡 𝑒 𝑦2 𝑡 = 1. cos⁡(7,0𝑡) b) 𝑦1 𝑡 = 3. cos 3,0𝑡 𝑒 𝑦2 𝑡 = 1. cos⁡(8,3𝑡) c) 𝑦1 𝑡 = 3. cos 2,0𝑡 𝑒 𝑦2 𝑡 = 1. cos⁡(4,0𝑡) 3) Um movimento harmônico é descrito pela seguinte função, a saber: 𝑥 𝑡 = 𝑋. cos 100𝑡 + 𝛽 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 0 = 0.15 𝑚𝑚 𝑒 𝑥 0 = 50 𝑚𝑚/𝑠. Determine os valores de X e β. 4) Dada a função 𝑓 𝑡 = 400. cos 400𝜋𝑡 + 1,85 + 250. sen(150𝜋𝑡 + 0,46), pergunta-se: a) A função é periódica?; b) Se for, qual a sua freqüência em Hz? 5) Use métodos algébricos e determine a soma das seguintes funções harmônicas: 𝑥1 𝑡 = 2. sen 𝜔𝑡 + 𝜋/3 𝑒 𝑥2 𝑡 = 3. sen 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 . Expresse o resultado na forma 𝑥 𝑡 = 𝑋. cos⁡(𝜔𝑡 + 𝛽), avalie o resultado graficamente utilizando um dos programas supracitados, ou o que desejar. 6) Dois movimentos harmônicos são descritos pelas equações, a saber: 𝑥1 𝑡 = 𝑋. cos 𝜔𝑡 𝑒 𝑥2 𝑡 = (𝑋 + 𝛿). cos (𝜔 + 𝜀)𝑡 , sendo 𝛿 ≪ 𝑋 𝑒 𝜀 ≪ 𝜔. Determine a soma das duas funções harmônicas. Se o batimento ocorre, escreva a equação referente ao batimento com sua amplitude e a frequência de batimento. 7) Escreva os números complexos abaixo, na forma polar e retangular. a) 3 + 4i; b) -4 + 3i; c) (6 + 6i) / (5 +7i); d) (6 – 6i).(4 + 7i); e) 2 + 𝑖. 2; f)− 3 3 2 + 3 2 ; g) 0,521 − 𝑖. 2,954. 8) Mostre que se 𝑧 = 𝜌. cos 𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑧𝑛 = 𝜌𝑛. cos 𝑛𝜃 + 𝑖.𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃. 9) Se 𝑥 𝑡 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 𝑡 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 + 𝜋 4 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 , determine: a) 𝑥 𝑡 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑 ; b) 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑧 𝑡 𝑠𝑒 𝑥 𝑡 = ℜ 𝑧(𝑡) . 10) Se 𝑥 𝑡 = 5. cos 𝜔𝑡 + 5. cos 𝜔𝑡 + 2𝜋/3 + 5. cos 𝜔𝑡 − 2𝜋/3 , simplifique 𝑥 𝑡 para a forma padrão 𝑥 𝑡 = 𝐴. cos 𝜔𝑡 + 𝜑 . 11) Se 𝑓 𝑡 é periódica em 𝑇 𝑒 𝜔 = 2𝜋 𝑇 , mostre que ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 . cos⁡(𝑚𝜔𝑡), é também periódica em 𝑇, 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑚 𝜖 ℤ. 12) Mostre a equivalência entre as expressões abaixo, a saber: 𝑓 𝑡 = 𝐴 𝜔 . cos 𝜔𝑡 + 𝐵 𝜔 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑃 𝜔 . cos 𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔) 𝑓 𝑡 = 𝑃 𝜔 . sen 𝜔𝑡 + 𝜓(𝜔) 13) Uma vibração harmônica é dada pela expressão 𝑥 𝑡 = 𝑋. cos 200𝑡 + 𝜑 , medida em mm. Se suas condições iniciais são 𝑥 0 = 36 𝜇𝑚 𝑒 𝑥 0 = 0,6 𝑚𝑚/𝑠. a) Determine 𝑋 𝑒 𝜑; b) Expresse na forma 𝑥 𝑡 = 𝐴. cos 𝜔𝑡 + 𝐵. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡), ou seja determine A e B. c) Determine a velocidade 𝑥 𝑡 em mm/s e a aceleração 𝑥 (𝑡) em m/s2, formas 𝑥 𝑡 = 𝑋 . 𝑠𝑒𝑛 200𝑡 + 𝜑 𝑒 𝑥 𝑡 = 𝑋 . cos 200𝑡 + 𝜑 . 14) Uma mesa tem movimento harmônico vertical com frequência constante. Qual o maior valor da amplitude que a mesa pode ter para que um objeto de massa m sobre ela permaneça em contato. Considere que o movimento harmônico da mesa é dado pela equação 𝑥 𝑡 = 𝑋. cos 𝜔𝑡 + 𝜑 . 15) Considere o exercício acima, e que o sentido de vibração não é mais sentido vertical e sim horizontal. Determine o maior valor da amplitude para que o objeto não deslize sobre a mesa. Considere que o coeficiente de atrito estático entre a mesa e objeto é 𝜇𝑒. 16) Determine a série de Fourier para cada uma da seguintes funções abaixo, e considere para todos os casos 𝜔 = 1. a) b) mesa objeto x(t) mesa objeto x(t) c) d) e) 17) Refaça todos os itens da questão (16) considerando a forma harmônica da série de Fourier 𝑓 𝑡 ≅ 𝐶0 + 𝐶𝑛. cos 𝑛𝜔0𝑡 − 𝜃𝑛 ∞ 𝑛=1 , ou seja, compute os valores para 𝐶0, 𝐶𝑛 𝑒 𝜃𝑛. Considere as amplitudes A=1. 18) Refaça todos os itens da questão (16) considerando a forma exponencial complexa da série de Fourier 𝑓 𝑡 ≅ (𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡) ∞ 𝑛=−∞