Trabalho 1 de Vibrações Mecânicas Resolvido-2023 1

Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina de Vibrações Mecânicas Trabalho de Vibrações Mecânicas N1 - Entrega dia 29/06/2023 Exercício-1 (40 pontos) Seja um sistema de um grau de liberdade conforme a figura abaixo e considere o forçamento (a força excitadora) do sistema na forma 𝑓 𝑡 = 𝐹0𝑒𝑖𝜔𝑡 , onde 𝐹0 = 500𝑁. Sabe- se que os parâmetros do sistema, tais como: rigidez, amortecimento e massa são respectivamente, 𝑘 = 8000 𝑁 𝑚 , 𝑐 = 950 𝑁. 𝑠 𝑚 𝑒 𝑚 = 250 𝑘𝑔, determine: (a) a resposta do sistema homogêneo, ou seja, sem o forçamento; (b) a resposta particular do sistema em questão, ou seja, 𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑒𝑖𝜔𝑡 na forma cossenoidal (parte real de 𝑥𝑝 𝑡 ) e na forma senoidal (parte imaginária de 𝑥𝑝 𝑡 ); (c) a resposta total do sistema, resposta homogênea mais a resposta particular (considere homogênea + cossenoidal e depois a homogênea + a senoidal); (d) a resposta particular na forma de cosseno e na forma de seno se a amplitude da excitação (o forçamento) for considerada na forma complexa, ou seja, 𝐹0 = (500 + 50𝑖) 𝑁; (e) Compare as alternativas (b) e (d) e realize comentários. Considere 𝑥 0 = 0 𝑒 𝑥 0 = 0,05 m/s. Apresente as respostas em gráficos adequadamente com legendas mesmo que a mão e realize comentários acerca do observado. Considere 𝑖 = −1. Exercício-2 (40 pontos) O sistema abaixo representa uma suspensão de um veículo de passeio, muito utilizada por automóveis nos dias de hoje. Na figura (a) é o modelo físico real desse tipo de suspensão MacPherson, conhecida pelo nome do seu desenvolvedor (Earle S. MacPherson) e muito utilizada parte dianteira dos mesmos. A figura (b) apresenta o modelo físico equivalente da mesma suspensão na forma de um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade. Se considerarmos que a o sistema em questão, com rigidez e o amortecimento têm os seguintes valores, a saber: 𝑘 = 35264 𝑁 𝑚 , 𝑐 = 314,3 𝑁. 𝑠/𝑚, respectivamente e a massa do sistema é igual a 𝑚 = 𝑚𝑣/4. Onde 𝑚𝑣 é a massa do veículo e pode ser considerada, aproximadamente, igual a 𝑚𝑣 = 1200 𝑘𝑔. Tendo por base os parâmetros apresentados e os que estão descritos a seguir, Determine: (i) a função transmissibilidade do sistema em função dos parâmetros equivalentes apresentados no modelo físico equivalente. (ii) a resposta temporal da massa no regime estacionário 𝑥𝑝(𝑡) devido a uma excitação do tipo 𝑦 𝑡 = 0,05𝑠𝑒𝑛 15𝜋𝑡 , considerando os seguintes valores de rigidez 𝑘 = 25264, 30264, 35264 em N/m, descreva qual a pior condição e o que poderia ser feito para melhorá-lo. (iii) compare a transmissibilidade original, com outras onde ouve um aumento de 40% na constante de amortecimento viscoso equivalente, e uma diminuição de 40% do mesmo. Apresente os gráficos adequadamente, realize comentários acerca do observado. Considere a seguinte relação entre os parâmetros equivalentes e os parâmetros reais da suspensão, a saber: 𝑘𝑒 = 𝑘 𝑎 𝑏 cos 𝛼 2 e 𝑐𝑒 = 𝑐 𝑎 𝑏 cos 𝛼 2 . Considere ainda a = 190 mm, b = 320 mm e α = 27°. Exercício-3 (20 pontos) Determine nos dois sistemas abaixo, com um grau de liberdade, a frequência natural, o fator de amortecimento e a frequência natural amortecida de um automóvel e de um toca discos estéreo. Encontre as respostas homogêneas, a função resposta em frequência (FRF) obtida no domínio da frequência, de cada um dos sistemas. Compare as duas respostas obtidas no domínio do tempo e no domínio da frequência por meio de gráficos. Realize comentários acerca das observações constatadas. Considere as seguintes condições iniciais, 𝑥 0 = 0 𝑒 𝑥 0 = 0,01 m/s. 1) a) Para calcular a resposta do sistema homogêneo, temos a aplicação da lei de Newton. mx'' + cx' + kx = 0 (1) Admitindo a solução na forma: X(t) = Ce^(st) Realizando os derivados temos: X' = Cs e^(st) X'' = s^2 Ce^(st) Substituindo na equação 1: ms^2 Ce^(st) + cs e^(st) + kCe^(st) = 0 Ce^(st) (ms^2 + cs + k) = 0 ms^2 + cs + k = 0 As raízes podem ser calculadas da seguinte forma: s1,2 = (-b ± √Δ) / 2a , onde -> a = m; b = c e c = k Δ = c^2 - 4mK Sabemos que: K = 8000 N/m; C = 950 N.s/m e m = 250 Kg. s1 = (-950 + √(950^2 - 4.250.8000)) / 2 . 250 = -1,9 + 5,3282i s2 = (-950 - √(950^2 - 4.250.8000)) / 2 . 250 = -1,9 - 5,3282i Temos as seguintes condições iniciais: X(0) = 0 e X'(0) = 0,05, aplicando na equação: X(t): c1 e^(at) cos(lw t + v) + c2 e^(at) . Sm(lt + l) X'(t): c1 e^(at) ( a cos(lwt) - lw sin(lwt) ) - l . Sm(lw t + v) Temos que a = -1,9 e l = 5,32821 Substituindo nas equações: 0 = c1 e^(-1,9 . 0) . cos(0) + c2 . e^(-1,9 . 0) . sin(5,3282 . 0) 0,05 = c1 e^(-1,9 . 0) (-1,9 . cos(0) - 5,3282 . LW(lw t)) Resolvendo a equação 3, temos: c1 = 0 Substituindo em (2): Logo podemos resolver na expressão do resposta homogênea: X'(t) = 9,29.10^-3.e^(-1,9t) . sin(5m(5,3282t)) b) A resposta particular do sistema é dado por: X(p)(t) = Xe^(iwt) Sendo a equação de resposta particular: X(p)(t) = F0 / √((K - mw^I)^2 + (cw)^2) . e^(i(wt + v)) Primeiro iremos Fazer a análise de parte real, temos os seguintes dados: m = 250 Kg K = 8000 N/m F0 = 500 N C = 950 N.s/m Temos os seguintes valores: W: 2πF Φ(t) = tg^(-1) ( cw / (K - m W^2) ) -> Φ: tg^(-1) (c / (K - m) W) Substituindo os dados que temos na equação (4), X(p)(t) = 500 / √((8000 - 250.〖2πF〗^2)^2 + (950. 2πF)^2) e^(i(2πF t - tg^(-1) ((950 / (8000 - 250).2πF)))) X(p)(t) = [ 500 / 10^3 √( ( ((8000 - 250) / 64 + 〖2πF〗^2 ( (165470) 〖2πF〗^2 )^2 ) ] e^(i(2πF t - tg^(-1) (950 / 1550.2πF)))) X(p)(t) = e^(i((2πF t - tg^(-1) (950 / 1550.2πF)))) / 2 √( (64 + ενϑ2F^2 ( 165^2 - 79,139) Para plotar os gráficos real e imaginário, basta fixar um valor para F e incluir um intervalo de variação para t. c) A resposta total do sistema é dado por: X(t): X(h)(t) + X(p)(t) Onde X(h)(t) é a equação obtido no item "A" e X(p)(t) a segunda eq. obtido no item "B". A soma com a respostas real: X(t): 9,29.10^-3.e^(-1,9t) . sm(5,3282t) + [ e^(2nF t - tg^(-1) (950 / 1550.2πF)) / 2 . √(64 + ενϑ2F^2(173 F^2 - 12,391) ) ] Da mesma forma para a parte imaginária: \(X_p(t) : 9,09.10^{-3}.e^{-19t} \frac{ \sin (3,3¥3£2t) + \sin (2\piFt - \frac{2gx}{\sqrt{645T^2}})^{\frac{95}{155401stF}}}{2 (\sqrt{64 47^2f^2} (197x^2 - 2,3j9^1) ) } \) Se F_0 : (500 + 50i), temos a seguinte equação: \(X_p(t) : \frac{500 + 50i}{70} . e \frac{e^(3nπf t - 1gx2^{95}{155401f})}{i^{(512ft))\sqrt{64 47^2f^2 (197x^2 - 10,39)}}} \) \(X_p(t) : \frac{1}{2} + \frac{j}{20} . e \frac{e}{\sqrt{64 47^2f⁴ (197x^2 - 10,39)}} \) l) Problemas que ao inserir a parte de 150i no F_0, não irá causar alteração no comportamento dos gráficos. 2) A Função de Transmissibilidade do sistema é dado por: \[b(λ) =\] \( \h( \boot \spm RSub ) : \frac{e(\frac{4x \theta2}{km (g?) | \cos)+\frac{2}{1-\fact3) ¥ \sqrt{p(32|6562)}}}} \do \Re7 \) \h(n) = \frac{7 + 2,169.10^-3 λ^2}{λ^4 . 1,999.10^-3 λ^7} \) -> Função simplificada. b) Para \(K_1 : 25264\), temos: \(λ_1 = \frac{A}{\sqrt{K_1^2 + c^2 . ω_2^2}} = \frac{0,05}{\sqrt{25264^2 + 314,3^2 . 17541^2}} = 1,314.10^{10} \) A equação é dado por: \(X_p1(t) = A x_1 \sin( ωt - β_1)\) Ax_i é dado por: \(Ax_i = \frac{λ_i. (K + c.ω^2)^{1/3}}{K_1 - (ω_x.m^2 + c.ω^3)^2)^{1/3}} = \frac{9,05}{25264 - 20475,102 = 1,044,10^{-5}} \) Logo: \(β_1 = \tan^{-1} ( \frac{cω}{K_1 - (Mω_1^2)} ) + \tan^{-1} (- \frac{cω}{K_1}\) \( β_1 = \tan^{-1} ( \frac{314,3.75H}{25264 - (300. 15511)} ) - \tan^{-1} ( - \frac{314,3.159〈}{25264} \) -\(β_1 = - 0,553,\text{ rad} \) Logo: \(X_p1(t) = 1,044.10^{-5} \sin(15H t + 0,533)\) Para \(K_2 : 30264,\text{ temos}: \(λ_2 = 1,553.10^{-6} \) Ax_2 = \(1,512.10^{-6} \) -β_2 = -0,1498 Logo: \(X_p2(t) = 5,12.10^{-6} \sin(15H t + 0,418)\) Para \(K=352641\), temos: \(Ax_3 = 3,338.10^{-6}\) -β = 0,143 Logo: \(X_p3(t) = 3,338.10^{-6} \sin(15H t + 0,441)\) A pior condição é para \(K_3\). C) Se houver uma redução de 40%, temos: \(C = 0,6. 314,3\) Da equação de transmissibilidade: \(h(λ) = 1 + 9,9.10^{-3} λ^2^Σ \frac{1}{λ^4 . 1,999 . 10^-7}\) Se houver um aumento: \(C= 1,4. 314,3\) \(h(λ) = 7 + 512 . 10^{-3} λ^2 \frac{1}{λ^4 . 1,999. 10^-7}\) 3) A primeira parte de um quesito, já está muito bem detalhada, insira apenas traduzido o código. OBSERVAÇÃO!!! O gráfico gerado em 3.2.2.1, dado pela seguinte expressão: X(t) = 5,103.10^-4 . e^-4.t . 5m (19,5989t) Todos estes valores estão detalhados no arquivo, com o que eles foram obtidos. Já os gráficos em 3.3.1, são obtidos da seguinte forma: λ = 1/m Wm^2 + 3.W. Wm. 4000 . s √Km Onde basta substituir os valores para o tempo e o diâmetro na equação para obter as curvas.