Equação da Energia de Bernoulli e Suas Aplicações

Equação da Energia Bernoulli Considere a figura a seguir Tubo idealizado para deduzir a equação da energia Fonte Adaptado de CHADWICK MORFETT BORTHWICK 2017 Onde 𝐴 Área da seção 𝑆 𝐴 Área da seção 𝑆 𝑃 Pressão na seção 𝑆 𝑃 Pressão na seção 𝑆 𝑧 Posição da seção 𝑆 com relação à referência datum 𝑧 Posição da seção 𝑆 com relação à referência datum 𝐿 Distância entre a seção 𝑆 e 𝑆 do volume de controle Considere ainda que 𝐴 Área da seção no volume de controle 𝑃 Pressão no volume de controle 𝜌 Massa específica do fluido Teremos Volume de controle 𝐴 𝐿 Massa de controle 𝜌 𝐴 𝐿 Peso de controle 𝜌 𝐴 𝐿 𝑔 Sabemos que 𝑃 𝐹 𝑃 𝐴 Levandose em conta o princípio da conservação da quantidade de energia em um sistema fechado temos 𝐸 𝐸 𝐸 𝑊 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸 Energia 𝐸 Energia potencial 𝐸 Energia cinética 𝑊 Trabalho realizado Dessa forma para os fluidos perfeitos 𝐸 𝑧 𝑃 𝛾 𝑣 2𝑔 𝑧 𝑃 𝛾 𝑣 2𝑔 𝑧 𝑃 𝛾 𝑣 2𝑔 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 As dimensões de todas as parcelas da expressão são lineares e são denominadas cargas Como as parcelas dessa equação têm dimensões lineares como acabamos de ver estas podem ser representadas graficamente com relação a um sistema de referência 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚 como veremos mais adiante A experiência tem demonstrado que no caso de escoamento de fluidos reais uma parte da energia mecânica é despendida em forma de calor ou em mudanças por causa das resistências ao escoamento viscosidade turbulência atrito etc Na hidráulica essa parte da energia não contribui mais para o movimento do fluido água por isso é denominada de perda de carga Δℎ 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑜𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 No caso de condutos forçados podemos representar essa equação através do seguinte gráfico Representação gráfica da equação de Bernoulli Conduto forçado Fonte Adaptado de BAPTISTA LARA 2010 No caso do s condutos livres a parcela correspondente à carga de pressão pode ser substituída pela lâmina de água 𝑦 quando as pressões seguem uma distribuição hidrostática 𝑃 𝛾ℎ ℎ Representação gráfica da equação de Bernoulli Conduto forçado Fonte Adaptado de BAPTISTA LARA 2010 Linhas de carga 𝑧 𝑃 𝛾 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑠𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐿 𝑃 𝐸 Essa linha representa o nível que o líquido atingiria caso fosse instalado um piezômetro 𝑧 𝑃 𝛾 𝑣 2𝑔 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐿 𝐶 𝐸 Essa linha representa a energia hidráulica total possuída pelo fluido água 𝑧 𝑃 𝛾 𝑣 2𝑔 Δℎ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑃 𝐶 𝐸 O abaixamento entre dois pontos da linha de energia corresponde à perda de carga entre esses dois pontos Podemos agora aplicar a equação de Bernoulli ao escoamento de fluidos reais água tendo em vista que 𝐸 𝐸 𝐸 No caso do escoamento forçado 𝑧 𝑃 𝛾 𝑈 2𝑔 𝑧 𝑃 𝛾 𝑈 2𝑔 Δℎ No caso do escoamento livre 𝑧 𝑦 𝑈 2𝑔 𝑧 𝑦 𝑈 2𝑔 Δℎ Perda de carga unitária No escoamento uniforme 𝐽 ℎ 𝐿 Onde 𝐽 Perda de carga unitária ℎ Perda de carga contínua 𝐿 Comprimento do conduto A perda de carga unitária representa o gradiente ou a inclinação da linha de carga Para Seção do tubo constante Ausência de perda de carga localizada Acarreta que A velocidade é constante 𝑈 𝑈 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 A linha piezométrica é paralela à linha de carga O abaixamento da linha piezométrica representa a perda de carga contínua Exercícios 1 Uma tubulação de 400 𝑚𝑚 de diâmetro e 2000 𝑚 de comprimento parte de um reservatório de água cujo 𝑁 𝐴 está na cota 90 A velocidade média no tubo é de 10 𝑚 𝑠 a carga de pressão e a cota no final da tubulação são 30 𝑚 𝑒 50 𝑚 respectivamente a Calcular a perda de carga provocada pelo escoamento nessa tubulação b Determinar a altura da linha piezométrica a 800 𝑚 da extremidade da tubulação 2 Para o sifão isento de atrito mostrado na figura seguir determine a vazão e as cargas de pressão em 𝐴 𝑒 𝐵 sabendo que o diâmetro do tubo é de 200 𝑚𝑚 e o diâmetro de saída do bocal é de 150 𝑚𝑚 3 Uma bomba fornece água de um reservatório mais baixo para outro mais elevado A diferença de elevação entre os reservatórios é de 10 𝑚 A bomba fornece carga de 11 𝑚 e as perdas de carga por atrito são de 07 𝑚 Se o tubo tem 300 𝑚𝑚 de diâmetro calcule a vazão