Ex Resolvidos Força Magnética

Prof. A.F.Gumaraes\nFísica 3 - Questões 8\n\nQuestão 1\nNuma região do espaço existe um campo vetorial B constante. (a) Determine o fluxo de B através da base de um cilindro de raio R cujo eixo de simetria é paralelo à direção do campo. (b) Ache o fluxo total de B através da superfície fechada externa do cilindro.\n\nResolução:\na) Considere a figura abaixo.\nO fluxo na base 1, será:\nΦB1 = BA cos π. α.\nΦB1 = -BπR2\n(1.1)\nb) O fluxo total será:\nΦB = ΦB1 + ΦB2 = -BπR2 + BπR2 = 0\n(1.2)\nLembrando que o fluxo na área lateral é nulo.\n\nQuestão 2\nUm elétron entre num campo magnético com uma energia de 5 keV. Suponha que este campo magnético seja constante ao longo de uma pequena região da superfície terrestre (onde o elétron se encontrava); considere o módulo deste campo dado por B = 0,5 Gauss. Sabendo que 1 Gauss = 10^-4 T e que a direção da velocidade do elétron (quando ele entre no campo) é ortogonal ao campo, calcule: (a) a aceleração do elétron, (b) a distância entre a direção da velocidade inicial e a posição em que se encontra o elétron 30 segundos após ele entrar no campo. Despreze o peso do elétron.\nResolução:\na) Considere a figura abaixo.\n\n\nFigura 2.1\n\nComo a força resultante é uma força centrípeta e por sua vez é uma força de natureza magnética, teremos:\n\nFB = Fcp = qvB = macp\n\n.\nacp = qB/m\n(2.1)\nPara um elétron com a energia dada, temos:\n\nK = mv2 = v = (2K/m)1/2\n.: v = 4,19 · 107 m.s-1\n(2.2)\n\nUtilizando o resultado de (2.2) em (2.1), teremos:\n\nacp = (1,6 · 10-19 · 4,19 · 107 · 0,5 · 10-6)\n9,1 · 10-31\n\n.\nacp = 3,68 · 1014 m.s-2\n(2.3)\nb) O período do movimento do elétron será:\nT = 2πm/qB\n.: T = 2π · 9,1 · 10-31\n(2.4)\nUma volta corresponde ao período dado por (2.4).\nAssim, para 30 segundos, teremos\n aproximadamente 41,96 · 106 volts. Para efeitos práticos, o elétron se encontra na mesma posição que se encontrava no início. Porém, percorreu uma distância de aproximadamente 1,26 · 109 m.\n\nQuestão 3\nUma partícula possui carga q = 0,5 pc e velocidade dada por: v = 2i - 3j, onde os componentes da velocidade são dados em m.s-1. A partícula entre num campo magnético que possui módulo constante e que é caracterizado por B = Bx i + By j, onde Bx = 0,05 Gauss e By = 0,10 Gauss. Determine: (a) a força magnética sobre a partícula (módulo, direção e sentido), (b) o ângulo entre a velocidade inicial e o vetor B.\n\nResolução:\na) A força magnética é dada por:\nFB = qv x B\n(3.1)\nSubstituindo os valores em (3.1), temos:\n\nFB = (0,5 · 10-12 · 0,5 i - 0,05 j)\n= 0,05 · (0,1 + 0)\n.: FB = 1,75 · 10-17 N K\n(3.2)\nb) O módulo da força magnética é dado por:\nFB = qvB senθ\n(3.3)\nPara a velocidade, temos como módulo:\nv = (2^2 + 3^2)1/2 = √13 m.s-1\n(3.4)\nPara o vetor indução magnética (campo magnético), temos:\nB = (0,05^2 + 0,10^2)1/2 = 1,1 · 10-5 T\n(3.5)\nAgora, utilizando (3.2), (3.4), (3.5) em (3.3), teremos:\n1,75 · 10-17 = 0,5 · 10-12/√13 · 1,1 · 10-5 senθ\n.: sen θ = 0,88, θ = 62°\n(3.6)\n Questão 4\nUma carga q = 800 pC entra num campo magnético uniforme com velocidade v = 200i + 400j = 300k, onde os componentes da velocidade são dados em m.s-1. A indução magnética é dada por: B = 0,02i - 0,04j, onde os componentes de B são dados em T. Determine: (a) a direção da força (em N), (b) o módulo da força magnética.\n\nResolução:\na) Utilizando a equação (3.1), temos:\nFB = 800 · 10-13·\n\n\n\nj k\n\n2 -3\n\n-40\n\n\nFB = (-9,61 + 0,48j + 7,04k) · 10-9 N\n(4.1)\n\n|FB| = 10^-9(9,62 + 0,48^2 + 7,04^2)\n.: |FB| = 1,2 · 10^-8 N\n(4.2)\nQuestão 5\nUm feixe de elétrons de energia cinética K é produzido por um acelerador. A uma distância d da janela de saída do acelerador, e perpendicular à direção do feixe, coloque-se uma placa metálica. Mostre que podemos impedir os elétrons de atingir a placa com o auxílio de um campo magnético B que satisfaça a condição\nB ≥ (2mK/e2d2)\nonde m e e são, respectivamente, a massa e a carga do elétron. Como deve estar orientado o vetor B?\n Questão 7\nUm fio de metal de massa m pode deslizar sem atrito sobre dois trilhos separados por uma distância d (veja figura 7.1). Os trilhos, colocados horizontalmente num campo magnético vertical B, são percorridos por uma corrente constante i, mantida pelo gerador G. Calcule a velocidade (em módulo e direção) do fio em função do tempo, supondo que ele esteja em repouso no instante t = 0.\nResolução:\nLevantando em consideração que a força magnética é maior do que a força de atrito, então teremos:\n\n m · a = i dB − μc mg\n\n. i = (m (a + μc g))\n\n8.1\n\n\n\nQuestão 8\nConsidere a questão anterior. Suponha que o coeficiente de atrito cinético entre o fio e o trilho seja igual a μc. Suponha que a força magnética seja maior do que a força de atrito; obtenha uma expressão para a corrente i necessária para produzir uma aceleração a do fio.\n\nResolução:\nDe acordo com a regra da mão direita para o produto vetorial, a força que atua no fio de metal aponta na direção horizontal (paralelamente aos trilhos) e se escreve para a expansão da força é dada por:\n\nF = i · l · B · sen θ\nEm que θ é o ângulo entre l e B (no caso π/2 rad). Como essa é a única força que atua no fio, teremos:\nm \ndv/dt = i · d · B · v/m · t\n\n7.2\n\n\n\nQuestão 9\nUm fio de massa m, dobrado na forma de uma letra U de largura l, tem seus extremos mergulhados, em dois vasos contendo mercúrio, como mostra a figura 9.1. O fio está submetido à ação de um campo uniforme B, se um fio em posição de corrente, que transporta uma carga q = j t dt, percorre o fio, este salta bruscamente para cima. Calcule a partir da altura máxima h atingida pelo fio, o valor da carga total q, supondo que o tempo de duração da corrente é muito menor do que o tempo que leva o fio para subir e descer. Resolva inicialmente o problema literalmente; a seguir obtenha o valor de q usando os seguintes dados: B = 0,05 T; m = 10 g; l = 15 cm e h = 2 m.\n\nResolução:\nNo instante inicial, a força resultante no fio atua pra cima é dada por:\nFR = ilB − mg\n\n9.1\nAgora, determinando o impulso da força resultante teremos: Questão 10\nConsidere a figura 10.1. Obtenha a expressão do módulo do torque que atua sobre a bobina indicada. Use letras para designar as grandezas que você achar que sejam relevantes para a solução literal deste problema.\n\nResolução:\nAgora, levando em consideração que o tempo de duração da corrente é muito pequeno, teremos:\n\nlim t → 0 \n∫0t FR dt = BIl ∫0t (dt − mg) dt\n\nAgora, levando em consideração que a bobina se encontra paralela ao plano inclinado, o torque será:\n\nτ = μIA → B = NiABsenθ\n\n10.1\n\nEm que μ = NiA é o momento de dipolo magnético e A = 2RI é a área delimitada pela bobina.\n\nQuestão 11\nA figura 10.1 mostra um cilindro de madeira de massa m igual a 0,25 kg, raio r e comprimento l igual a 0,1 m, ao longo do qual foram dadas 15 voltas com um fio condutor, de modo a fazer uma bobina retangular cujo plano contém o eixo do cilindro. O cilindro é colocado sobre um plano, inclinado de um ângulo θ em relação a horizontal, de modo que o fio da bobina seja paralelo a esse plano. Calcule o menor valor da corrente i capaz de impedir o cilindro de rolar, na presença de um campo magnético vertical igual a 0,8 T.\nResolução:\nO torque oferecido pelo campo magnético está orientado ao longo do eixo do cilindro e apontando para fora do plano da página. Já o torque oferecido pelo componente tangencial do peso, com relação ao ponto de contato do cilindro com o plano inclinado, está orientado ao longo do eixo do cilindro e aponta para dentro do plano da página. Assim, teremos:\n\nτB = τPK → 2RIlBsenθ = mgRsenθ\n\n. i = mg / 2RIlB\n\n11.1\n\nSubstituindo os dados numéricos:\n\ni = (0,25 · 9,8) / (2 · 0,1 · 15 · 0,8) ≈ 1,02 A\n\n11.2 Questão 12\n(a) Mostre que a relação entre o campo elétrico de Hall EH e o campo elétrico E, responsável pela corrente, é\n\n\nEH/E = B/neρ\n\n(b) Qual é o ângulo entre EH e E? (c) Calcule o valor dessa relação para a situação de uma tira de cobre de 2,0 cm de largura e 1,0 mm de espessura colocada num campo magnético B = 1,5 T percorrida por uma corrente de 200 A conforme mostra a figura 12.1.\n\nResolução:\na) A velocidade de arraste dos portadores de carga é dada por:\nv = j/ne\nEm que j = E/ρ é a densidade de corrente elétrica. Aqui EH é o campo elétrico responsável pela corrente e ρ é a resistividade do material que compõe o condutor. Uma vez estabelecido o campo elétrico Hall, teremos:\n\nFB = FH\n\n12.2\n\nPois surge uma força elétrica que se opõe à força magnética. Assim utilizando (12.1) em (12.2), teremos:\n\nevB = EH/neρ → EH = B/neρ\n\n12.3\n\nb) Como a velocidade de arraste e transversal ao campo elétrico de Hall, o campo responsável pela corrente também será.\n\nc) Substituindo os dados numéricos em (12.3) e lembrando que a densidade de portadores livres para o cobre vale 11 · 10^28 m–3, teremos:\n\n\nEH/E = 1,5 / (11 · 10^28 · 1,6 · 10^−19 · 1,7 · 10^−8) → EH/E = 5 · 10^−3\n\n12.4\n\nObs: A resistividade do cobre; ρ = 1,7 · 10−8 Ω · m.\n\nQuestão 13\nUm próton, um deutério e uma partícula α penetram, com a mesma energia cinética, num campo magnético uniforme B, perpendicular às suas trajetórias circulares. Compare os valores dos raios das suas velocidades. Resolução:\nSeja K a energia cinética das referidas partículas e m a massa do próton. Assim, as velocidades do próton, do deutério e da partícula α valem respectivamente:\n\nvp = (2K/m)^(1/2)\n\n13.1\n\nvd = (K/m)^(1/2)\n\n13.2\n\nva = (K/2m)^(1/2)\n\n13.3 Utilizando a expressão do raio da trajetória, e as equações (13.1), (13.2) e (13.3), teremos para o próton, o deutério e para a partícula α:\n\nRp = m / eB (2K / m)^{1/2} (13.4)\nRd = m / eB (4K / m)^{1/2} (13.5)\nRa = m / eB (2K / m)^{1/2} (13.6)\n\nDas equações (13.4) a (13.6), podemos concluir:\nRp = Ra < Rd (13.7)\n\nObs.: Aqui foi considerado que a massa do deutério é 2m e a massa da partícula α vale 4m.\n\nQuestão 14\n\nEspectrômetro de massa. A figura 14.1 mostra um esquema do aparelho utilizado por Dempster na medida da massa dos íons. Um íon de massa M e carga +q é produzido, praticamente em repouso, por meio de uma descarga através de um gás, realizada na fonte S, o íon e, então, acelerado por uma diferença de potencial V, penetrando, depois, num campo magnético B. No interior do campo o ion descreve uma órbita semicircular, terminando por atingir uma placa fotográfica onde deixa uma imagem situada a uma distância x do ponto de entrada. Mostre que a massa do íon é dada por:\nM = (g / B) x^{2}.\n\nFigura 14.1 Resolução:\n\nPreviamente determinamos a velocidade da partícula por meio do trabalho realizado pela diferença de potencial V. Assim,\n\nW = ΔK ⇒ qV = mv^{2} / 2\n\ndot. v = (2qV / m)^{1/2} (14.1)\n\nA distância x é duas vezes o raio da trajetória da partícula. Assim, teremos:\n\nx = 2r ⇒ x = 2mv / qB (14.2)\n\nSubstituindo o resultado de (14.1) em (14.2), teremos:\n\nx = (2m / qB)(2qV / m)^{1/2}\n . m = (qB / 8V) x^{2} (14.3)\n\nQuestão 15\n\nUm pósitron de 4 keV, penetra num campo magnético uniforme de 0,10 T com sua velocidade fazendo um ângulo de 80° com vetor B. Procure convencer-se de que a trajetória do pósitron será uma hélice com eixo na direção de B. Calcule o período de rotação do pósitron, o passo p e o raio r da hélice (veja a figura 15.1).\n\nFigura 15.1 Resolução:\n\nO pósitron possui uma velocidade tal que suas componentes serão, respectivamente, paralela e perpendicular ao vetor indução magnética. A componente paralela será responsável pelo passo p. E a componente perpendicular será responsável pelo giro do pósitron segundo a trajetória circular de raio r.\nSejam as componentes paralela e perpendicular dadas por:\n\nv_{||} = v cos 80° (15.1)\nv_{⊥} = v sen 80° (15.2)\n\nEm que v = (2K / e)^{1/2}. Utilizando a massa do pósitron (m = 9,11 . 10^{-31} kg), teremos para a velocidade:\nv = 3,75 . 10^{7} m s^{-1}. Logo, substituindo em (15.1) e (15.2), teremos:\nv_{||} = 6,4 . 10^{6} m . s^{-1} e v_{⊥} = 3,68 . 10^{7} m . s^{-1}\n\nEm que sen 80° ≈ 0,98 e cos 80° ≈ 0,17, o período do movimento do pósitron é dado por:\n\nT = (2m / eB) = 3,58 . 10^{-10} s (15.4)\n\nEm que e = 1,6 . 10^{-19} C. Utilizando o primeiro resultado de (15.3) e o resultado de (15.4), teremos para o passo p:\np = v_{||} T = 2,3 . 10^{-3} m (15.5)\n\nUtilizando o segundo resultado de (15.3), teremos para o raio da hélice:\nr = mv_{⊥} / eB (15.6) v_B = \\frac{eB}{4\\pi m} \\equiv v \n(18.6)\n\nQue conduz a: \n\\Delta v = \\frac{eB}{2\\pi m} \n(18.7)\n\nQuestão 19\n\nO ciclotron da figura 19.1 era normalmente ajustado para acelerar deuterons. (a) Se ele fosse usado para acelerar prótons, com a mesma frequência de oscilação empregada para o deuterons, com que energia os prótons poderiam ser produzidos? (b) Qual o valor necessário para o campo magnético? (c) Com que energia seriam produzidos os prótons se usássemos o mesmo valor da indução magnética empregada para os deuterons? (d) Qual seria o valor necessário para a frequência de oscilação? (e) Responda as mesmas perguntas para o caso de uma partícula: \n\nFigura 19.1\n\nResolução: \nA frequência utilizada para acelerar deuterons é dada por: \nv_d = \\frac{eB}{2\\pi m_d} \n(19.1)\n\nPara acelerar prótons, que possui metade da massa de um deuteron, deve-se ajustar uma nova indução magnética. Assim, a frequência para acelerar prótons será: \nv_p = \\frac{eB'}{2\\pi m_p} \n(19.2)\n\nEm que B' é a nova indução magnética. Como as frequências devem ser iguais, temos de (19.1) e (19.2): \nv_p = v_p = \\frac{eB'}{2\\pi m_p}. B' = \\frac{B}{2} \n(19.3)\n\nA energia cinética da partícula na saída do ciclotron é dada por: \nK = \\frac{q^2B^2R^2}{2m} \n(19.4)\n\nEm que q é a carga da partícula, R o raio do ciclotron e m é a massa da partícula. Assim, para o deuteron, teremos: \nK_d = \\frac{e^2B^2R^2}{4mp} \n(19.5)\n\nEm m_p = 2m_d. Assim, utilizando o resultado de (19.3), teremos para o próton: \nK_p = \\frac{e^2B^2R^2}{8m_p} \n(19.6)\n\nComparando (19.5) e (19.6), temos: \nK_p = \\frac{K_d}{2} \n(19.7)\n\nOs prótons teriam metade da energia dos deuterons, caso fosse ajustado o valor de metade da indução magnética (mantendo da frequência). \nNo entanto, se fosse mantida a mesma indução magnética que fora utilizada pelos deuterons (nesse caso a frequência deveria ser modificada), a energia dos prótons seria: \nK'_p = \\frac{e^2B^2R^2}{2m_p} \n(19.8)\n