Notas de Aula parte 6 1

Se $B$ é a matriz $(b_{ij})_{n \times n}$ de iguaisdades em \text{nas dos:} B \cdot A = In, \text{ou seja, } A \text{é inversível}. \square \text{VERIFIQUE!} Vale a recíproca do corolário 50? SIM! Prove e use a verdade! Vale a equivalência trocando "linha" por "coluna". Teorema 51 (dimensões da soma de subespaços): Sejam $W_1$ e $W_2$ subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita $V$. Então $W_1 + W_2$ é de dimensão finita e \begin{align*} \dim(W_1 + W_2) &= \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2). \end{align*} \underline{Prova:} Sabemos que $\dim W_1/W_2$ é de dimensão finita, seja $\{u_1, \ldots, u_k\}$ uma base desse subespaço. Pelo teorema 47, podemos completar esse conjunto de modo a obter bases para $W_1$ e $W_2$: \{$u_1, \ldots, u_k, u_1, \ldots, u_m\}$ de $W_1$ e \{$u_1, \ldots, u_k, u_1, \ldots, u_n\}$ de $W_2$. Temos $W_1 + W_2 = [W_1 \cup W_2] = [u_1, \ldots, u_k, u_m, u_1, \ldots, u_n]$. \underline{Afirmação:} $\{u_1, \ldots, u_k, u_m, u_1, \ldots, u_n\}$ é L. I. De fato, suporemos que $ a u_1 + \cdots + b u_1 + c u_1 + \cdots + c u_1 + \cdots = 0. \quad (\heartsuit)$ Então $\sum_{i=1}^{k} a_i u_i + \sum_{j=1}^{m} b_j u_j = -\sum_{j=1}^{n} c_j u_j \.in W_1 \cap W_2$ $\quad \in W_2$. \therefore \text{existem } d_{i_1}, \cdots, d_k \in K \text{tais que}$ $-\sum_{j=1}^{n} c_j u_j = d_{i_1}u_1 + \cdots + d_ku_k \implies$ $ a_1 = \cdots = b_m = 0, \text{ o que prova a linearidade }.$ \therefore \text{concluímos que } \dim(W_1 + W_2) = k + m + n$. Por outro lado, $\dim W_1 + \dim W_2 = (k+m) + (k+n) = (k+m+n) + k =$ $ = \dim(W_1 + W_2) + \dim(W_1 \cap W_2).$ \square Exemplo 52: Em $\mathbb{R}^3$ considere os subespaços $W_1$ $=\{(x,y,z); x + y - z = 0\}$ e $W_2 = \{(x,y,z); x = y\}$. Determine as bases e dimensões de $W_1$, $W_2$ e $W_1 \cap W_2$. Dado $(x,y,z) \in W_1$, tem-se $z=x+y$, portanto $(x,y,z) = (x,y,x+y) = (x,0,x)+(0,y,y)=x(1,0,1)+y(0,1,1),$ logo $W_1=[(1,0,1)(0,1,1)]$. Como $ (1,0,1), (0,1,1) $ $L.I., $ $\dim W_1=2. Dado $(x,y,z) \in W_2$, tem-se $x=y$, portanto $(x,y,z)=(x,x,z)=x(1,1,0)+(0,0,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1),$ logo $W_2=[(1,1,0)(0,0,1)].$ Sendo $(1,1,0)(0,0,1)L.I.,\dim W_2=2.$ Temos $W_1 + W_2 =$ $=[(1,0,1)(0,1,1)(1,1,0)(0,0,1)].$ \underline{Afirmação:} $\mathbb{R}^3=W_1+W_2$. De fato, sempre temos $W_1 + W_2 \subseteq \mathbb{R}^3$. Para a inclusão oposta, seja $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Então $(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)=$ $=(a+c,b+c,a+b+d)$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Leftarrow \begin{cases} a+c=x\quad\text{passar} b+c=y\quad\text{solução} a+b+d=z \end{cases} Transformações Lineares \underline{Definição 53:} Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre um corpo $K$. Uma \textit{transformação linear de } $V$ \textit{em } $W$ \textit{ é uma função } \textit{T:} V \longrightarrow W \textit{ que satisfaz: } \begin{enumerate} \item $T(u+v)=T(u)+T(v) \quad \forall u,v \in V; $ \item $T(\lambda v)=\lambda T(v) \quad \forall v \in V \text{ e } \lambda \in K. $ \end{enumerate} \underline{Observações 54:} I Verificar \text{(1)} \text{e (2) na definições 53 é equivalente a verificar as seguintes condições:} $$T(\lambda u + v) = \lambda T(u) + T(v) \quad \forall u,v \in V \text{ e } \lambda \in K. $$ \begin{itemize} \item[$\diamondsuit$] Se \text{T:} V \longrightarrow W \text{ é uma transformação linear então }\text{T(0) = 0}. De fato, temos $$ T(0)= T(0) - T(0) = T(0) + (-1)T(0) =$\ \quad = $T(0-0)=T(0-0)=T(0) : T(0)=0 $$ \end{itemize} Portanto, se T é uma função com $T(0) \ eq 0$ já saberemos que esta $T$ \text{não é uma transformação linear.} Por exemplo: $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ \quad $(x,y) \mapsto (x,y,x+y+3)$ \text{não linear} \diamondsuit Com as operações usuais, o conjunto $L(V,W) = \{\text{transformações lineares de } V \text{ em } W\}$ é um espaço vetorial sobre K. \underline{Nota:} Quando $W=V$, \text{T:} V \longrightarrow V \text{ é chamado} um operador de V. Quando W=K, T:V->K e chamado funcional linear de V. Exemplo 55: Sao transformacoes lineares: a) T: R -> R, onde c∈R fixado. x |-> c.x b) T: R^2 -> R (x,y) |-> x+y c) T: R^3 -> R (x,y,z) |-> (x-y, y-z) De fato, dados (x1,y1,z1),(x2,y2,z2) ∈ R^3 e λ∈R, T(λ.(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = T( λx1+x2, λy1+y2, λz1+z2 ) = = ( λx1+x2 - (λy1+y2), (λy1+y2) - (λz1+z2) ) = = λ.(x1-y1, y1-z1) + (x2-y2, y2-z2) = = λ.T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2) d) O: V -> W σ |-> σ e) Iv : V -> V σ |-> σ f) D: K[x] -> K[x] (operador derivacao) a0+a1x+...+anx^n |-> a1+2a2x+...+n.anx^(n-1) g) T: C(R) -> C^(0)(R) (operador integracao) f |-> (Tf)(x) = ∫_{0}^{x}f(t)dt Pelas propriedades vistas em Calculo, D e T sao lineares. h) Dada uma matriz A m×n em K, definimos LA : M_{n×l}(K) -> M_{m×l}(K) X |-> LA(X) = A.X i) Dadas matrizes P m×m e Q n×n, definimos T: M_{m×n}(K) -> M_{m×n}(K) A |-> T(A) = P.A.Q Transformações de R^2 em R^2 (interpretações geométricas) j) Dilações (ou expressoes) e contraçoes: dado α∈R fixado consideremos T: R^2 -> R^2 ( v |-> α.v ) k) Refleções em torno do eixo Ox: T: R^2 -> R^2 (x,y) |-> (x,-y) ou podemos ver como T: M_{2x1}(R) -> M_{2x1}(R) (x\y) |-> (1 0\0 -1)(x\y) Quais sao expressoes das refleções em torno do eixo Oy e em torno da origem? l) Rotações de um ângulo θ (no sentido anti-horário): Rθ: R^2 -> R^2 (x,y) |-> (x',y') Queremos x' e y' em termos de x, y e θ. x' = r.cosθ y' = r.senθ Então, x' = r.cos(x+θ) = r.(cos(x).cosθ - sen(x).senθ) = = (r.cosx).cosθ - (r.senx).senθ = x.cosθ - y.senθ e y' = r.sen(x+θ) = r.(senx.cosθ + senθ.cosθ) = = (r.senx).cosθ + (r.cosx).senθ = x.senθ + y.cosθ portanto Rθ: R^2 -> R^2 (x,y) |-> (x.cosθ - y.senθ , x.senθ + y.cosθ) ou ainda Rθ: M_{2x1}(R) -> M_{2x1}(R) (x\y) |-> (cosθ -senθ\senθ cosθ)(x\y) m) Projeção ortogonal sobre uma reta (passando pela origem): Consideramos a reta y=ax (a∈R fixado) e P: R^2 -> R^2 v=(x,y) |-> Pv=(x',ax') cuja extremidade é o pé da perpendicular baixada de v sobre y=ax Qual a expressao de x' em termos de x, y e a? Pelo teorema de Pitágoras, d((x',y'),0)^2 = d((v,0))^2 + d((v, P0'))^2 <-> x'^2 + a^2.x'^2 = (x1^2 + a^2.x1^2) + (x1-x')^2 + (ax'-y)^2 = = x1^2 + a^2.x1^2 + x1^2 - 2xx' + x'^2 + a^2.x'^2 - 2ax'y + y^2 => 0 = 2x'.((1+a^2)x' - (x+ay)) => x' = 0 ou x' = x+ay/1+a^2 = 1/1+a^2 x + a/1+a^2 y Logo n) Refletição em torno da reta y=ax. Seja S: R^2 -> R^2 a reflexão em torno de y=ax. Para toda v = (x,y) ∈ R^2, a reta y=ax é a bissetriz do ângulo entre v e S(v), e é perpendicular á reta que liga v a S(v). Se P: R^2 -> R^2 é a projeção ortogonal sobre a reta y=ax (exemplo anterior), pela figura acima S+S=2. Por, se seja I+S=2P, portanto S=2P-I, logo S(x,y) = 2.P(x,y) - I(x,y) = = 2 (x+ay/1+a^2, ax+a^2y/1+a^2) - (x,y) = = (2x+2ay-x, 2ax+a^2y-y)/1+a^2 = = (2ax+2ay-x - a^2x, 2ax+2ay-y - a^2x)/1+a^2 = = (1-a^2 x + 2a/1+a^2, 2a/1+a^2 x - 1-a^2/1+a^2 y)