Lista 1 - Vibrações - Camilla Hílare

1.1. Encontre e equilibre o movimento para o sistema da Figura P1.11 e determine a frequência natural. Em particular, assumindo equilíbrio estático juntamente com a lei de Newton, determine o efeito da gravidade sobre o equíbrio de movimento e a frequência natural do sistema. Assume que o bloco desliza sem atrito.\n\nResposta:\n∑F_x = 0\n k x(θ) \n - mg·sen(θ) \n\nmg cos(θ)\n U: - mg cos(θ)\n K 𝜃_o = mg·sen(θ)\n\n∑F_x = m x¨\n - K 𝜃_o - k x(t) + mg·sen(θ) = m x¨\n\n(m) x¨ + (K) x(t) = 0\n\n𝜔_n = √(k/m)\n\n* O peso é anulado pela pré-carga da mola. 1.18. Determine a frequência natural dos dois sistemas ilustrados na Figura P1.18.\n\nResposta: a)\n∑F_x = 0\n F_a \n m \n F_g\n\n∑F_x = m x¨\n 0 = m x¨\n\n K_1 x(t) + K_2 x(t) = m x¨\n\nm x¨ + (K1 + K2) x(t) = 0\n\nSimplificando: 𝜔_n = √(K1 + K2)/m 1.18. Determine a frequência natural dos dois sistemas ilustrados na Figura P1.18.\n\nResposta: b)\n∑F_x = 0\n x i, x¨\n 0\n x(t)\n m\n K_3 x(t)\n\n∑F_x = m x¨\n - K_2 x(t) - K_3 x(t) = m x¨\n\n(m) x¨ + (K_2 + K3) x(t) = 0\n\n𝜔_n = √(k/m)\n\nresultado: 𝜔_n = √(K_2 + K_3)/m 1.21. Uma peça mecânica é modelada como um pêndulo conectado a uma mola como ilustrado na Figura P1.21. Despreze a massa da haste do pêndulo e obtenha a equação de movimento. Então, seguindo o procedimento utilizado no Exemplo 1.1, linearize a equação do movimento e determine a fórmula para a frequência natural. Assuma que a rotação e pequenos o suficiente para que a mola só desvie horizontalmente.\n\nlinarize a equação do movimento.\nResposta:\n\nΣFy = 0\nmg = O_y\n\nO peso não está sendo anulada pela mola.\nLogo ele fará parte da equação do movimento.\n\nΣF = Jo θ''\nJo: ml²\n\n(m l²)θ'' = -k l θ = 0\n\nωn = √(k l + mg l)\n\nEstável 1.27. A aceleração de uma peça mecânica modelada como um sistema massa-mola é medida e registrada na Figura P1.27. Calcule a amplitude do deslocamento da massa.\n\nResposta:\n\nẋmáx = A ωn²\nT = 1,25 segundos\n\nt(x) = A sen (ωnt)\n ẋ = A ωn cos (ωnt)\n ẍ = A ωn² sen (ωnt)\n\nẋmáx = A ωn²\n * A = ẋmáx / ωn²\n fn = 1,25 / T\n fn = 1,25 → fn = 0,8Hz\n ωn = 2π fn\n ωn = 2π 0,8\n ωn = 5,028654684574 ≈ 5,03\n\nA: 36 mm 1.35. Um mecanismo de pedal para uma máquina é grossieramente modelado como um pêndulo preso a uma mola conforme esquematizado na Figura P1.35. A finalidade da mola é fornecer uma força de retorno para a ação do pedal. Determine a rigidez da mola necessária para manter o pêndulo em 1º de horizontal e, em seguida, determine a frequência natural correspondente. Considere que os deslocamentos angulares são pequenos, tal que a deflexão da mola pode ser aproximada pelo comprimento do arco; e que o pedal pode ser tratado como uma massa pontual; e que a haste pendular tem massa desprezível. O pedal é horizontal quando a mola está no seu comprimento natural. Os valores na figura são: m = 0,5 kg; g = 9,8 m/s²; l = 0,2 m; h = 0,3 m.\n\nResposta:\n\nm = 0,5 kg\ng = 9,8 m/s²\nl₁ = 0,2 m\nl₂ = 0,3 m\n\nmgl₂ = k l₂²θ\nk = mgl₂ / l₁θ\n\nθ = 17,5 x 10⁻³ rad\nk = 0,5(9,81)(0,3)\n0,09° x 17,5 x 10³\nk = 2,13 kN/m\n\nωn = √(k / m)\n\nωn = √(k l₂² / m l²)\nωn = √(k(0,2)²)\nωn = 2,12 N/m, 0,04 m²\n\nωn = 423 rad/s ≈ 6,69 Hz 1.67 Aplique o método de energia para obter a equação de movimento e a frequência natural do mecanismo de direção da roda dianteira do trem de pouso de um avião. O mecanismo é modelado como um sistema de um grau de liberdade ilustrado na Figura P.167.\n\nResposta:\n\n\\[ \\frac{1}{J} m \\dot{x}^{2} + \\frac{1}{g} J \\dot{\\theta}^{2} + \\frac{1}{g} k_{x_{2}} \\dot{x}^{3} + \\frac{1}{g} k_{3} \\dot{\\theta}^{2} = cte \\]\n\ndem. 0\ndt\n\\[ \\frac{2}{g} \\dot{x} \\cdot \\dot{(x)} + \\frac{3}{g} J \\dot{x} \\cdot d\\theta + \\frac{2}{g} k_{x_{2}} \\dot{x} d\\dot{\\theta} = (x) \\]\n\\[ (mx^{2}) \\ddot{x} \\theta + (k_{x_{2}} x) \\dot{x} + (k_{a} x) \\dot{x} = 0 \\]\n\\[ m \\cdot (\\frac{J}{r^{2}}) \\dot{x} \\cdot (k_{1} + k_{2})x(1) = 0 \\]\n\\[ \\omega_n = \\sqrt{\\frac{k_{1} + k_{2}}{m \\cdot (J/r^{2})}} \\] 1.69 Um pedal de controle de uma aeronave pode ser modelado como o sistema de grau único de liberdade da Figura P.69. Considere a alavanca como um guia sem massa e o pedal como uma massa concentrada na extremidade de x. Aplique o método de energia para obter a equação de movimento em \\[ \\theta \\] e calcule a frequência natural do sistema. Considere que a mola não esteja esticada em \\[ \\theta = 0 \\] e a gravidade aponte para baixo.\n\nResposta:\n\n\\[ \\Sigma M_R = J_a \\ddot{\\theta} \\]\n\n\\[ - K_{l} \\theta - mg \\theta \\dot{l}_{s} = ml_{2} \\ddot{\\theta} \\]\n\n\\[ (mle) \\ddot{\\theta} + (k_{l} l_{s}^{2} + mg l_{2}) \\theta = 0 \\]\n\n\\[ \\omega_n = \\sqrt{\\frac{k}{m}} \\]\n\n\\[ \\omega_n = \\sqrt{\\frac{K_{l} l_{s}^{2} + mg l_{2}}{m l_{2}}} \\]