Slide - Vibrações - 2024-1

VIBRAÇÕES MECÂNICAS Vibrações UFRJ – Escola Politécnica Prof. Dr.-Ing. Fernando Castro Pinto Laboratório de Acústica & Vibrações 1 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 2 Conceituação Modelagem Medição e quantificação Sistemas mais complexos Controle e isolamento Sistemas com 1 grau de liberdade Vibração livre Vibração Forçada Vibração não-amortecida Vibração amortecida Sistemas com vários graus de liberdade Sensores e sistemas de aquisição de dados VIBRAÇÕES MECÂNICAS 3 Bibliografia Ripper Neto, A.P.: Vibrações Mecânicas, Ed.: E-Papers, 2007 Savi, M.A.; Paula, A.S.: Vibrações Mecânicas, Ed.: LTC, 2017 Kurka, P.R.G.: Vibrações de Sistemas Dinânicos – Análise e Síntese, Ed.: Elsevier, 2015 Meirovitch, L.: Elements of Vibration Analysis, Ed.: McGraw-Hill, 1975 Qualquer outro bom livro de Vibrações…... VIBRAÇÕES MECÂNICAS Vibração é a variação de aceleração das partículas de um corpo A variação pode ser causada por forças externas ou pela transformação de energia potencial e cinética dentro do corpo Estas variações podem se dar de diversas formas:  Longitudinais  Flexão  Cizalhamento  Torção Transmissão de energia e não de matéria – Ondas. Superposição de efeitos – Vibrações Lineares. Efeitos de vibração podem ser transmitidos para o ar gerando ondas acústicas. Pneu - 80km/h Piso 4 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Energia Potencial Mola Deslocamento Energia Cinética Massa Velocidade Rigidez da própria peça ou dos suportes atuando como mola Massa da peça ou conjunto influindo na energia cinética. Troca (transformação) de energia potencial em cinética, ou seja de deslocamento ou deformação em velocidade de vibração E p=1 2 K x 2 Ec= 1 2 M v 2 5 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Frequência: taxa temporal de ocorrência das variações de deslocamento, velocidade ou aceleração Amplitude: magnitude da variação Fase: Relação de posição entre diferentes partículas vibrando Velocidade de propagação: velocidade com que a energia é transmitida através do meio Grande analogia com fenômenos acústicos Dissipação de energia no interior do material ou nas fixações Não-Linearidades devidas a:  Material  Deformação  Geometria 6 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Sistema vibratório mais simples Modelo para o estudo e entendimento de diversos processos e efeitos Rigidez concentrada Massa concentrada Equação de Movimento da massa: M ¨x+ C ˙x+ K x=F 7 E se fosse um pêndulo? Coordenadas generalizadas! Inércias generalizadas Rigidezas generalizadas VIBRAÇÕES MECÂNICAS 8 M L2 ¨θ=−M g Lsin(θ)−C L ˙θ+T ext M L2 ¨θ+M g Lsin (θ)+C L ˙θ=T ext ¨θ+ C ML ˙θ+ g L sin (θ)=0 Pêndulo θ ¨x+ C M ˙x+ K M x= F M sin (θ)≈θ Linearizando Mesma estrutura da equação diferencial VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x+ C ˙x+ K x= f x(t)=X e jwt f (t)=F e jwt j=√−1 X e F números complexos Amplitude e fase Parte real é que interessa.... ˙x(t)= jw X e jwt= jw x(t) ¨x(t)=−w 2 X e jwt=−w 2 x(t) cos(wt+ ϕ)=cos(ϕ)cos(wt)−sen(ϕ)sen(wt) Ae jθ=Acos(θ)+ j A sen(θ) 9 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 10 10 x(t)= X e jwt x(t)=( X r+ j X i)(cos(ω t)+ j sin(ωt )) x(t)=( X r cos(ωt)− X isin(ωt))+ j( X icos(ωt)+ X r sin(ω t)) x(t)=|( X )|e j ϕe jwt x(t)=|( X )|e j (wt +ϕ) |( X )|=√ X r 2+ X i 2 ϕ=atan( X i X r ) Parte real é que interessa.... VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x+ C ˙x+ K x= f M (−w 2 X e jwt)+ C ( jw X e jwt)+ K ( X e jwt)=F e jwt (−w 2M + jw C+ K) X e jwt=F e jwt Frequências de excitação e resposta têm que ser iguais Vibrações livres F=0 (−w 2M + jw C+ K) X e jwt=0 11 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 12 y(t)= a0 2 +∑n=1 ∞ (an cos(2π n f 0t)+bnsin(2π n f 0t)) a n= 2 T 0∫−T 0/2 T 0/2 y(t)cos(2π n f 0 t)dt ⇒n=0,1,2 ,... bn= 2 T 0∫−T 0/2 T 0/2 y(t)sin(2π n f 0t)dt ⇒n=1,2,3 ,... Série de Fourier Transformada inversa Forma discreta da integral de Fourier Não há perda de informação exceto pela discretização Função y(t) é periódica! VIBRAÇÕES MECÂNICAS 13 Funções periódicas Funções não periódicas VIBRAÇÕES MECÂNICAS (−w 2M + jw C+ K)=0 w1= jC 2M + √−C 2+ 4MK 2M w2= jC 2M−√−C 2+ 4MK 2M Vibração SEM amortecimento ….... C=0 w1=+ √4MK 2M w2=−√4MK 2M x(t)=X e ± jwnt wn=±√ K M Frequência natural X = ???? Vibração aparece quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio 14 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Vibração COM amortecimento (−w 2+ jw 2 wn ζ+ wn 2)=0 w1,2=( j ζ±√1−ζ 2)wn x(t)=X e j( j ζ±√1−ζ 2)wnt x(t)=X e −ζwnt e ± j(√1−ζ 2)wnt Amplitude variável com o tempo Decaimento exponencial C M =2 ζw n=2 ζ √K /M ζ=C 2 1 M √ M K = C √4MK= C C c Depende de C 15 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 0⩽ζ< 1 ζ=1 1< ζ x(t)=X e −ζwnt e ± j(√1−ζ 2)wnt Oscilação com frequência modificada Amplitude variável com o tempo decaindo exponencialmente x(t)=X a e −wnt+ X bt e −wnt Não oscila Amortecimento crítico x(t)=X e −ζwnt e ±(√ζ 2−1)wnt Não oscila Amortecimento supercrítico Como determinar o amortecimento? wd=(√1−ζ 2)w n 16 Rápido retorno ao equilíbrio Retorno mais lento VIBRAÇÕES MECÂNICAS x(t)=X e −ζw nte ± j(√1−ζ 2)w nt x(t+ Δ t)= X e −ζwn(t+ Δ t)e ± j(√1−ζ 2)wn(t+ Δ t) x(t) x(t+ Δ t)= X e −ζ wn t X e −ζwn(t+ Δ t)=e + ζwn(t+ Δ t)−ζ wn(t)=e ζ wn Δ t δ=ln x(t) x (t+ Δ t)=ζwn Δ t Δ t=2 π w d = 2 π w n√1−ζ 2 ζ= δ √δ 2+ 4 π 2 δ=1 n ln x(t) x(t+ n Δ t) 17 ζ= δ 2 π VIBRAÇÕES MECÂNICAS Vibração Forçada (−w 2 M + jwC+ K ) X e jwt=F e jwt Frequências de excitação e resposta têm que ser iguais X e jwt F e jwt = 1 (−w 2 M + jw C+ K) X F = 1 M (−w 2+ jw 2 ζ w n+wn 2) Função Resposta em Frequência Frequency Response Function FRF(w) 18 Unidades? VIBRAÇÕES MECÂNICAS X e jwt F e jwt = 1 (−w 2 M + jw C+ K) 19 Admitância ˙X F = j w (−w2M + jwC+K ) Mobilidade ¨X F = −w 2 (−w 2M + jwC+ K ) Inertância F X =(−w2 M + jwC +K) Rigidez Dinâmica F ˙X = j(w2 M − jw C−K ) w Impedância VIBRAÇÕES MECÂNICAS 0,1 0,2 0,3 0,4 0,8 ζ w/wn |FRF|K Grandes amplitudes com pouca energia 20 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 10 2,0 1,0 0,4 0,8 ζ w/wn |FRF|K Ressonância acontece quando a força excita o sistema em sua freqüência natural 21 VIBRAÇÕES MECÂNICAS w/wn fase(FRF) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,8 ζ 22 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Atrito viscoso Decaimento logarítmico Atrito Seco Decaimento linear =xt i−xt i1=4 F atrito k δ=ln x(t ) x(t+ Δ)= 2πζ √1−ζ 2 DEFLEXÃO ESTÁTICA K x=F estatica → x= Festatica K w n=√ K M → K =w n 2M F estatica=Peso=M g x= M g wn 2 M wn=√ g x 23 VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x(t)+ C ˙x(t)+ K x(t)= f (t) M ¨x+ C ˙x+ K x=0 Vibração forçada f(t)= fexcit(t)+0 Equação homogênea f(t)=0 Solução Geral Solução forçada + Solução homogênea ¨x(t)+ 2ζ wn ˙x(t)+ wn 2 x(t )=0 ζ= C 2 M wn Fator de Amortecimento Viscoso w n=√ K M Freqüência Natural 24 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Unidades Lineares mm, m/s, m/s 2 , g Unidades Logaritmicas decibel Referências: - Força = 10 -6 N - Velocidade = 10 -9 m/s - Aceleração= 10 -6 m/s2 Usualmente se expressam os valores medidos de vibração diretamente nas unidades lineares V=20logmed ref  Podem ser arbitrárias Precisam ser informadas 25 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Análise no Domínio do Tempo: Derivação dos sinais Desloc Velocidade Aceleração Integração dos sinais Influência de Diversos Fatores:  Massa do sensor  Posição do sensor  Fixação Análise no Domínio da Freqüência:  1/1 Oitava, 1/3 Oitava, 1/12 Oitava  FFT Desloc Velocidade Aceleração 26 d, v, a VIBRAÇÕES MECÂNICAS 27 Função Harmônica Média ¯s(t)=lim Δ→∞( 1 Δ∫t−Δ t s(t )dt)→0 Média RMS Valor eficaz ¯s RMS (t )=lim Δ→∞√( 1 Δ∫t−Δ t s(t)2dt) Energia VIBRAÇÕES MECÂNICAS Acelerômetro 28 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Acelerômetro Condicionamento de sinal ICP Cabeamento Fixação Sensibilidade típica 10 a 100 mV/g 29 VIBRAÇÕES MECÂNICAS y(t) x(t) Acelerômetro 30 M ¨x(t)+C ( ˙x(t)− ˙y(t))+ K (x(t)− y(t))=0 z (t)=( x(t)−y (t)) ˙z (t)=( ˙x(t)− ˙y (t)) ¨x(t)=( ¨z (t)+ ¨y (t)) −w 2 M (Z +Y )+ j w C Z +K Z =0 y(t)=Y e jwt x(t)= X e jwt C=ζC c= ζ √4 K M Z=( w 2 M (−w 2 M +2 jw ζ√KM +K ))Y Z=( M (−w 2 M +2 jw ζ√KM +K )) ¨Y Z=( 1 −1+2 j ζ( wn w )+( wn 2 w 2 )) Y Z=( 1 −w 2+2 j ζ w wn+wn 2) ¨Y VIBRAÇÕES MECÂNICAS y(t) x(t) Acelerômetro 31 Z=( 1 −1+2 j ζ( wn w )+( wn 2 w 2 )) Y Z=( 1 −w 2+2 j ζ w wn+wn 2) ¨Y lim w→0 Z=0 lim w→∞ Z=−Y lim w→0 Z=− M K ¨Y =− 1 wn 2 ¨Y lim w→∞ Z=0 Vibrômetro Frequência natural baixa Frequência natural alta Sensibilidade depende da frequência natural Problemas em baixas frequências devido ao cristal piezoelétrico VIBRAÇÕES MECÂNICAS 32 Z=( 1 −1+2 j ζ( wn w )+( wn 2 w 2 )) Y ζ=0.1 ζ=0.3 ζ=0.7 ζ=1.0 w/wn w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS 33 Z=( 1 −w 2+2 j ζ w wn+wn 2) ¨Y ζ=0.1 ζ=0.3 ζ=0.7 ζ=1.0 Log Log Log w/wn w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS 34 Vibrômetro a Laser Wikipedia Acelerômetro MEMS VIBRAÇÕES MECÂNICAS 0,1 0,2 0,3 0,4 0,8 ζ w/wn |FRF| 35 Máximo Q= wn Δ w Faixa de meia potência Metade da potência 70% Amplitude Q fator de qualidade Boa aproximação para Baixo amortecimento Q≈ 1 2ζ √(2) 2 A VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x+ C ˙x+ K x= f ℒ {M ¨x+C ˙x+K x}=ℒ { f } M (s2 X ( s)− ˙x(0)−s x(0))+C(s X (s)−x(0))+K X (s)=F ( s) (M s2+C s+ K ) X ( s)=F ( s)+M ˙x(0)+(C+ M s)x(0) s=σ+ j w (−w2 M + j w C+ K ) X (w)=F (w)+M ˙x(0)+(C+M jw) x(0) Transformada de Laplace Condições iniciais Transformada de Fourier como caso particular se σ=0 VIBRAÇÕES MECÂNICAS m ¨xtc ˙xt k xt=F excitt  m ¨xc ˙xk x=0 Vibração forçada com freqüência constante Equação homogênea Decaimento devido ao amortecimento Transiente F excitt =k Acost  ¨xt 2n ˙xt n 2 xt =n 2 Acost  xt =X cost− X = A [1−/n 2] 22 /n 2 =arctan 2/n 1−/n 2 37 VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x(t)+ c ˙x(t)+ k x(t)= f (t ) FT F = jw C+ K −w 2 M + jwC+ K Transmissibilidade 38 Isolamento da base 0,25 0,50 2,50 1,00 ζ w=√(2) wn f(t) X = F −w 2M + jwC+ K w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS 39 Isolamento da base 0,50 0,25 2,50 1,00 ζ f(t) Baixa frequência forças em fase Absorvedor dinâmico de vibrações 2 graus de liberdade π 2 w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨xtc ˙xt− ˙ytk xt −yt=0 y(t)=Y e jwt X Y =√(1+( 2ζ w wn ) 2 )∣H (w)∣ x(t)= 1+ j 2ζ w/wn 1−(w/ wn) 2+ ( j 2ζw/wn) Y e jwt X F/ K Transmissibilidade 40 Excitação da base 0,25 0,50 2,50 ζ w=√(2) wn y(t) x(t) w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x(t)+ c ˙x(t)+ k x(t)=ml w 2e jw t 41 Amplitude da excitação depende da velocidade de rotação Frequência de excitação é a própria velocidade de rotação 0,5 1,0 ζ Desbalanceamento w/wn VIBRAÇÕES MECÂNICAS M ¨x(t)+ c ˙x(t)+ k x(t)=ml w 2e jw t 42 Desbalanceamento (−w 2 M + j w c+k ) X e jw t=ml w 2e jw t X = 1 (−w 2 M + j w c+k) U w 2=H (w)U w 2 Produto ml é quem define o desbalanceamento Resposta depende das características dos mancais Medição do deslocamento ou da aceleração U w 2e jw t (−w 2 M + j w c+k ) X e jw t=U w 2e jw t Desbalanceamento como amplitude complexa Leva em consideração a posição angular do desbalanceamento como fase VIBRAÇÕES MECÂNICAS 43 Leis de Newton Aplicação a um corpo rígido – Euler Tensor de Inércia Vetor velocidade angular Vetor aceleração angular Construção de derivadas vetoriais em diferentes referenciais! Variações de ângulo não são comutativas Centro de Massa ou Ponto Fixo! ⃗F=m⃗a ⃗ M cm= ̄̄ I cm⋅⃗α+ ⃗ω× ̄̄I cm⋅⃗ω ̄̄I cm=[ I 11 I 12 I 13 I 12 I 21 I 23 I 13 I 23 I 33] Simétrico VIBRAÇÕES MECÂNICAS 44 Equações de movimento Projeção no sistema de eixos fixo ao rotor Ângulos de Cardan Ângulos de Euler outros.... [ I 11α1+ I 12α2+ I 13α3 I 12α1+ I 22α2+ I 23α3 I 13α1+ I 23α2+ I 33α3] +[ (I 13ω1+ I 23ω2+ I 33ω3)ω2 (I 11ω1+ I 12ω2+ I 13ω3)ω3 (I 12ω1+ I 22ω2+ I 23ω3)ω1] −[ (I 12ω1+ I 22ω2+ I 23ω3)ω3 (I 13ω1+ I 23ω2+ I 33ω3)ω1 (I 11ω1+ I 12ω2+ I 13ω3)ω2] =[ M 1 M 2 M 3] VIBRAÇÕES MECÂNICAS 45 [ I 11α1 I 22α2 I 33α3] +[ (I 33−I 22)ω3ω2 ( I 11−I 33)ω1ω3 (I 22−I 11)ω2ω1] =[ M 1 M 2 M 3] Rotor simétrico Tensor diagonal Direções principais de inércia ? Estabilidade VIBRAÇÕES MECÂNICAS 46 Desbalanceamento [ I 111I 122 I 121I 222 I 333 ] [ I 3323 I 11 1I 1223 I 12 1I 22 21] −[ I 121I 2222 I 33 31  I 111I 1222] =[ M 1 M 2 M 3] Estático Dinâmico Esforços nos mancais Forças síncronas Mancais flexíveis? 2≫1 2≫3 ??? Simulação Estático – Forças nos mancais estão em fase Dinâmico – Forças nos mancais estão em oposição de fase Genérico – Forças nos mancais estão em fase diferente de 0 e 180o VIBRAÇÕES MECÂNICAS 47 X o=H (w)U o w 2 Medição original Uo desconhecido Acrescentar massa de teste em posição conhecida (arbitrária) Nova medição X 1=H (w)U 1w 2 U 1=U o+U T Linearidade Para balanceamento X 1=X o+ X T→ X T =X 1− X o X C→Q( X 1− X o)=−X 0→ X 1=0 Q= − X 0 X 1− X o U C=QU T Grandezas complexas Alternativa à representação vetorial Módulo e Fase |(U C)|=|(Q)||(U T)| θC=θT+θQ Complexo VIBRAÇÕES MECÂNICAS 48 Q= − X 0 X 1− X o U C=QU T |(U C)|=|(Q)||(U T)| θC=θT+θQ Desbalanceamento Estático mC lC=|(Q)|mT lT Referência necessária para determinação dos ângulos Trigger Desbalanceamento Estático VIBRAÇÕES MECÂNICAS Processamento de sinais Mesma velocidade de rotação para que H(w) seja mantido entre as medições 49 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 50 Desbalanceamento dinâmico e genérico Generalizando para 2 planos de medição 2 planos de correção X o Ae X o B Medição original em cada plano de medição (mancais) Uo desconhecido Acrescentar massa de teste em posição conhecida (arbitrária) em um plano de correção Nova medição X 1 Ae X 1 B U T 1 Repetir para outro plano de correção X 2 Ae X 2 B U T 2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 51 Sistema de equações para resolver o balanceamento nos 2 planos de correção Q1( X 1 A− X o A)+Q2( X 2 A− X o A)=−X 0 A Q1( X 1 B− X o B)+Q2( X 2 B− X o B)=− X 0 B Efeito da 1a. tentativa Efeito da 2a. tentativa U C 1=Q1U T 1 U C 2=Q2U T 2 Planos diferentes |(U C 1)|=|(Q1)||(U T 1)| θC 1=θT 1+θQ 1 |(U C 2)|=|(Q2)||(U T 2)| θC 2=θT 2+θQ2 Solução pode ser com adição de massa Ou com remoção de massa Composição de correções no mesmo plano como números complexos U =U 1+U 2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 52 Planos de medição Planos de correção Remoção de massa Desbalanceamento residual Incertezas de medição Rotores flexíveis modos de vibração Rotação de trabalho VIBRAÇÕES MECÂNICAS Sistemas vibratórios mais complexos onde rigidezas, massas e amortecimentos não se concentram em um único local. Sistemas reais possuem em geral vários graus de liberdade. Abstração matemática para estudo e entendimento dos fenômenos de vibração Sistemas contínuos Sistemas discretos Modos de Vibração Diversas Freqüências Naturais ADVEA Corp. Australia 53 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Para sistemas com vários graus de liberdade temos várias freqüências naturais possíveis Para as diversas freqüências naturais o sistema vibra de forma (modo) diversa A vibração real do sistema será uma composição (soma) das formas de vibração dos modos Análise Modal Determinação dos modos de vibração em geral mais simples por meio de cálculos do que por meios experimentais 54 54 VIBRAÇÕES MECÂNICAS MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE (2 graus de liberdade) m1 ¨x1(t)+(c1+c3) ˙x1(t )−c3 ˙x2(t)+(k1+k 3) x1(t )−k 3x 2(t)=F 1(t) m2 ¨x 2(t)−c3 ˙x1(t )+(c2+c3)+ ˙x2(t)−k 3 x1(t)+(k 2+k3) x2(t )=F2(t) [m][ ¨x(t)]+[c][ ˙x(t)]+[ k][ x(t)]=[ F ] [m]=[ m1 0 0 m2] [c]=[ c1+c3 −c3 −c3 c2+c3] [k ]=[ k1+k 3 −k3 −k3 k 2+k 3] [ F]=[ F 1(t) F 2(t )] [ x(t )]=[ x1(t) x 2(t)] Formulação Matricial 55 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Formulação matricial independe do número de graus de liberdade! [m][ ¨xt][k ][ xt]=[0] Frequências naturais Movimento Harmônico ¨X =− X [ M ][ ¨X ][k ][ X ]=[0] [ M ] −1[M ][ ¨X ][ M ] −1[k ][ X ]=[0] [ I ][ ¨X ]+[ D][ X ]=[0] [D−λ I ][ X ]=[0] Autovalores Autovetores Frequências Naturais Modos de Vibração 56 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Frequências naturais próximas Ex: Pêndulo duplo com mola posicionada a uma distância d do suporte 1=g / L ω 2=√ (g / L)+ 2 kd 2 mL 2 [ Θ1 Θ2] (1) =[ 1 1] Modos de vibração expressam razões entre coordenadas Condições iniciais necessárias para determinação das amplitudes Superposição dos modos no movimento genérico [ Θ1 Θ2]=C 1[ Θ1 Θ2] (1) cos(ω 1t−ϕ 1)+C 2[ Θ1 Θ2] (2) cos(ω 2t−ϕ 2) 57 [ Θ1 Θ2] (2) =[ 1 −1] Ou considerar as constantes de integração como complexas Fase! VIBRAÇÕES MECÂNICAS Acoplamento devido à mola é fraco Deslocando um dos pêndulos de seu equilíbrio θ 1(t)≈θ 0cos( 1 2 ω bt )cos(ω med t) θ 2(t )≈θ 0sin (1 2 ω bt)sin(ω med t) kd 2≪mgL ω b 2 =ω 2−ω 1 2 =1 2 k m d 2 √gL 3 ω med 2 =ω 2+ω 1 2 =√ g L + 1 2 k m d 2 √gL3 58 Batimento VIBRAÇÕES MECÂNICAS ESCOLHA DAS COORDENADAS [m]=[ m11 m12 m21 m22] [k ]=[ k 11 k12 k 21 k 22] Acoplamento estático Acoplamento dinâmico Através de: [m][ ¨xt][k ][ xt]=[ F] [u] T [m][u][ ¨ t ][u] T [k ][u][t ]=[u] T [F ] [xt]=[u][t ] e [ M ][ ¨t ][K ][t]=[Q] Novas coordenadas Escolha das coordenadas determina o tipo de acoplamento Escolha apropriada elimina o acoplamento [ M ]e[ K] diagonais! [u] matriz modal! ! 59 [m]=[ mm1 0 0 mm2] [k ]=[ km1 0 0 km2] VIBRAÇÕES MECÂNICAS [u] T [m][u]=[ I ]→[u] T [k][u]=diag [w 2] Ao invés de um sistema de múltiplos graus de liberdade temos vários sistemas de um único grau de liberdade, desacoplados! [u]=[{u} 1 {u} 2 ... {u} n] {u}=c1{u} 1c2{u} 2...cn{u} n Toda vibração fisicamente possível pode ser descrita por uma combinação linear dos modos de vibração Matriz Modal [u] T [m][u] [u] T [k ][u] Rigidez generalizada Massa generalizada 60 VIBRAÇÕES MECÂNICAS 61 [M ][ ¨X ]+[k ][ X ]=[ F ] ¨X =−ω e 2 X [−ω e 2[M ]+[ k]][ X ]=[ F ] Frequência de excitação X e F complexos Depende da frequência de excitação [Z ][ X ]=[ F ] [ Z]=[−ω e 2[M ]+[ k]] [Z ]−1[Z ][ X ]=[Z ]−1[ F] [ X ]=[ Z]−1[ F ] Função Resposta em Frequência VIBRAÇÕES MECÂNICAS FLEXIBILIDADE ou RIGIDEZ Coeficientes de inércia mij Coeficientes de influência de rigidez kij Coeficientes de influência de flexibilidade aij Uma única força atuando: F j Posição j ..... F j=1 aij= xi F j ui=∑ j=1 n aij F j Superposição de efeitos: Deslocamento unitário na posição j Força necessária na posição i Todas as demais posições com deslocamento nulo! {u}=[a]{F }=[a][ k]{u} [a][k ]=[I ][k]=[a] −1 62 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Dan Russell, Ph.D., Associate Professor of Applied Physics Kettering University / Flint, MI http://www.kettering.edu/~drussell/demos.htm l 63 VIBRAÇÕES MECÂNICAS ESTIMAÇÃO DA FREQÜÊNCIA NATURAL (1o. Modo de Vibração) Quociente de Rayleigh wr 2= {u} (r)T[ k]{u} (r) {u} (r)T [m]{u} (r) R y= {y} T [k ]{y} {y} T [m]{y} Energia Potencial Energia Cinética {u} r Primeiro modo de vibração {u} r {y} Semelhante R( y)→wr 2 ⋮ R(y)≥w1 2 Apenas uma estimativa do modo de vibração é necessária Boa aproximação! 64 VIBRAÇÕES MECÂNICAS DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DOS MODOS DE VIBRAÇÃO E FREQÜÊNCIAS NATURAIS Modo 2 => 133Hz Modo 4 => 202Hz Modo 8 => 315Hz Ihttp://www.kettering.edu/~drussell/demos.html 65 VIBRAÇÕES MECÂNICAS SISTEMAS CONTÍNUOS Infinitos graus de liberdade Número infinito de frequências naturais Densidade modal aumenta com o aumento da frequência Transformação em sistema discreto para efeitos de análise (projeto) Elementos Finitos! Análise Experimental Formulação matricial Autovalores e autovetores Dificuldade de determinação em altas frequências Imprecisão computacional ADVEA Corp. Australia 66 VIBRAÇÕES MECÂNICAS VISUALIZAÇÃO Nível x Tempo RPM x Tempo 67 VIBRAÇÕES MECÂNICAS VISUALIZAÇÃO Espectro x Tempo Espectrograma Ordens! 68 VIBRAÇÕES MECÂNICAS VISUALIZAÇÃO Função de Resposta em freqüência Visualização dos modos! Software 69